X'inhi l-vibrazzjoni lineari?

Vibrazzjoni lineariL-elastiċità tal-komponenti fis-sistema hija soġġetta għal-liġi ta' Hooke, u l-forza ta' damping iġġenerata matul il-moviment hija proporzjonali għall-ewwel ekwazzjoni tal-veloċità ġeneralizzata (derivata tal-ħin tal-koordinati ġeneralizzati).

kunċett

Sistema lineari ġeneralment hija mudell astratt tal-vibrazzjoni ta' sistema reali. Is-sistema ta' vibrazzjoni lineari tapplika l-prinċipju tas-superpożizzjoni, jiġifieri, jekk ir-rispons tas-sistema huwa y1 taħt l-azzjoni tal-input x1, u y2 taħt l-azzjoni tal-input x2, allura r-rispons tas-sistema taħt l-azzjoni tal-input x1 u x2 huwa y1+y2.

Abbażi tal-prinċipju tas-superpożizzjoni, input arbitrarju jista' jiġi dekompost fis-somma ta' serje ta' impulsi infinitesimali, u mbagħad tista' tinkiseb ir-rispons totali tas-sistema. Is-somma tal-komponenti armoniċi ta' eċċitazzjoni perjodika tista' tiġi estiża f'serje ta' komponenti armoniċi permezz tat-trasformazzjoni ta' Fourier, u l-effett ta' kull komponent armoniku fuq is-sistema jista' jiġi investigat separatament. Għalhekk, il-karatteristiċi tar-rispons ta' sistemi lineari b'parametri kostanti jistgħu jiġu deskritti permezz ta' rispons għall-impuls jew rispons għall-frekwenza.

Ir-rispons għall-impuls jirreferi għar-rispons tas-sistema għall-impuls tal-unità, li jikkaratterizza l-karatteristiċi tar-rispons tas-sistema fid-dominju tal-ħin. Ir-rispons għall-frekwenza jirreferi għall-karatteristika tar-rispons tas-sistema għall-input armoniku tal-unità. Il-korrispondenza bejn it-tnejn hija determinata mit-trasformazzjoni ta' Fourier.

klassifikazzjoni

Il-vibrazzjoni lineari tista' tinqasam f'vibrazzjoni lineari ta' sistema b'grad wieħed ta' libertà u vibrazzjoni lineari ta' sistema b'ħafna gradi ta' libertà.

(1) Il-vibrazzjoni lineari ta' sistema b'grad wieħed ta' libertà hija vibrazzjoni lineari li l-pożizzjoni tagħha tista' tiġi determinata minn koordinata ġeneralizzata. Hija l-aktar vibrazzjoni sempliċi li minnha jistgħu jiġu derivati ​​ħafna kunċetti u karatteristiċi bażiċi tal-vibrazzjoni. Tinkludi vibrazzjoni armonika sempliċi, vibrazzjoni ħielsa, vibrazzjoni ta' attenwazzjoni u vibrazzjoni sfurzata.

Vibrazzjoni armonika sempliċi: il-moviment reċiproku ta' oġġett fil-viċinanza tal-pożizzjoni ta' ekwilibriju tiegħu skont liġi sinusoidali taħt l-azzjoni ta' forza ta' restawr proporzjonali għall-ispostament tiegħu.

Vibrazzjoni mrażżna: vibrazzjoni li l-amplitudni tagħha hija kontinwament attenwata mill-preżenza ta' frizzjoni u reżistenza dielettrika jew konsum ieħor ta' enerġija.

Vibrazzjoni furzata: vibrazzjoni ta' sistema taħt eċċitazzjoni kostanti.

(2) il-vibrazzjoni lineari tas-sistema b'ħafna gradi ta' libertà hija l-vibrazzjoni tas-sistema lineari b'n≥2 gradi ta' libertà. Sistema ta' n gradi ta' libertà għandha n frekwenzi naturali u n modi ewlenin. Kwalunkwe konfigurazzjoni ta' vibrazzjoni tas-sistema tista' tiġi rappreżentata bħala kombinazzjoni lineari tal-modi ewlenin. Għalhekk, il-metodu ta' superpożizzjoni tal-modalità ewlenija jintuża ħafna fl-analiżi tar-rispons dinamiku ta' sistemi b'ħafna dofs. B'dan il-mod, il-kejl u l-analiżi tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni naturali tas-sistema jsiru pass ta' rutina fid-disinn dinamiku tas-sistema. Il-karatteristiċi dinamiċi tas-sistemi b'ħafna dofs jistgħu jiġu deskritti wkoll permezz ta' karatteristiċi tal-frekwenza. Peress li hemm funzjoni karatteristika tal-frekwenza bejn kull input u output, tinbena matriċi karatteristika tal-frekwenza. Hemm relazzjoni definita bejn il-karatteristika tal-frekwenza u l-modalità ewlenija. Il-kurva karatteristika tal-amplitudni-frekwenza tas-sistema b'ħafna libertà hija differenti minn dik tas-sistema b'libertà waħda.

Vibrazzjoni lineari ta' sistema ta' grad wieħed ta' libertà

Vibrazzjoni lineari fejn il-pożizzjoni ta' sistema tista' tiġi determinata minn koordinata ġeneralizzata. Hija l-aktar vibrazzjoni sempliċi u fundamentali li minnha jistgħu jiġu derivati ​​ħafna kunċetti u karatteristiċi bażiċi tal-vibrazzjoni. Tinkludi vibrazzjoni armonika sempliċi, vibrazzjoni dampjata u vibrazzjoni sfurzata.

Vibrazzjoni armonika

Taħt l-azzjoni ta' forza ta' restawr proporzjonali għall-ispostament, l-oġġett jirreċiproka b'mod sinusoidali qrib il-pożizzjoni ta' ekwilibriju tiegħu (FIG. 1). X tirrappreżenta l-ispostament u t tirrappreżenta l-ħin. L-espressjoni matematika ta' din il-vibrazzjoni hija:

(1)Fejn A huwa l-valur massimu ta' spostament x, li jissejjaħ l-amplitudni, u jirrappreżenta l-intensità tal-vibrazzjoni; Omega n hija l-amplitudni. Iż-żieda fl-angolu tal-vibrazzjoni kull sekonda, li tissejjaħ il-frekwenza angolari, jew il-frekwenza ċirkolari; Din tissejjaħ il-fażi inizjali. F'termini ta' f = n/2, in-numru ta' oscillazzjonijiet kull sekonda jissejjaħ il-frekwenza; L-invers ta' dan, T = 1/f, huwa l-ħin li jieħu biex joxxilla ċiklu wieħed, u dak jissejjaħ il-perjodu. L-amplitudni A, il-frekwenza f (jew il-frekwenza angolari n), il-fażi inizjali, magħrufa bħala vibrazzjoni armonika sempliċi bi tliet elementi.

FIG. 1 kurva sempliċi ta' vibrazzjoni armonika

Kif muri fil-FIG. 2, oxxillatur armoniku sempliċi huwa ffurmat mill-massa kkonċentrata m konnessa permezz ta' molla lineari. Meta l-ispostament tal-vibrazzjoni jiġi kkalkulat mill-pożizzjoni ta' ekwilibriju, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni hija:

Fejn hija l-ebusija tar-rebbiegħa. Is-soluzzjoni ġenerali għall-ekwazzjoni ta' hawn fuq hija (1). A u tista' tiġi determinata mill-pożizzjoni inizjali x0 u l-veloċità inizjali f't=0:

Iżda omega n hija determinata biss mill-karatteristiċi tas-sistema nnifisha m u k, indipendentement mill-kundizzjonijiet inizjali addizzjonali, għalhekk omega n hija magħrufa wkoll bħala l-frekwenza naturali.

FIG. 2 sistema ta' grad wieħed ta' libertà

Għal oxxillatur armoniku sempliċi, is-somma tal-enerġija kinetika u l-enerġija potenzjali tiegħu hija kostanti, jiġifieri, l-enerġija mekkanika totali tas-sistema hija kkonservata. Fil-proċess tal-vibrazzjoni, l-enerġija kinetika u l-enerġija potenzjali jiġu trasformati kontinwament f'xulxin.

Il-vibrazzjoni tad-damping

Vibrazzjoni li l-amplitudni tagħha hija kontinwament attenwata mill-frizzjoni u r-reżistenza dielettrika jew konsum ieħor tal-enerġija. Għal mikrovibrazzjoni, il-veloċità ġeneralment mhix kbira ħafna, u r-reżistenza tal-mezz hija proporzjonali għall-veloċità għall-ewwel qawwa, li tista' tinkiteb bħala c huwa l-koeffiċjent tad-damping. Għalhekk, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni ta' grad wieħed ta' libertà b'damping lineari tista' tinkiteb bħala:

(2)Fejn, m =c/2m jissejjaħ il-parametru tad-damping, u. Is-soluzzjoni ġenerali tal-formula (2) tista' tinkiteb:

(3)Ir-relazzjoni numerika bejn omega n u PI tista' tinqasam fit-tliet każijiet li ġejjin:

N > (fil-każ ta' damping żgħir) vibrazzjoni ta' attenwazzjoni prodotta minn partiċelli, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni hija:

L-amplitudni tagħha tonqos maż-żmien skont il-liġi esponenzjali murija fl-ekwazzjoni, kif muri fil-linja bit-tikek fil-FIG. 3. Strettament, din il-vibrazzjoni hija aperiodika, iżda l-frekwenza tal-quċċata tagħha tista' tiġi definita bħala:

Tissejjaħ ir-rata ta' tnaqqis tal-amplitudni, fejn huwa l-perjodu tal-vibrazzjoni. Il-logaritmu naturali tar-rata ta' tnaqqis tal-amplitudni jissejjaħ il-logaritmu nieqes ir-rata (l-amplitudni). Ovvjament, =, f'dan il-każ, huwa ugwali għal 2/1. Direttament permezz tat-test sperimentali tad-delta u, bl-użu tal-formula ta' hawn fuq jista' jiġi kkalkulat c.

F'dan il-ħin, is-soluzzjoni tal-ekwazzjoni (2) tista' tinkiteb:

Flimkien mad-direzzjoni tal-veloċità inizjali, tista' tinqasam fi tliet każijiet mingħajr vibrazzjoni kif muri fil-FIG. 4.

N < (fil-każ ta' damping kbir), is-soluzzjoni għall-ekwazzjoni (2) hija murija fl-ekwazzjoni (3). F'dan il-punt, is-sistema ma tibqax tivvibra.

Vibrazzjoni sfurzata

Vibrazzjoni ta' sistema taħt eċċitazzjoni kostanti. L-analiżi tal-vibrazzjoni tinvestiga prinċipalment ir-rispons tas-sistema għall-eċitazzjoni. L-eċitazzjoni perjodika hija eċċitazzjoni regolari tipika. Peress li l-eċitazzjoni perjodika tista' dejjem tiġi dekomposta fis-somma ta' diversi eċċitazzjonijiet armoniċi, skont il-prinċipju tas-superpożizzjoni, hija meħtieġa biss ir-rispons tas-sistema għal kull eċċitazzjoni armonika. Taħt l-azzjoni tal-eċitazzjoni armonika, l-ekwazzjoni differenzjali tal-moviment ta' sistema mrażżna b'grad wieħed ta' libertà tista' tinkiteb:

Ir-rispons huwa s-somma ta' żewġ partijiet. Parti waħda hija r-rispons tal-vibrazzjoni mtaffija, li tiddeterjora malajr maż-żmien. Ir-rispons ta' parti oħra tal-vibrazzjoni sfurzata jista' jinkiteb:

FIG. 3 kurva tal-vibrazzjoni mtaffija

FIG. 4 kurvi ta' tliet kundizzjonijiet inizjali b'damping kritiku

Ittajpja l-

H /F0= h (), huwa l-proporzjon tal-amplitudni tar-rispons stabbli għall-amplitudni tal-eċitazzjoni, li jikkaratterizza l-karatteristiċi tal-amplitudni-frekwenza, jew il-funzjoni tal-qligħ; Bits għar-rispons fi stat stabbli u l-inċentiv tal-fażi, karatterizzazzjoni tal-karatteristiċi tal-frekwenza tal-fażi. Ir-relazzjoni bejniethom u l-frekwenza tal-eċitazzjoni hija murija fil-FIG. 5 u l-FIG. 6.

Kif jidher mill-kurva tal-amplitudni-frekwenza (FIG. 5), fil-każ ta' damping żgħir, il-kurva tal-amplitudni-frekwenza għandha quċċata waħda. Iktar ma jkun żgħir id-damping, iktar tkun wieqfa l-quċċata; Il-frekwenza li tikkorrispondi għall-quċċata tissejjaħ il-frekwenza reżonanti tas-sistema. Fil-każ ta' damping żgħir, il-frekwenza tar-reżonanza mhijiex differenti ħafna mill-frekwenza naturali. Meta l-frekwenza tal-eċitazzjoni tkun qrib il-frekwenza naturali, l-amplitudni tiżdied sew. Dan il-fenomenu jissejjaħ reżonanza. Fir-reżonanza, il-qligħ tas-sistema jiġi massimizzat, jiġifieri, il-vibrazzjoni sfurzata hija l-aktar intensa. Għalhekk, b'mod ġenerali, dejjem stinka biex tevita r-reżonanza, sakemm xi strumenti u tagħmir ma jużawx reżonanza biex jiksbu vibrazzjoni kbira.

FIG. 5 kurva tal-frekwenza tal-amplitudni

Mill-kurva tal-frekwenza tal-fażi (figura 6) jidher li, irrispettivament mid-daqs tad-damping, f'bits ta' differenza tal-fażi omega żero = PI / 2, din il-karatteristika tista' tintuża b'mod effettiv fil-kejl tar-reżonanza.

Minbarra l-eċitazzjoni kostanti, is-sistemi xi kultant jiltaqgħu ma' eċċitazzjoni mhux kostanti. Din tista' tinqasam bejn wieħed u ieħor f'żewġ tipi: wieħed huwa l-impatt f'daqqa. It-tieni huwa l-effett dejjiemi tal-arbitrarjetà. Taħt eċċitazzjoni mhux kostanti, ir-rispons tas-sistema huwa wkoll mhux kostanti.

Għodda qawwija għall-analiżi tal-vibrazzjoni instabbli hija l-metodu tar-rispons tal-impuls. Jiddeskrivi l-karatteristiċi dinamiċi tas-sistema bir-rispons temporanju tal-input tal-impuls tal-unità tas-sistema. L-impuls tal-unità jista' jiġi espress bħala funzjoni delta. Fl-inġinerija, il-funzjoni delta ħafna drabi hija definita bħala:

Fejn 0- jirrappreżenta l-punt fuq l-assi t li joqrob lejn żero mix-xellug; 0 plus huwa l-punt li jmur lejn 0 mil-lemin.

FIG. 6 kurva tal-frekwenza tal-fażi

FIG. 7 kwalunkwe input jista' jitqies bħala s-somma ta' serje ta' elementi ta' impuls

Is-sistema tikkorrispondi għar-rispons h(t) iġġenerat mill-impuls unitarju f't=0, li jissejjaħ il-funzjoni tar-rispons tal-impuls. Jekk nassumu li s-sistema hija stazzjonarja qabel il-polz, h(t)=0 għal t<0. Billi nafu l-funzjoni tar-rispons tal-impuls tas-sistema, nistgħu nsibu r-rispons tas-sistema għal kwalunkwe input x(t). F'dan il-punt, tista' taħseb f'x(t) bħala s-somma ta' serje ta' elementi tal-impuls (FIG. 7). Ir-rispons tas-sistema huwa:

Abbażi tal-prinċipju tas-superpożizzjoni, ir-rispons totali tas-sistema li jikkorrispondi għal x(t) huwa:

Dan l-integral jissejjaħ integral ta' konvoluzzjoni jew integral ta' superpożizzjoni.

Vibrazzjoni lineari ta' sistema b'ħafna gradi ta' libertà

Vibrazzjoni ta' sistema lineari b'n≥2 gradi ta' libertà.

Il-Figura 8 turi żewġ sottosistemi reżonanti sempliċi konnessi permezz ta' molla ta' akkoppjar. Minħabba li hija sistema b'żewġ gradi ta' libertà, hemm bżonn ta' żewġ koordinati indipendenti biex tiġi ddeterminata l-pożizzjoni tagħha. Hemm żewġ frekwenzi naturali f'din is-sistema:

Kull frekwenza tikkorrispondi għal mod ta' vibrazzjoni. L-oxxillaturi armoniċi jwettqu oxxillazzjonijiet armoniċi tal-istess frekwenza, jgħaddu b'mod sinkroniku mill-pożizzjoni ta' ekwilibriju u jilħqu b'mod sinkroniku l-pożizzjoni estrema. Fil-vibrazzjoni ewlenija li tikkorrispondi għal omega wieħed, x1 hija ugwali għal x2; Fil-vibrazzjoni ewlenija li tikkorrispondi għal omega omega tnejn, omega omega wieħed. Fil-vibrazzjoni ewlenija, il-proporzjon ta' spostament ta' kull massa jżomm ċerta relazzjoni u jifforma ċertu mod, li jissejjaħ il-mod ewlieni jew il-mod naturali. L-ortogonalità tal-massa u l-ebusija teżisti fost il-modi ewlenin, li tirrifletti l-indipendenza ta' kull vibrazzjoni. Il-frekwenza naturali u l-mod ewlieni jirrappreżentaw il-karatteristiċi inerenti tal-vibrazzjoni tas-sistema b'ħafna gradi ta' libertà.

FIG. 8 sistema b'diversi gradi ta' libertà

Sistema ta' n gradi ta' libertà għandha n frekwenzi naturali u n modi ewlenin. Kwalunkwe konfigurazzjoni ta' vibrazzjoni tas-sistema tista' tiġi rappreżentata bħala kombinazzjoni lineari tal-modi ewlenin. Għalhekk, il-metodu ta' superpożizzjoni tal-modalità ewlenija jintuża ħafna fl-analiżi tar-rispons dinamiku ta' sistemi b'ħafna dofs. B'dan il-mod, il-kejl u l-analiżi tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni naturali tas-sistema jsiru pass ta' rutina fid-disinn dinamiku tas-sistema.

Il-karatteristiċi dinamiċi tas-sistemi b'ħafna dof jistgħu jiġu deskritti wkoll permezz tal-karatteristiċi tal-frekwenza. Peress li hemm funzjoni karatteristika tal-frekwenza bejn kull input u output, tinbena matriċi karatteristika tal-frekwenza. Il-kurva karatteristika tal-amplitudni-frekwenza tas-sistema b'ħafna libertà hija differenti minn dik tas-sistema b'libertà waħda.

L-elastomeru jivvibra

Is-sistema ta' diversi gradi ta' libertà ta' hawn fuq hija mudell mekkaniku approssimattiv ta' elastomeru. Elastomeru għandu numru infinit ta' gradi ta' libertà. Hemm differenza kwantitattiva iżda l-ebda differenza essenzjali bejn it-tnejn. Kwalunkwe elastomeru għandu numru infinit ta' frekwenzi naturali u numru infinit ta' modi korrispondenti, u hemm ortogonalità bejn il-modi ta' massa u ebusija. Kwalunkwe konfigurazzjoni vibrazzjonali tal-elastomeru tista' wkoll tiġi rappreżentata bħala superpożizzjoni lineari tal-modi ewlenin. Għalhekk, għall-analiżi tar-rispons dinamiku tal-elastomeru, il-metodu ta' superpożizzjoni tal-modalità ewlenija għadu applikabbli (ara vibrazzjoni lineari tal-elastomeru).

Ħu l-vibrazzjoni ta' spag. Ejja ngħidu li spag irqiq b'massa m għal kull unità ta' tul, twil l, huwa tensjonat fiż-żewġt itruf, u t-tensjoni hija T. F'dan il-ħin, il-frekwenza naturali tal-ispag hija determinata mill-ekwazzjoni li ġejja:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Fejn, hija l-veloċità tal-propagazzjoni tal-mewġa trasversali tul id-direzzjoni tal-korda. Il-frekwenzi naturali tal-kordi jiġru li huma multipli tal-frekwenza fundamentali fuq 2l. Din il-multipliċità sħiħa twassal għal struttura armonika pjaċevoli. B'mod ġenerali, ma teżisti l-ebda relazzjoni ta' multiplu sħiħ bħal din fost il-frekwenzi naturali tal-elastomeru.

L-ewwel tliet modi tal-korda tensjonata huma murija fil-FIG. 9. Hemm xi nodi fuq il-kurva tal-modalità prinċipali. Fil-vibrazzjoni prinċipali, in-nodi ma jivvibrawx. Il-FIG. 10 turi diversi modi tipiċi tal-pjanċa ċirkolari appoġġjata ċirkoferenzjalment b'xi linji nodali magħmula minn ċrieki u dijametri.

Il-formulazzjoni eżatta tal-problema tal-vibrazzjoni tal-elastomeru tista' tiġi konkluża bħala l-problema tal-valur konfini tal-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali. Madankollu, is-soluzzjoni eżatta tista' tinstab biss f'xi wħud mill-aktar każijiet sempliċi, għalhekk irridu nirrikorru għas-soluzzjoni approssimattiva għall-problema kumplessa tal-vibrazzjoni tal-elastomeru. L-essenza ta' diversi soluzzjonijiet approssimattivi hija li l-infinit jinbidel għall-finit, jiġifieri, li s-sistema b'ħafna gradi ta' libertà mingħajr riġlejn (sistema kontinwa) tiġi diskreta f'sistema finita b'ħafna gradi ta' libertà (sistema diskreta). Hemm żewġ tipi ta' metodi ta' diskretizzazzjoni użati ħafna fl-analiżi tal-inġinerija: il-metodu tal-element finit u l-metodu tas-sintesi modali.

FIG. 9 mod ta' spag

FIG. 10 mod ta' pjanċa ċirkolari

Il-metodu tal-element finit huwa struttura komposta li tastratti struttura kumplessa f'numru finit ta' elementi u tgħaqqadhom f'numru finit ta' nodi. Kull unità hija elastomeru; L-ispostament tad-distribuzzjoni tal-element huwa espress permezz tal-funzjoni ta' interpolazzjoni tal-ispostament tan-nodi. Imbagħad il-parametri tad-distribuzzjoni ta' kull element huma kkonċentrati għal kull nodu f'ċertu format, u jinkiseb il-mudell mekkaniku tas-sistema diskreta.

Is-sintesi modali hija d-dekompożizzjoni ta' struttura kumplessa f'diversi sottostrutturi aktar sempliċi. Abbażi tal-fehim tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni ta' kull sottostruttura, is-sottostruttura hija sintetizzata fi struttura ġenerali skont il-kundizzjonijiet ta' koordinazzjoni fuq l-interfaċċja, u l-morfoloġija tal-vibrazzjoni tal-istruttura ġenerali tinkiseb bl-użu tal-morfoloġija tal-vibrazzjoni ta' kull sottostruttura.

Iż-żewġ metodi huma differenti u relatati, u jistgħu jintużaw bħala referenza. Il-metodu ta' sinteżi modali jista' wkoll jiġi kkombinat b'mod effettiv mal-kejl sperimentali biex jifforma metodu ta' analiżi teoretika u sperimentali għall-vibrazzjoni ta' sistemi kbar.