Lineêre trilling: de elastisiteit fan komponinten yn it systeem is ûnderwurpen oan de wet fan Hooke, en de dempingskrêft dy't ûntstiet tidens de beweging is evenredich mei de earste fergeliking fan 'e generalisearre snelheid (tiidôfgeleide fan 'e generalisearre koördinaten).
konsept
In lineêr systeem is meastentiids in abstrakt model fan 'e trilling fan in echt systeem. It lineêre trillingssysteem past it superposysjeprinsipe ta, dat is, as de reaksje fan it systeem y1 is ûnder de aksje fan ynfier x1, en y2 ûnder de aksje fan ynfier x2, dan is de reaksje fan it systeem ûnder de aksje fan ynfier x1 en x2 y1+y2.
Op basis fan superposysjeprinsipe kin in willekeurige ynfier ûntbûn wurde yn 'e som fan in searje infinitesimale ympulsen, en dan kin de totale respons fan it systeem krigen wurde. De som fan 'e harmonyske komponinten fan in periodike eksitaasje kin útwreide wurde ta in searje harmonyske komponinten troch Fourier-transformaasje, en it effekt fan elke harmonyske komponint op it systeem kin apart ûndersocht wurde. Dêrom kinne de responskarakteristiken fan lineêre systemen mei konstante parameters beskreaun wurde troch ympulsrespons of frekwinsjerespons.
Impulsreaksje ferwiist nei de reaksje fan it systeem op 'e ienheidsimpuls, dy't de reaksjekarakteristiken fan it systeem yn it tiiddomein karakterisearret. Frekwinsjereaksje ferwiist nei de reaksjekarakteristiken fan it systeem op 'e ienheidsharmonyske ynfier. De oerienkomst tusken de twa wurdt bepaald troch de Fourier-transformaasje.
klassifikaasje
Lineêre trilling kin wurde ferdield yn lineêre trilling fan in systeem mei ien frijheidsgraad en lineêre trilling fan in systeem mei meardere frijheidsgraden.
(1) lineêre trilling fan in systeem mei ien graad fan frijheid is in lineêre trilling wêrfan de posysje bepaald wurde kin troch in generalisearre koördinaat. It is de ienfâldichste trilling wêrfan in protte basisbegripen en skaaimerken fan trilling ôflaat wurde kinne. It omfettet ienfâldige harmonyske trilling, frije trilling, ferswakkingstrilling en twongen trilling.
Ienfâldige harmonyske trilling: de heen en wer beweging fan in objekt yn 'e buert fan syn lykwichtsposysje neffens in sinusfoarmige wet ûnder de aksje fan in herstellende krêft evenredich mei syn ferpleatsing.
Dempede trilling: trilling wêrfan de amplitude kontinu ferswakke wurdt troch de oanwêzigens fan wriuwing en diëlektryske wjerstân of oar enerzjyferbrûk.
Twongen trilling: trilling fan in systeem ûnder konstante oanstjoering.
(2) de lineêre trilling fan it systeem mei meardere frijheidsgraden is de trilling fan it lineêre systeem mei n≥2 frijheidsgraden. In systeem fan n frijheidsgraden hat n natuerlike frekwinsjes en n haadmodi. Elke trillingskonfiguraasje fan it systeem kin wurde fertsjintwurdige as in lineêre kombinaasje fan 'e haadmodi. Dêrom wurdt de haadmodus-superposysjemetoade breed brûkt yn dynamyske responsanalyse fan multi-dof-systemen. Op dizze manier wurdt de mjitting en analyze fan 'e natuerlike trillingskarakteristiken fan it systeem in routinestap yn it dynamyske ûntwerp fan it systeem. De dynamyske skaaimerken fan multi-dof-systemen kinne ek wurde beskreaun troch frekwinsjekarakteristiken. Om't der in frekwinsjekarakteristikefunksje is tusken elke ynfier en útfier, wurdt in frekwinsjekarakteristikematrix konstruearre. Der is in dúdlike relaasje tusken de frekwinsjekarakteristike en de haadmodus. De amplitude-frekwinsjekarakteristikekromme fan it multi-frijheidssysteem is oars as dy fan it systeem mei ien frijheid.
Lineêre trilling fan in systeem mei ien graad fan frijheid
In lineêre trilling wêryn't de posysje fan in systeem bepaald wurde kin troch in generalisearre koördinaat. It is de ienfâldichste en meast fûnemintele trilling wêrfan in protte basisbegripen en skaaimerken fan trilling ôflaat wurde kinne. It omfettet ienfâldige harmonyske trilling, dempte trilling en twongen trilling.
Harmonyske trilling
Under de aksje fan it werombringen fan krêft evenredich mei de ferpleatsing, beweecht it objekt him op in sinusfoarmige manier hinne en wer tichtby syn lykwichtsposysje (FIG. 1). X stiet foar de ferpleatsing en t stiet foar de tiid. De wiskundige útdrukking fan dizze trilling is:
(1)Wêrby't A de maksimale wearde is fan ferpleatsing x, dy't de amplitude neamd wurdt, en de yntensiteit fan 'e trilling fertsjintwurdiget; Omega n is de amplitude Hoekeferheging fan 'e trilling per sekonde, dy't de hoekfrekwinsje neamd wurdt, of de sirkelfoarmige frekwinsje; Dit wurdt de earste faze neamd. Yn termen fan f = n / 2 wurdt it oantal oscillaasjes per sekonde de frekwinsje neamd; De inverse hjirfan, T = 1 / f, is de tiid dy't it duorret om ien syklus te oscillearjen, en dat wurdt de perioade neamd. Amplitude A, frekwinsje f (of hoekfrekwinsje n), de earste faze, bekend as ienfâldige harmonyske trilling trije eleminten.
FIG. 1 ienfâldige harmonyske trillingskurve
Lykas te sjen is yn FIG. 2, wurdt in ienfâldige harmonyske oscillator foarme troch de konsintrearre massa m dy't ferbûn is troch in lineêre fear. As de trillingsferpleatsing berekkene wurdt út 'e lykwichtsposysje, is de trillingsfergeliking:
Wêr't de stivens fan 'e fear is. De algemiene oplossing foar de boppesteande fergeliking is (1).A en kin bepaald wurde troch de begjinposysje x0 en de begjinsnelheid by t=0:
Mar omega n wurdt allinich bepaald troch de skaaimerken fan it systeem sels m en k, ûnôfhinklik fan 'e ekstra begjinbetingsten, dus omega n is ek bekend as de natuerlike frekwinsje.
FIG. 2 systeem mei ien graad fan frijheid
Foar in ienfâldige harmonyske oscillator is de som fan syn kinetyske enerzjy en potensjele enerzjy konstant, dat wol sizze, de totale meganyske enerzjy fan it systeem bliuwt bewarre. Yn it proses fan trilling wurde kinetyske enerzjy en potensjele enerzjy konstant yn elkoar omset.
De dempende trilling
In trilling waans amplitude kontinu ferswakke wurdt troch wriuwing en diëlektryske wjerstân of oar enerzjyferbrûk. Foar mikrotrilling is de snelheid oer it algemien net hiel grut, en de mediumwjerstân is evenredich mei de snelheid ta de earste macht, dy't skreaun wurde kin as c de dempingskoëffisjint is. Dêrom kin de trillingsfergeliking fan ien frijheidsgraad mei lineêre demping skreaun wurde as:
(2)Wêrby't m = c/2m de dempingsparameter neamd wurdt, en De algemiene oplossing fan formule (2) kin skreaun wurde:
(3)De numerike relaasje tusken omega n en PI kin wurde ferdield yn 'e folgjende trije gefallen:
N > (yn it gefal fan lytse demping) dieltsje-produsearre ferswakkingstrilling, de trillingsfergeliking is:
Syn amplitude nimt ôf mei de tiid neffens de eksponensjele wet dy't werjûn wurdt yn 'e fergeliking, lykas werjûn yn 'e stippele line yn FIG. 3. Strikt nommen is dizze trilling aperiodyk, mar de frekwinsje fan syn pyk kin definiearre wurde as:
Wurdt de amplitudereduksjesnelheid neamd, wêrby't de perioade fan trilling is. De natuerlike logaritme fan 'e amplitudereduksjesnelheid wurdt de logaritme minus (amplitude) snelheid neamd. Fansels is =, yn dit gefal, gelyk oan 2/1. Direkt fia de eksperimintele testdelta en, mei de boppesteande formule, kin c berekkene wurde.
Op dit stuit kin de oplossing fan fergeliking (2) skreaun wurde:
Tegearre mei de rjochting fan 'e begjinsnelheid kin it wurde ferdield yn trije net-trillingsgefallen lykas te sjen is yn FIG. 4.
N < (yn it gefal fan grutte demping), wurdt de oplossing foar fergeliking (2) werjûn yn fergeliking (3). Op dit punt trilt it systeem net mear.
Twongen trilling
Trilling fan in systeem ûnder konstante eksitaasje. Trillingsanalyse ûndersiket benammen de reaksje fan it systeem op eksitaasje. Periodike eksitaasje is in typyske reguliere eksitaasje. Om't periodike eksitaasje altyd kin wurde ûntbûn yn 'e som fan ferskate harmonyske eksitaasjes, is neffens it superposysjeprinsipe allinich de reaksje fan it systeem op elke harmonyske eksitaasje fereaske. Under de aksje fan harmonyske eksitaasje kin de differinsjaalfergeliking fan beweging fan in systeem mei ien frijheidsgraad dempt wurde:
De reaksje is de som fan twa dielen. Ien diel is de reaksje fan 'e dempte trilling, dy't mei de tiid rap ôfnimt. De reaksje fan in oar diel fan 'e twongen trilling kin skreaun wurde as:
FIG. 3 dempte trillingskurve
FIG. 4 krommen fan trije begjinbetingsten mei krityske demping
Typ yn de
H /F0= h(), is de ferhâlding fan 'e stabile responsamplitude ta de eksitaasjeamplitude, karakterisearret amplitude-frekwinsjekarakteristiken, of fersterkingsfunksje; Bits foar stabile respons en stimulâns fan faze, karakterisaasje fan fazefrekwinsjekarakteristiken. De relaasje tusken har en de eksitaasjefrekwinsje wurdt werjûn yn FIG. 5 en FIG. 6.
Lykas te sjen is oan 'e amplitude-frekwinsjekromme (FIG. 5), hat de amplitude-frekwinsjekromme yn it gefal fan lytse demping ien pyk. Hoe lytser de demping, hoe steiler de pyk; De frekwinsje dy't oerienkomt mei de pyk wurdt de resonânsjefrekwinsje fan it systeem neamd. Yn it gefal fan lytse demping ferskilt de resonânsjefrekwinsje net folle fan 'e natuerlike frekwinsje. As de eksitaasjefrekwinsje ticht by de natuerlike frekwinsje leit, nimt de amplitude skerp ta. Dit ferskynsel wurdt resonânsje neamd. By resonânsje wurdt de fersterking fan it systeem maksimaal makke, dat wol sizze, de twongen trilling is it yntinsyfst. Dêrom, yn 't algemien, stribje altyd nei it foarkommen fan resonânsje, útsein as guon ynstruminten en apparatuer resonânsje brûke om grutte trilling te berikken.
FIG. 5 amplitudefrekwinsjekromme
Kin sjoen wurde oan 'e fazefrekwinsjekromme (figuer 6), ûnôfhinklik fan 'e grutte fan demping, yn omega nul fazeferskilbits = PI / 2, kin dizze karakteristyk effektyf brûkt wurde by it mjitten fan resonânsje.
Neist stabile eksitaasje komme systemen soms ek ûnstabile eksitaasje tsjin. It kin rûchwei ferdield wurde yn twa soarten: ien is de hommelse ynfloed. De twadde is it bliuwende effekt fan willekeurichheid. Under ûnstabile eksitaasje is de reaksje fan it systeem ek ûnstabyl.
In krêftich ark foar it analysearjen fan ûnstabile trilling is de ympulsresponsmetoade. It beskriuwt de dynamyske skaaimerken fan it systeem mei de tydlike respons fan 'e ienheidsimpulsynfier fan it systeem. De ienheidsimpuls kin útdrukt wurde as in deltafunksje. Yn 'e technyk wurdt de deltafunksje faak definiearre as:
Wêr't 0- it punt op 'e t-as fertsjintwurdiget dat fan links nei nul giet; 0 plus it punt is dat fan rjochts nei 0 giet.
FIG. 6 fazefrekwinsjekromme
FIG. 7 elke ynfier kin beskôge wurde as de som fan in searje ympulseleminten
It systeem komt oerien mei de reaksje h(t) generearre troch de ienheidsimpuls by t=0, dy't de ympulsreaksjefunksje neamd wurdt. As wy oannimme dat it systeem stasjonêr is foar de puls, is h(t)=0 foar t<0. As wy de ympulsreaksjefunksje fan it systeem kenne, kinne wy de reaksje fan it systeem op elke ynfier x(t) fine. Op dit punt kinne jo x(t) beskôgje as de som fan in searje ympulseleminten (FIG. 7). De reaksje fan it systeem is:
Op basis fan it superposysjeprinsipe is de totale respons fan it systeem dat oerienkomt mei x(t):
Dizze yntegraal wurdt in konvolúsje-yntegraal of in superposysje-yntegraal neamd.
Lineêre trilling fan in systeem mei meardere frijheidsgraden
Trilling fan in lineêr systeem mei n≥2 frijheidsgraden.
Figuer 8 lit twa ienfâldige resonante subsystemen sjen dy't ferbûn binne troch in koppelingsfear. Omdat it in systeem mei twa frijheidsgraden is, binne twa ûnôfhinklike koördinaten nedich om de posysje te bepalen. Der binne twa natuerlike frekwinsjes yn dit systeem:
Elke frekwinsje komt oerien mei in trillingsmodus. De harmonyske oscillatoren fiere harmonyske oscillaasjes út fan deselde frekwinsje, geane syngroan troch de lykwichtsposysje en berikke syngroan de ekstreme posysje. Yn 'e haadtrilling dy't oerienkomt mei omega ien, is x1 gelyk oan x2; Yn 'e haadtrilling dy't oerienkomt mei omega omega twa, omega omega ien. Yn 'e haadtrilling hâldt de ferpleatsingsferhâlding fan elke massa in bepaalde relaasje en foarmet in bepaalde modus, dy't de haadmodus of de natuerlike modus neamd wurdt. De ortogonaliteit fan massa en stivens bestiet tusken de haadmodi, wat de ûnôfhinklikens fan elke trilling reflektearret. De natuerlike frekwinsje en haadmodus fertsjintwurdigje de ynherinte trillingskarakteristiken fan it systeem mei meardere frijheidsgraden.
FIG. 8 systeem mei meardere frijheidsgraden
In systeem fan n frijheidsgraden hat n natuerlike frekwinsjes en n haadmodi. Elke trillingskonfiguraasje fan it systeem kin wurde fertsjintwurdige as in lineêre kombinaasje fan 'e haadmodi. Dêrom wurdt de haadmodus-superposysjemetoade breed brûkt yn dynamyske responsanalyse fan multi-dof-systemen. Op dizze manier wurdt de mjitting en analyze fan 'e natuerlike trillingskarakteristiken fan it systeem in routinestap yn it dynamyske ûntwerp fan it systeem.
De dynamyske skaaimerken fan multi-dof-systemen kinne ek beskreaun wurde troch frekwinsjekarakteristiken. Om't der in frekwinsjekarakteristikefunksje is tusken elke ynfier en útfier, wurdt in frekwinsjekarakteristikematrix konstruearre. De amplitude-frekwinsjekarakteristike kromme fan it multi-frijheidssysteem is oars as dy fan it ienfrijheidssysteem.
It elastomeer trilt
It boppesteande systeem mei meardere frijheidsgraden is in sawat meganysk model fan in elastomeer. In elastomeer hat in ûneinich oantal frijheidsgraden. Der is in kwantitatyf ferskil, mar gjin essinsjeel ferskil tusken de twa. Elk elastomeer hat in ûneinich oantal natuerlike frekwinsjes en in ûneinich oantal oerienkommende modi, en der is ortogonaliteit tusken de modi fan massa en styfheid. Elke trillingskonfiguraasje fan it elastomeer kin ek wurde fertsjintwurdige as in lineêre superposysje fan 'e haadmodi. Dêrom is, foar dynamyske responsanalyse fan it elastomeer, de superposysjemetoade fan 'e haadmodus noch altyd fan tapassing (sjoch lineêre trilling fan it elastomeer).
Nim de trilling fan in snaar. Lit ús sizze dat in tinne snaar mei massa m per lingte-ienheid, lang l, oan beide úteinen spand is, en de spanning T is. Op dit stuit wurdt de natuerlike frekwinsje fan 'e snaar bepaald troch de folgjende fergeliking:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Wêr't, de ferspriedingssnelheid is fan 'e transversale weach lâns de rjochting fan 'e snaar. De natuerlike frekwinsjes fan 'e snaren binne tafallich mearfâlden fan 'e fûnemintele frekwinsje oer 2l. Dizze hiele mearfâldigens liedt ta in noflike harmonyske struktuer. Yn 't algemien is der gjin sokke hiele mearfâldigensrelaasje tusken de natuerlike frekwinsjes fan it elastomeer.
De earste trije modi fan 'e spande snaar wurde werjûn yn FIG. 9. Der binne wat knooppunten op 'e haadmoduskromme. Yn 'e haadtrilling trilje de knooppunten net. FIG. 10 lit ferskate typyske modi sjen fan 'e omtreksgewiis stipe sirkelfoarmige plaat mei wat knooppunten dy't besteane út sirkels en diameters.
De krekte formulearring fan it elastomeervibraasjeprobleem kin konkludearre wurde as it grinsweardeprobleem fan parsjele differinsjaalfergelikingen. De krekte oplossing kin lykwols allinich fûn wurde yn guon fan 'e ienfâldichste gefallen, dus moatte wy ús ta de ungefeare oplossing foar it komplekse elastomeervibraasjeprobleem wenden. De essinsje fan ferskate ungefeare oplossingen is om it ûneinige te feroarjen yn it eindige, dat is, om it lidmaatleaze systeem mei meardere frijheidsgraden (kontinu systeem) te diskretisearjen yn in eindig systeem mei meardere frijheidsgraden (diskreet systeem). Der binne twa soarten diskretisaasjemetoaden dy't in soad brûkt wurde yn yngenieursanalyse: eindige elemintenmetoade en modale syntezemetoade.
FIG. 9 modus fan tekenrige
FIG. 10 modus fan sirkelfoarmige plaat
De eindige elemintenmetoade is in gearstalde struktuer dy't in komplekse struktuer abstraheart yn in eindig oantal eleminten en se ferbynt by in eindig oantal knooppunten. Elke ienheid is in elastomeer; De ferdielingsferpleatsing fan it elemint wurdt útdrukt troch de ynterpolaasjefunksje fan knooppuntferpleatsing. Dan wurde de ferdielingsparameters fan elk elemint konsintrearre nei elk knooppunt yn in bepaald formaat, en wurdt it meganyske model fan it diskrete systeem krigen.
Modale synteze is de ûntbining fan in komplekse struktuer yn ferskate ienfâldiger substruktueren. Op basis fan it begripen fan 'e trillingskarakteristiken fan elke substruktuer wurdt de substruktuer synthetisearre ta in algemiene struktuer neffens de koördinaasjebetingsten op 'e ynterface, en de trillingsmorfology fan 'e algemiene struktuer wurdt krigen troch de trillingsmorfology fan elke substruktuer te brûken.
De twa metoaden binne ferskillend en besibbe, en kinne as referinsje brûkt wurde. De modale syntezemetoade kin ek effektyf kombinearre wurde mei de eksperimintele mjitting om in teoretyske en eksperimintele analysemetoade te foarmjen foar de trilling fan grutte systemen.
Pleatsingstiid: 3 april 2020
