מהי ויברציה ליניארית?

רטט ליניאריגמישות הרכיבים במערכת כפופה לחוק הוק, וכוח הריסון שנוצר במהלך התנועה הוא פרופורציונלי למשוואה הראשונה של המהירות המוכללת (נגזרת הזמן של הקואורדינטות המוכללות).

מוּשָׂג

מערכת לינארית היא בדרך כלל מודל מופשט של התנודה של מערכת אמיתית. מערכת התנודה הליניארית מיישמת את עקרון הסופרפוזיציה, כלומר, אם תגובת המערכת היא y1 תחת פעולת הקלט x1, ו-y2 תחת פעולת הקלט x2, אז תגובת המערכת תחת פעולת הקלט x1 ו-x2 היא y1+y2.

על בסיס עקרון הסופרפוזיציה, ניתן לפרק קלט שרירותי לסכום של סדרה של דחפים אינפיניטסימליים, ולאחר מכן ניתן לקבל את התגובה הכוללת של המערכת. ניתן להרחיב את סכום הרכיבים ההרמוניים של עירור מחזורי לסדרה של רכיבים הרמוניים באמצעות טרנספורמציית פורייה, וניתן לחקור את ההשפעה של כל רכיב הרמוני על המערכת בנפרד. לכן, ניתן לתאר את מאפייני התגובה של מערכות ליניאריות עם פרמטרים קבועים על ידי תגובת דחף או תגובת תדר.

תגובת אימפולס מתייחסת לתגובת המערכת לאימפולס היחידה, המאפיינת את מאפייני התגובה של המערכת בתחום הזמן. תגובת תדר מתייחסת למאפיין התגובה של המערכת לקלט ההרמוני של היחידה. ההתאמה בין השניים נקבעת על ידי טרנספורמציית פורייה.

מִיוּן

ניתן לחלק ויברציה ליניארית ליניארית של מערכת בעלת דרגת חופש אחת ויברציה ליניארית של מערכת בעלת דרגות חופש מרובות.

(1) ויברציה ליניארית של מערכת בעלת דרגת חופש אחת היא ויברציה ליניארית שאת מיקומה ניתן לקבוע על ידי קואורדינטה כללית. זוהי הוויברציה הפשוטה ביותר שממנה ניתן לגזור מושגים בסיסיים ומאפיינים רבים של ויברציה. היא כוללת ויברציה הרמונית פשוטה, ויברציה חופשית, ויברציה מוחלשת ויברציה מאולצת.

ויברציה הרמונית פשוטה: תנועה הדדית של גוף בסביבת מיקום שיווי המשקל שלו לפי חוק סינוסואידלי תחת פעולת כוח החזרה פרופורציונלי לתזוזה שלו.

ויברציה מוחלשת: ויברציה אשר אמפליטודתה מוחלשת באופן מתמיד עקב נוכחות חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת.

רטט כפוי: רטט של מערכת תחת עירור מתמיד.

(2) הוויברציה הליניארית של מערכת מרובת דרגות חופש היא הוויברציה של המערכת הליניארית עם n≥2 דרגות חופש. למערכת של n דרגות חופש יש n תדרים טבעיים ו-n אופנים עיקריים. כל תצורת ויברציה של המערכת יכולה להיות מיוצגת כשילוב ליניארי של האופנים העיקריים. לכן, שיטת סופרפוזיציה של אופן ראשי נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינמי של מערכות מרובות דרגות חופש. בדרך זו, המדידה והניתוח של מאפייני הוויברציה הטבעית של המערכת הופכים לשלב שגרתי בתכנון הדינמי של המערכת. ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות מרובות דרגות חופש גם על ידי מאפייני תדר. מכיוון שיש פונקציית מאפיין תדר בין כל קלט ופלט, נבנית מטריצת מאפיין תדר. יש קשר מובהק בין מאפיין התדר למוד הראשי. עקומת המאפיין אמפליטודה-תדר של מערכת מרובת דרגות חופש שונה מזו של מערכת חופש יחיד.

ויברציה ליניארית של מערכת בעלת דרגת חופש אחת

ויברציה ליניארית שבה ניתן לקבוע את מיקום המערכת על ידי קואורדינטה כללית. זוהי הוויברציה הפשוטה והבסיסית ביותר שממנה ניתן לגזור מושגים ומאפיינים בסיסיים רבים של ויברציה. היא כוללת ויברציה הרמונית פשוטה, ויברציה מרוסנת ויברציה מאולצת.

רטט הרמוני

תחת פעולת השבת הכוח הפרופורציונלי לתזוזה, העצם נע באופן סינוסואידי ליד מיקום שיווי המשקל שלו (איור 1). X מייצג את התזוזה ו-t מייצג את הזמן. הביטוי המתמטי של רטט זה הוא:

(1)כאשר A הוא הערך המקסימלי של תזוזה x, הנקראת אמפליטודה, ומייצגת את עוצמת הרטט; אומגה n היא אמפליטודה, תוספת זווית של הרטט לשנייה, הנקראת תדר זוויתי, או תדר מעגלי; זה נקרא השלב ההתחלתי. במונחים של f= n/2, מספר התנודות לשנייה נקרא תדר; ההופכי של זה, T=1/f, הוא הזמן שלוקח להתנדנד מחזור אחד, וזה נקרא מחזור. אמפליטודה A, תדר f (או תדר זוויתי n), השלב ההתחלתי, המכונה רטט הרמוני פשוט בעל שלושת האלמנטים.

איור 1 עקומת תנודה הרמונית פשוטה

כפי שמוצג באיור 2, מתנד הרמוני פשוט נוצר על ידי המסה המרוכזת m המחוברת באמצעות קפיץ ליניארי. כאשר מחושבת תזוזת הרטט ממצב שיווי המשקל, משוואת הרטט היא:

כאשר היא קשיחות הקפיץ. הפתרון הכללי למשוואה הנ"ל הוא (1).A וניתן לקבוע אותו על ידי המיקום ההתחלתי x0 והמהירות ההתחלתית ב-t=0:

אבל אומגה n נקבעת רק על ידי מאפייני המערכת עצמה m ו-k, ללא תלות בתנאי ההתחלה הנוספים, ולכן אומגה n ידועה גם כתדירות טבעית.

איור 2 מערכת בעלת דרגת חופש אחת

עבור מתנד הרמוני פשוט, סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית שלו קבוע, כלומר, האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת. בתהליך הרטט, אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית הופכות זו לזו ללא הרף.

רטט הריסון

ויברציה שהאמפליטודה שלה נחלשת באופן מתמיד על ידי חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת. עבור ויברציות מיקרו, המהירות בדרך כלל אינה גדולה במיוחד, וההתנגדות הבינונית פרופורציונלית למהירות בחזקת הראשונה, שניתן לכתוב אותה כ-c הוא מקדם הריסון. לכן, ניתן לכתוב את משוואת הוויברציה של דרגת חופש אחת עם ריסון ליניארי כך:

(2)כאשר, m = c/2m נקרא פרמטר הריסון, ו-. ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של נוסחה (2):

(3)ניתן לחלק את הקשר המספרי בין אומגה נ' ל-PI לשלושת המקרים הבאים:

N > (במקרה של ריסון קטן) ויברציית הנחתה המופקת על ידי חלקיקים, משוואת הוויברציה היא:

המשרעת שלו פוחתת עם הזמן בהתאם לחוק האקספוננציאלי המוצג במשוואה, כפי שמוצג בקו המקווקו באיור 3. למען האמת, רטט זה הוא אמחזורי, אך ניתן להגדיר את תדירות השיא שלו כך:

נקרא קצב הפחתת האמפליטודה, כאשר הוא מחזור הרטט. הלוגריתם הטבעי של קצב הפחתת האמפליטודה נקרא לוגריתם מינוס קצב (אמפליטודה). ברור ש- =, במקרה זה, שווה ל-2/1. ישירות דרך דלתא הניסויית, באמצעות הנוסחה לעיל ניתן לחשב את c.

בשלב זה, ניתן לכתוב את פתרון משוואה (2) כך:

יחד עם כיוון המהירות ההתחלתית, ניתן לחלק אותה לשלושה מקרים ללא רעידות כפי שמוצג באיור 4.

N < (במקרה של ריכוך גדול), הפתרון למשוואה (2) מוצג במשוואה (3). בנקודה זו, המערכת כבר לא רוטטת.

רטט מאולץ

רטט של מערכת תחת עירור קבוע. ניתוח רטט חוקר בעיקר את תגובת המערכת לעירור. עירור מחזורי הוא עירור רגיל טיפוסי. מכיוון שעירור מחזורי תמיד ניתן לפרק לסכום של מספר עירורים הרמוניים, על פי עקרון הסופרפוזיציה, נדרשת רק תגובת המערכת לכל עירור הרמוני. תחת פעולת עירור הרמוני, ניתן לכתוב את משוואת התנועה הדיפרנציאלית של מערכת בעלת דרגת חופש אחת:

התגובה היא סכום של שני חלקים. חלק אחד הוא תגובת הוויברציה המוחלשת, אשר דועכת במהירות עם הזמן. את תגובת החלק השני של הוויברציה המאולצת ניתן לכתוב כך:

איור 3 עקומת רטט מרוסנת

איור 4 עקומות של שלושה תנאי התחלה עם ריכוך קריטי

הקלד את

H /F0= h(), הוא היחס בין משרעת התגובה הקבועה למשרעת העירור, המאפיין מאפייני משרעת-תדר, או פונקציית הגבר; סיביות לתגובה במצב יציב ותמריץ פאזה, אפיון מאפייני תדר פאזה. הקשר בינם לבין תדר העירור מוצג באיור 5 ובאיור 6.

כפי שניתן לראות מעקומת האמפליטודה-תדר (איור 5), במקרה של ריסון קטן, לעקומת האמפליטודה-תדר יש שיא יחיד. ככל שהריסון קטן יותר, כך השיא תלול יותר; התדר המתאים לשיא נקרא תדר התהודה של המערכת. במקרה של ריסון קטן, תדר התהודה אינו שונה בהרבה מהתדר הטבעי. כאשר תדר העירור קרוב לתדר הטבעי, האמפליטודה עולה בחדות. תופעה זו נקראת תהודה. בתהודה, הגבר המערכת ממקסם, כלומר, הרטט הכפוי הוא העז ביותר. לכן, באופן כללי, יש תמיד לשאוף להימנע מתהודה, אלא אם כן מכשירים וציוד מסוימים משתמשים בתהודה כדי להשיג רטט גדול.

איור 5 עקומת תדר משרעת

ניתן לראות מעקומת תדר הפאזה (איור 6), ללא קשר לגודל הריסון, בסיביות הפרש פאזה אומגה אפס = PI / 2, מאפיין זה יכול לשמש ביעילות למדידת תהודה.

בנוסף לעירור קבוע, מערכות נתקלות לעיתים בעירור לא יציב. ניתן לחלק אותו באופן גס לשני סוגים: האחד הוא פגיעה פתאומית. השני הוא ההשפעה המתמשכת של שרירותיות. תחת עירור לא יציב, גם תגובת המערכת אינה יציבה.

כלי רב עוצמה לניתוח רעידות לא יציבות הוא שיטת תגובת הדחף. היא מתארת ​​את המאפיינים הדינמיים של המערכת באמצעות התגובה החולפת של קלט הדחף היחידתי של המערכת. ניתן לבטא את הדחף היחידתי כפונקציית דלתא. בהנדסה, פונקציית דלתא מוגדרת לעתים קרובות כך:

כאשר 0- מייצג את הנקודה על ציר t המתקרבת לאפס משמאל; 0 פלוס מייצג את הנקודה שהולכת ל-0 מימין.

איור 6 עקומת תדר פאזה

איור 7. כל קלט יכול להיחשב כסכום של סדרה של אלמנטים של אימפולס.

המערכת מתאימה לתגובה h(t) הנוצרת על ידי יחידת הדחף ב-t=0, הנקראת פונקציית תגובת הדחף. בהנחה שהמערכת נייחת לפני הדחף, h(t)=0 עבור t<0. בידיעת פונקציית תגובת הדחף של המערכת, נוכל למצוא את תגובת המערכת לכל קלט x(t). בנקודה זו, ניתן לחשוב על x(t) כסכום של סדרה של אלמנטים של דחף (איור 7). תגובת המערכת היא:

בהתבסס על עקרון הסופרפוזיציה, התגובה הכוללת של המערכת המתאימה ל-x(t) היא:

אינטגרל זה נקרא אינטגרל קונבולציה או אינטגרל סופרפוזיציה.

ויברציה ליניארית של מערכת מרובת דרגות חופש

ויברציה של מערכת ליניארית עם n≥2 דרגות חופש.

איור 8 מציג שתי תת-מערכות תהודה פשוטות המחוברות באמצעות קפיץ צימוד. מכיוון שמדובר במערכת בעלת שתי דרגות חופש, נדרשות שתי קואורדינטות בלתי תלויות כדי לקבוע את מיקומה. ישנם שני תדרים טבעיים במערכת זו:

כל תדר מתאים למצב רטט מסוים. מתנדי ההרמוניים מבצעים תנודות הרמוניות באותו תדר, עוברים באופן סינכרוני דרך מיקום שיווי המשקל ומגיעים באופן סינכרוני למיקום הקיצוני. בתנודה העיקרית המתאימה לאומגה אחת, x1 שווה ל-x2; בתנודה העיקרית המתאימה לאומגה שתיים, אומגה אחת. בתנודה העיקרית, יחס התזוזה של כל מסה שומר על יחס מסוים ויוצר מצב מסוים, הנקרא המצב העיקרי או המצב הטבעי. האורתוגונליות של מסה וקשיחות קיימת בין המצבים העיקריים, המשקפת את עצמאותה של כל רטט. התדר הטבעי והמצב העיקרי מייצגים את מאפייני הרטט הטבועים במערכת מרובת דרגות חופש.

איור 8 מערכת עם מספר דרגות חופש

למערכת של n דרגות חופש יש n תדרים טבעיים ו-n אופנים עיקריים. כל תצורת רטט של המערכת יכולה להיות מיוצגת כשילוב ליניארי של האופנים העיקריים. לכן, שיטת הסופרפוזיציה של האופנים העיקריים נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינמית של מערכות מרובות-תדרים. בדרך זו, המדידה והניתוח של מאפייני הרטט הטבעי של המערכת הופכים לשלב שגרתי בתכנון הדינמי של המערכת.

ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות מרובות-תדרים גם על ידי מאפייני תדר. מכיוון שיש פונקציית מאפיין תדר בין כל קלט ופלט, נבנית מטריצת מאפיין תדר. עקומת המאפיין אמפליטודה-תדר של מערכת מרובת-חופש שונה מזו של מערכת חד-חופשית.

האלסטומר רוטט

מערכת רב-דרגות החופש הנ"ל היא מודל מכני משוער של אלסטומר. לאלסטומר יש מספר אינסופי של דרגות חופש. יש הבדל כמותי אך אין הבדל מהותי בין השניים. לכל אלסטומר יש מספר אינסופי של תדרים טבעיים ומספר אינסופי של מצבים תואמים, ויש אורתוגונליות בין מצבי המסה והקשיחות. כל תצורת ויברציה של האלסטומר יכולה להיות מיוצגת גם כסופרפוזיציה לינארית של המצבים העיקריים. לכן, עבור ניתוח תגובה דינמית של אלסטומר, שיטת הסופרפוזיציה של המצב העיקרי עדיין ישימה (ראה ויברציה לינארית של אלסטומר).

קחו את הרטט של מיתר. נניח שמיתר דק בעל מסה m ליחידת אורך, באורך l, מתוח בשני קצותיו, והמתח הוא T. בשלב זה, התדר הטבעי של המיתר נקבע על ידי המשוואה הבאה:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

כאשר , היא מהירות ההתפשטות של הגל הרוחבי לאורך כיוון המיתר. התדרים הטבעיים של המיתרים הם כפולות של התדר הבסיסי מעל 2l. ריבוי שלם זה מוביל למבנה הרמוני נעים. באופן כללי, אין יחס כפולות שלם כזה בין התדרים הטבעיים של האלסטומר.

שלושת המצבים הראשונים של המיתר המתוח מוצגים באיור 9. ישנם כמה צמתים על עקומת המצב הראשית. בתנודה הראשית, הצמתים אינם רוטטים. איור 10 מציג מספר מצבים אופייניים של הלוח המעגלי הנתמך בהיקפו עם כמה קווי צמתים המורכבים מעיגולים וקטרים.

את הניסוח המדויק של בעיית התנודה של האלסטומר ניתן להסיק כבעיית ערך הגבול של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. עם זאת, הפתרון המדויק ניתן למצוא רק בחלק מהמקרים הפשוטים ביותר, ולכן עלינו לפנות לפתרון מקורב לבעיית התנודה המורכבת של האלסטומר. מהותם של פתרונות מקורבים שונים היא שינוי האינסופי לסופי, כלומר, לבצע דיסקרטיזציה של מערכת מרובת דרגות חופש נטולת גפיים (מערכת רציפה) למערכת מרובת דרגות חופש סופית (מערכת בדידה). ישנם שני סוגים של שיטות דיסקרטיזציה הנמצאות בשימוש נרחב בניתוח הנדסי: שיטת האלמנטים הסופיים ושיטת הסינתזה המודאלית.

איור 9 מצב של מחרוזת

איור 10 מצב של לוח עגול

שיטת האלמנטים הסופיים היא מבנה מורכב אשר מפרק מבנה מורכב למספר סופי של אלמנטים ומחבר אותם במספר סופי של צמתים. כל יחידה היא אלסטומר; תזוזת ההתפלגות של האלמנט מתבטאת על ידי פונקציית אינטרפולציה של תזוזת הצומת. לאחר מכן, פרמטרי ההתפלגות של כל אלמנט מרוכזים לכל צומת בפורמט מסוים, ומתקבל המודל המכני של המערכת הבדידת.

סינתזה מודאלית היא פירוק של מבנה מורכב למספר תת-מבנים פשוטים יותר. על סמך הבנת מאפייני הרטט של כל תת-מבנה, תת-המבנה מסונתז למבנה כללי בהתאם לתנאי הקואורדינציה בממשק, ומורפולוגיית הרטט של המבנה הכללי מתקבלת באמצעות מורפולוגיית הרטט של כל תת-מבנה.

שתי השיטות שונות וקשורות, וניתן להשתמש בהן כנקודת ייחוס. ניתן לשלב ביעילות את שיטת הסינתזה המודאלית עם המדידה הניסויית כדי ליצור שיטת ניתוח תיאורטית וניסויית לרעידות של מערכות גדולות.