X'inhi l-vibrazzjoni lineari?

Vibrazzjoni lineari: l-elastiċità tal-komponenti fis-sistema hija soġġetta għal-liġi tal-hooke, u l-forza tad-damping ġġenerata matul il-moviment hija proporzjonali għall-ewwel ekwazzjoni tal-veloċità ġeneralizzata (derivattiva tal-ħin tal-koordinati ġeneralizzati).

kunċett

Sistema lineari hija ġeneralment mudell astratt tal-vibrazzjoni tas-sistema reali. Is-sistema ta 'vibrazzjoni lineari tapplika l-prinċipju ta' superpożizzjoni, jiġifieri, jekk ir-rispons tas-sistema huwa y1 taħt l-azzjoni ta 'input x1, u y2 taħt l-azzjoni ta' input x2, allura r-rispons tas-sistema taħt l-azzjoni ta 'input x1 u x2 huwa y1 + y2.

Fuq il-bażi tal-prinċipju tas-superpożizzjoni, input arbitrarju jista 'jiġi dekompost fis-somma ta' serje ta 'impulsi infiniteżimali, u mbagħad jista' jinkiseb ir-rispons totali tas-sistema. Is-somma tal-komponenti armoniċi ta 'eċitazzjoni perjodika tista' tiġi estiża f' serje ta 'komponenti armoniċi minn Fourier transform, u l-effett ta' kull komponent armoniku fuq is-sistema jista 'jiġi investigat separatament.Għalhekk, il-karatteristiċi ta' rispons ta 'sistemi lineari b'parametri kostanti jistgħu jiġu deskritti b'rispons ta' impuls jew rispons ta 'frekwenza.

Ir-rispons tal-impuls jirreferi għar-rispons tas-sistema għall-impuls tal-unità, li jikkaratterizza l-karatteristiċi tar-rispons tas-sistema fid-dominju tal-ħin. Ir-rispons tal-frekwenza jirreferi għall-karatteristika tar-rispons tas-sistema għall-input armoniku tal-unità. Il-korrispondenza bejn it-tnejn hija determinata mit-trasformata ta’ Fourier.

klassifikazzjoni

Il-vibrazzjoni lineari tista 'tinqasam f'vibrazzjoni lineari ta' sistema ta 'grad wieħed ta' libertà u vibrazzjoni lineari ta 'sistema ta' multi-grad ta 'libertà.

(1) vibrazzjoni lineari ta 'sistema ta' grad wieħed ta 'libertà hija vibrazzjoni lineari li l-pożizzjoni tagħha tista' tiġi determinata b'koordinat ġeneralizzat. Hija l-vibrazzjoni l-aktar sempliċi li minnha jistgħu jiġu derivati ​​ħafna kunċetti bażiċi u karatteristiċi ta 'vibrazzjoni.Jinkludi sempliċi vibrazzjoni armonika, vibrazzjoni ħielsa, vibrazzjoni ta 'attenwazzjoni u vibrazzjoni sfurzata.

Vibrazzjoni armonika sempliċi: il-moviment reċiproku ta 'oġġett fil-viċinanza tal-pożizzjoni ta' ekwilibriju tiegħu skond liġi sinusojdali taħt l-azzjoni ta 'forza ta' restawr proporzjonali għall-ispostament tiegħu.

Vibrazzjoni imdgħajfa: vibrazzjoni li l-amplitudni tagħha hija kontinwament attenwata bil-preżenza ta 'frizzjoni u reżistenza dielettrika jew konsum ieħor ta' enerġija.

Vibrazzjoni sfurzata: vibrazzjoni ta 'sistema taħt eċċitazzjoni kostanti.

(2) il-vibrazzjoni lineari tas-sistema multi-grad ta 'libertà hija l-vibrazzjoni tas-sistema lineari b'n≥2 gradi ta' libertà.Sistema ta 'n gradi ta' libertà għandha n frekwenzi naturali u n modi ewlenin.Kull konfigurazzjoni ta 'vibrazzjoni tas-sistema tista 'tiġi rappreżentata bħala kombinazzjoni lineari tal-modi ewlenin.Għalhekk, il-metodu ta' superpożizzjoni tal-mod prinċipali huwa użat ħafna fl-analiżi tar-rispons dinamiku ta 'sistemi multi-dof. B'dan il-mod, il-kejl u l-analiżi tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni naturali tal- sistema ssir pass ta 'rutina fid-disinn dinamiku tas-sistema. Il-karatteristiċi dinamiċi ta' sistemi multi-dof jistgħu wkoll jiġu deskritti mill-karatteristiċi tal-frekwenza. Peress li hemm funzjoni karatteristika ta 'frekwenza bejn kull input u output, hija mibnija matriċi karatteristika ta' frekwenza. hija relazzjoni definita bejn il-karatteristika tal-frekwenza u l-modalità prinċipali. Il-kurva karatteristika ta 'amplitudni-frekwenza tas-sistema multi-libertà hija differenti minn dik tas-sistema ta' libertà waħda.

Vibrazzjoni lineari ta' sistema ta' grad wieħed ta' libertà

Vibrazzjoni lineari li fiha l-pożizzjoni ta' sistema tista' tiġi ddeterminata b'koordinata ġeneralizzata. Hija l-aktar vibrazzjoni sempliċi u fundamentali li minnha jistgħu jiġu derivati ​​ħafna kunċetti bażiċi u karatteristiċi ta' vibrazzjoni. Jinkludi vibrazzjoni armonika sempliċi, vibrazzjoni mnaqqsa u vibrazzjoni sfurzata. .

Vibrazzjoni armonika

Taħt l-azzjoni tar-restawr tal-forza proporzjonali għall-ispostament, l-oġġett jirreċiproka b'mod sinusojdali ħdejn il-pożizzjoni ta 'ekwilibriju tiegħu (FIG. 1).X jirrappreżenta l-ispostament u t jirrappreżenta l-ħin.L-espressjoni matematika ta 'din il-vibrazzjoni hija:

(1)Fejn A huwa l-valur massimu tal-ispostament x, li jissejjaħ l-amplitudni, u jirrappreżenta l-intensità tal-vibrazzjoni;Omega n hija l-amplitudni Inkrement tal-angolu tal-vibrazzjoni kull sekonda, li tissejjaħ il-frekwenza angolari, jew il-frekwenza ċirkolari;Dan tissejjaħ il-fażi inizjali.F'termini ta 'f= n/2, in-numru ta' oxxillazzjonijiet kull sekonda jissejjaħ il-frekwenza;L-invers ta 'dan, T=1/f, huwa l-ħin li tieħu biex toxxilla ċiklu wieħed, u dak jissejjaħ il-perjodu.Amplitudità A, frekwenza f (jew frekwenza angolari n), il-fażi inizjali, magħrufa bħala vibrazzjoni armonika sempliċi tliet elementi.

FIG.1 kurva ta 'vibrazzjoni armonika sempliċi

Kif muri fil-FIG.2, oxxillatur armoniku sempliċi huwa ffurmat mill-massa konċentrata m konnessa minn molla lineari. Meta l-ispostament tal-vibrazzjoni jiġi kkalkulat mill-pożizzjoni tal-ekwilibriju, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni hija:

Fejn hi l-ebusija tar-rebbiegħa.Is-soluzzjoni ġenerali għall-ekwazzjoni ta' hawn fuq hija (1).A u tista' tiġi determinata mill-pożizzjoni inizjali x0 u l-veloċità inizjali f't=0:

Iżda omega n huwa determinat biss mill-karatteristiċi tas-sistema nnifisha m u k, indipendenti mill-kundizzjonijiet inizjali addizzjonali, għalhekk omega n hija magħrufa wkoll bħala l-frekwenza naturali.

FIG.2 sistema ta 'grad wieħed ta' libertà

Għal oxxillatur armoniku sempliċi, is-somma tal-enerġija kinetika u l-enerġija potenzjali tagħha hija kostanti, jiġifieri, l-enerġija mekkanika totali tas-sistema hija kkonservata. Fil-proċess ta 'vibrazzjoni, l-enerġija kinetika u l-enerġija potenzjali huma kontinwament trasformati f'xulxin.

Il-vibrazzjoni tad-damping

Vibrazzjoni li l-amplitudni tagħha hija kontinwament attenwata minn frizzjoni u reżistenza dielettrika jew konsum ieħor ta 'enerġija. Għal mikro vibrazzjoni, il-veloċità ġeneralment mhix kbira ħafna, u r-reżistenza medja hija proporzjonali għall-veloċità għall-ewwel qawwa, li tista' tinkiteb bħala c hija il-koeffiċjent tad-damping.Għalhekk, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni ta 'grad wieħed ta' libertà bi damping lineari tista 'tinkiteb bħala:

(2)Fejn, m =c/2m jissejjaħ il-parametru tad-damping, u.Is-soluzzjoni ġenerali tal-formula (2) tista' tinkiteb:

(3)Ir-relazzjoni numerika bejn omega n u PI tista 'tinqasam fit-tliet każijiet li ġejjin:

N > (fil-każ ta 'damping żgħir) partiċelli prodotti vibrazzjoni attenwazzjoni, l-ekwazzjoni tal-vibrazzjoni hija:

L-amplitudni tagħha tonqos maż-żmien skond il-liġi esponenzjali murija fl-ekwazzjoni, kif muri fil-linja bit-tikek fil-FIG.3.Strictly speaking, din il-vibrazzjoni hija aperijodika, iżda l-frekwenza tal-quċċata tagħha tista 'tiġi definita bħala:

Issejjaħ ir-rata tat-tnaqqis tal-amplitudni, fejn huwa l-perjodu ta 'vibrazzjoni.Il-logaritmu naturali tar-rata tat-tnaqqis tal-amplitudni jissejjaħ ir-rata tal-logaritmu nieqes (amplitudni).Ovvjament, =, f'dan il-każ, hija ugwali għal 2/1.Direttament permezz tal- test sperimentali delta u, bl-użu tal-formula ta 'hawn fuq jistgħu jiġu kkalkulati c.

F'dan iż-żmien, is-soluzzjoni tal-ekwazzjoni (2) tista' tinkiteb:

Flimkien mad-direzzjoni tal-veloċità inizjali, tista 'tinqasam fi tliet każijiet ta' non-vibrazzjoni kif muri fil-FIG.4.

N < (fil-każ ta 'damping kbir), is-soluzzjoni għall-ekwazzjoni (2) tidher fl-ekwazzjoni (3).F'dan il-punt, is-sistema m'għadhiex tivvibra.

Vibrazzjoni sfurzata

Vibrazzjoni ta' sistema taħt eċċitazzjoni kostanti.Analiżi tal-vibrazzjoni prinċipalment tinvestiga r-rispons tas-sistema għall-eċitazzjoni.Eċitazzjoni perjodika hija eċċitazzjoni regolari tipika.Peress li l-eċitazzjoni perjodika tista 'dejjem tiġi dekomposta fis-somma ta' diversi eċċitazzjoni armonika, skond il-prinċipju ta 'superpożizzjoni, biss ir-rispons tas-sistema għal kull eċċitazzjoni armonika hija meħtieġa.Taħt l-azzjoni ta 'eċitazzjoni armonika, l-ekwazzjoni differenzjali tal-moviment ta' sistema ta 'grad wieħed ta' libertà damped tista 'tinkiteb:

Ir-rispons huwa s-somma ta 'żewġ partijiet.Parti waħda hija r-rispons tal-vibrazzjoni mnaqqsa, li titmermer malajr biż-żmien. Ir-rispons ta 'parti oħra tal-vibrazzjoni sfurzata jista' jinkiteb:

FIG.3 kurva tal-vibrazzjoni imtaffi

FIG.4 kurvi ta 'tliet kundizzjonijiet inizjali b'damping kritiku

Ittajpja l-

H /F0= h (), huwa l-proporzjon ta 'amplitudni ta' rispons stabbli għal amplitudni ta 'eċitazzjoni, li jikkaratterizzaw karatteristiċi ta' amplitudni-frekwenza, jew funzjoni ta 'qligħ;Bits għal rispons ta' stat fiss u inċentiv ta 'fażi, karatterizzazzjoni ta' karatteristiċi ta 'frekwenza tal-fażi. Ir-relazzjoni bejniethom u frekwenza ta 'eċitazzjoni hija murija fil-FIG.5 u FIG.6.

Kif jidher mill-kurva tal-amplitudni tal-frekwenza (FIG. 5), fil-każ ta 'damping żgħir, il-kurva tal-amplitudni tal-frekwenza għandha quċċata waħda. Iktar ma jkun żgħir id-damping, iktar ikun wieqaf il-quċċata; Il-frekwenza li tikkorrispondi għall-quċċata hija imsejħa l-frekwenza reżonanti tas-sistema.Fil-każ ta 'damping żgħir, il-frekwenza tar-reżonanza mhix ħafna differenti mill-frekwenza naturali.Meta l-frekwenza ta' eċitazzjoni tkun qrib il-frekwenza naturali, l-amplitudni tiżdied b'mod qawwi.Dan il-fenomenu jissejjaħ reżonanza.F'reżonanza, il-qligħ tas-sistema huwa massimizzat, jiġifieri, il-vibrazzjoni sfurzata hija l-aktar intensa.Għalhekk, b'mod ġenerali, dejjem tistinka biex tevita r-reżonanza, sakemm xi strumenti u tagħmir biex jużaw reżonanza biex jiksbu reżonanza kbira vibrazzjoni.

FIG.5 kurva tal-frekwenza tal-amplitudni

Jista 'jidher mill-kurva tal-frekwenza tal-fażi (figura 6), irrispettivament mid-daqs tad-damping, f'bits tad-differenza tal-fażi omega żero = PI / 2, din il-karatteristika tista' tintuża b'mod effettiv fil-kejl tar-reżonanza.

Minbarra l-eċitazzjoni kostanti, is-sistemi xi drabi jiltaqgħu ma 'eċċitazzjoni mhux stabbli.Jista' bejn wieħed u ieħor maqsum f'żewġ tipi: wieħed huwa l-impatt f'daqqa. It-tieni huwa l-effett dejjiemi ta 'arbitrjetà.Taħt eċċitazzjoni mhux stabbli, ir-rispons tas-sistema huwa wkoll mhux stabbli.

Għodda qawwija għall-analiżi tal-vibrazzjoni mhux stabbli hija l-metodu ta 'rispons tal-impuls. Jiddeskrivi l-karatteristiċi dinamiċi tas-sistema bir-rispons temporanju tal-input tal-impuls tal-unità tas-sistema. L-impuls tal-unità jista' jiġi espress bħala funzjoni delta. Fl-inġinerija, id-delta funzjoni ħafna drabi hija definita bħala:

Fejn 0- jirrappreżenta l-punt fuq l-assi t li joqrob lejn iż-żero mix-xellug; 0 plus huwa l-punt li jmur għal 0 mil-lemin.

FIG.6 kurva tal-frekwenza tal-fażi

FIG.7 kwalunkwe input jista 'jitqies bħala s-somma ta' serje ta 'elementi ta' impuls

Is-sistema tikkorrispondi għar-rispons h(t) iġġenerat mill-impuls tal-unità f't=0, li tissejjaħ il-funzjoni ta' rispons tal-impuls. Jekk wieħed jassumi li s-sistema tkun wieqfa qabel il-polz, h(t)=0 għal t<0.Jafu il-funzjoni ta 'rispons tal-impuls tas-sistema, nistgħu nsibu r-rispons tas-sistema għal kwalunkwe input x(t).F'dan il-punt, tista' taħseb f'x(t) bħala s-somma ta 'serje ta' elementi tal-impuls (FIG. 7) .Ir-rispons tas-sistema huwa:

Ibbażat fuq il-prinċipju tas-superpożizzjoni, ir-rispons totali tas-sistema li jikkorrispondi għal x(t) huwa:

Din l-integral tissejjaħ integrali ta' konvoluzzjoni jew integrali ta' superpożizzjoni.

Vibrazzjoni lineari ta 'sistema ta' diversi gradi ta 'libertà

Vibrazzjoni ta' sistema lineari b'n≥2 gradi ta' libertà.

Il-Figura 8 turi żewġ sottosistemi reżonanti sempliċi konnessi b'molla ta' akkoppjar. Minħabba li hija sistema ta 'żewġ gradi ta' libertà, huma meħtieġa żewġ koordinati indipendenti biex jiddeterminaw il-pożizzjoni tagħha. Hemm żewġ frekwenzi naturali f'din is-sistema:

Kull frekwenza tikkorrispondi għal mod ta 'vibrazzjoni.L-oxxillaturi armoniċi jwettqu oxxillazzjonijiet armoniċi tal-istess frekwenza, li jgħaddu b'mod sinkroniku mill-pożizzjoni tal-ekwilibriju u jilħqu l-pożizzjoni estrema b'mod sinkroniku. Fil-vibrazzjoni prinċipali li tikkorrispondi għal omega wieħed, x1 hija ugwali għal x2;Fi il-vibrazzjoni prinċipali li tikkorrispondi għal omega omega two, omega omega one.Fil-vibrazzjoni prinċipali, il-proporzjon ta 'spostament ta' kull massa jżomm ċerta relazzjoni u jifforma ċertu mod, li jissejjaħ il-mod prinċipali jew il-mod naturali.L-ortogonalità tal-massa u ebusija teżisti fost il-modi ewlenin, li tirrifletti l-indipendenza ta 'kull vibrazzjoni. Il-frekwenza naturali u l-mod prinċipali jirrappreżentaw il-karatteristiċi inerenti tal-vibrazzjoni tas-sistema ta' multi-grad ta 'libertà.

FIG.8 sistema bi gradi multipli ta 'libertà

Sistema ta 'n gradi ta' libertà għandha n frekwenzi naturali u n modi ewlenin. Kwalunkwe konfigurazzjoni ta 'vibrazzjoni tas-sistema tista' tiġi rappreżentata bħala kombinazzjoni lineari tal-modi ewlenin. Għalhekk, il-metodu ta 'superpożizzjoni tal-mod prinċipali huwa użat ħafna fl-analiżi tar-rispons dinamiku ta' multi -dof systems.B'dan il-mod, il-kejl u l-analiżi tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni naturali tas-sistema ssir pass ta 'rutina fid-disinn dinamiku tas-sistema.

Il-karatteristiċi dinamiċi ta 'sistemi multi-dof jistgħu wkoll jiġu deskritti mill-karatteristiċi tal-frekwenza. Peress li hemm funzjoni karatteristika ta' frekwenza bejn kull input u output, hija mibnija matriċi karatteristika ta 'frekwenza. Il-kurva karatteristika ta' amplitudni-frekwenza tas-sistema multi-libertà hija differenti minn dik tas-sistema ta’ libertà waħda.

L-elastomeru jivvibra

Is-sistema multi-grad ta 'libertà ta' hawn fuq hija mudell mekkaniku approssimattiv ta 'elastomer. Elastomeru għandu numru infinit ta' gradi ta 'libertà. Hemm differenza kwantitattiva iżda l-ebda differenza essenzjali bejn it-tnejn. Kwalunkwe elastomer għandu numru infinit ta' frekwenzi naturali u numru infinit ta 'modi korrispondenti, u hemm ortogonalità bejn il-modi ta' massa u ebusija.Kull konfigurazzjoni vibrazzjonali tal-elastomer tista 'tiġi rappreżentata wkoll bħala superpożizzjoni lineari tal-modi ewlenin. Għalhekk, għall-analiżi tar-rispons dinamiku tal-elastomer, il-metodu ta' superpożizzjoni tal-modalità prinċipali għadu applikabbli (ara l-vibrazzjoni lineari tal-elastomer).

Ħu l-vibrazzjoni ta 'korda.Ejja ngħidu li spaga rqiqa ta' massa m għal kull tul ta 'unità, twil l, hija tensjoni fiż-żewġt itruf, u t-tensjoni hija T.F'dan iż-żmien, il-frekwenza naturali tas-sekwenza hija determinata minn dan li ġej ekwazzjoni:

F =na/2l (n= 1,2,3...).

Fejn, hija l-veloċità tal-propagazzjoni tal-mewġ trasversali tul id-direzzjoni tas-sekwenza. Il-frekwenzi naturali tal-kordi jinzertaw li huma multipli tal-frekwenza fundamentali fuq 2l.Din il-multipliċità sħiħa twassal għal struttura armonika pjaċevoli. B'mod ġenerali, m'hemm l-ebda tali relazzjoni multipla integer fost il-frekwenzi naturali tal-elastomer.

L-ewwel tliet modi tas-sekwenza tat-tensjoni huma murija fil-FIG.9. Hemm xi nodi fuq il-kurva tal-modalità prinċipali.Fil-vibrazzjoni prinċipali, in-nodi ma jivvibrawx.FIG.10 turi diversi modi tipiċi tal-pjanċa ċirkolari appoġġjata ċirkonferenzjali b'xi linji nodali komposti minn ċrieki u dijametri.

Il-formulazzjoni eżatta tal-problema tal-vibrazzjoni tal-elastomer tista 'tiġi konkluża bħala l-problema tal-valur tal-konfini tal-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali. Madankollu, is-soluzzjoni eżatta tista' tinstab biss f'xi wħud mill-aktar każijiet sempliċi, għalhekk għandna nirrikorru għas-soluzzjoni approssimattiva għall-elastomer kumpless. problema tal-vibrazzjoni.L-essenza ta 'diversi soluzzjonijiet approssimattivi hija li tinbidel l-infinit għall-finit, jiġifieri, li tiddiskretizza s-sistema ta' multi-gradi ta 'libertà mingħajr riġlejn (sistema kontinwa) f'sistema finita ta' multi-grad ta 'libertà (sistema diskreta) .Hemm żewġ tipi ta 'metodi ta' diskretizzazzjoni użati ħafna fl-analiżi tal-inġinerija: metodu ta 'elementi finiti u metodu ta' sinteżi modali.

FIG.9 mod ta 'sekwenza

FIG.10 mod ta 'pjanċa ċirkolari

Il-metodu tal-element finit huwa struttura komposta li tiġbed struttura kumplessa f'numru finit ta' elementi u tgħaqqadhom f'numru finit ta' nodi. Kull unità hija elastomer; il-parametri tad-distribuzzjoni ta 'kull element huma kkonċentrati għal kull node f'ċertu format, u jinkiseb il-mudell mekkaniku tas-sistema diskreta.

Sintesi modali hija d-dekompożizzjoni ta 'struttura kumplessa f'diversi sottostrutturi aktar sempliċi. Fuq il-bażi tal-fehim tal-karatteristiċi tal-vibrazzjoni ta' kull sottostruttura, is-sottostruttura hija sintetizzata fi struttura ġenerali skont il-kundizzjonijiet ta 'koordinazzjoni fuq l-interface, u l-morfoloġija tal-vibrazzjoni tal-ġenerali struttura tinkiseb bl-użu tal-morfoloġija tal-vibrazzjoni ta 'kull sottostruttura.

Iż-żewġ metodi huma differenti u relatati, u jistgħu jintużaw bħala referenza.Il-metodu ta 'sinteżi modali jista' wkoll jiġi kkombinat b'mod effettiv mal-kejl sperimentali biex jifforma metodu ta 'analiżi teoretiku u sperimentali għall-vibrazzjoni ta' sistemi kbar.