Wat is lineêre trilling?

Lineêre trilling: de elastisiteit fan komponinten yn it systeem is ûnderwurpen oan hook syn wet, en de damping krêft generearre tidens de beweging is evenredich mei de earste fergeliking fan de generalisearre snelheid (tiid derivative fan de generalisearre koördinaten).

konsept

Linear systeem is meastal in abstrakt model fan de trilling fan it echte systeem. De lineêre trilling systeem jildt it superposition prinsipe, dat is, as de reaksje fan it systeem is y1 ûnder de aksje fan input x1, en y2 ûnder de aksje fan input x2, dan is it antwurd fan it systeem ûnder de aksje fan ynfier x1 en x2 y1+y2.

Op grûn fan superposysjeprinsipe kin in willekeurige ynput wurde ûntbûn yn 'e som fan in searje ûneinich lytse ympulsen, en dan kin de totale reaksje fan it systeem krigen wurde. rige fan harmonic komponinten troch Fourier transform, en it effekt fan eltse harmonic komponint op it systeem kin wurde ûndersocht apart.Dêrom, de reaksje skaaimerken fan lineêre systemen mei konstante parameters kinne wurde beskreaun troch ympuls antwurd of frekwinsje antwurd.

Impuls antwurd ferwiist nei it antwurd fan it systeem oan de ienheid ympuls, dy't karakterisearret de reaksje skaaimerken fan it systeem yn de tiid domein. Frekwinsje antwurd ferwiist nei de reaksje karakteristyk fan it systeem oan de ienheid harmonic input.The korrespondinsje tusken de twa wurdt bepaald troch de Fourier-transformaasje.

klassifikaasje

Lineêre trilling kin wurde ferdield yn lineêre trilling fan ien-frijheidsgraad systeem en lineêre trilling fan multi-graad-fan-frijheid systeem.

(1) lineêre trilling fan in systeem fan ien graad fan frijheid is in lineêre trilling wêrfan de posysje kin wurde bepaald troch in generalisearre koördinaat. harmonic trilling, frije trilling, attenuation trilling en twongen trilling.

Ienfâldige harmoanyske trilling: de wjersidige beweging fan in objekt yn 'e buert fan syn lykwichtsposysje neffens in sinusoïdale wet ûnder de aksje fan in herstellende krêft dy't evenredich is mei syn ferpleatsing.

Damped trilling: trilling wêrfan de amplitude kontinu wurdt fermindere troch de oanwêzigens fan wriuwing en dielektryske wjerstân as oare enerzjyferbrûk.

Forced trilling: trilling fan in systeem ûnder konstante excitation.

(2) de lineêre trilling fan it systeem mei meardere frijheidsgraden is de trilling fan it lineêre systeem mei n≥2 frijheidsgraden. In systeem fan n frijheidsgraden hat n natuerlike frekwinsjes en n haadmodi. Elke trillingskonfiguraasje fan it systeem kin wurde fertsjintwurdige as in lineêre kombinaasje fan de grutte modi. Dêrom, de wichtichste modus superposition metoade wurdt in soad brûkt yn dynamyske reaksje analyze fan multi-dof systemen. systeem wurdt in routine stap yn it dynamyske ûntwerp fan it systeem.De dynamyske skaaimerken fan multi-dof systemen kinne ek beskreaun wurde troch frekwinsje skaaimerken.Sûnt der is in frekwinsje karakteristyk funksje tusken elke ynput en útfier, in frekwinsje karakteristyk matrix wurdt oanlein. is in definitive relaasje tusken de frekwinsje karakteristyk en de wichtichste modus. De amplitude-frekwinsje karakteristyk kromme fan de multi-frijheid systeem is oars as dy fan de single-frijheid systeem.

Lineêre trilling fan ien frijheidsgraadsysteem

In lineêre trilling wêryn de posysje fan in systeem kin wurde bepaald troch in generalisearre koördinaat.It is de ienfâldichste en meast fûnemintele trilling wêrfan in protte basisbegripen en skaaimerken fan trilling kinne wurde ôflaat. .

Harmonyske trilling

Under de aksje fan herstellen krêft evenredich mei de ferpleatsing, it foarwerp reciprocates yn in sinusoidal wize tichtby syn lykwicht posysje (fig. 1). X stiet foar de ferpleatsing en t stiet foar de tiid.De wiskundige útdrukking fan dizze trilling is:

(1)Wêr't A de maksimale wearde is fan ferpleatsing x, dy't de amplitude neamd wurdt, en de yntensiteit fan 'e trilling stiet; Omega n is de amplitude Hoekferheging fan 'e trilling per sekonde, dy't de hoekfrekwinsje neamd wurdt, of de sirkelfrekwinsje; Yn termen fan f= n/2 wurdt it oantal oscillaasjes per sekonde de frekwinsje neamd; It omkearde dêrfan, T=1/f, is de tiid dy't it duorret om ien syklus te oscilleren, en dat hjit de perioade. Amplitude A, frekwinsje f (of hoekfrekwinsje n), de earste faze, bekend as ienfâldige harmonic trilling trije eleminten.

FIG.1 ienfâldige harmonische trillingskromme

Lykas werjûn yn Fig.2, in ienfâldige harmonic oscillator wurdt foarme troch de konsintrearre massa m ferbûn troch in lineêre spring.As de trilling ferpleatsing wurdt berekkene út de lykwicht posysje, de trilling fergeliking is:

Wêr is de stivens fan 'e maitiid. De algemiene oplossing foar de boppesteande fergeliking is (1) .A en kin bepaald wurde troch de begjinposysje x0 en begjinsnelheid by t=0:

Mar omega n wurdt allinnich bepaald troch de skaaimerken fan it systeem sels m en k, ûnôfhinklik fan de ekstra begjinbetingsten, dus omega n is ek bekend as de natuerlike frekwinsje.

FIG.2 single graad fan frijheid systeem

Foar in ienfâldige harmonyske oscillator is de som fan syn kinetyske enerzjy en potinsjele enerzjy konstant, dat is, de totale meganyske enerzjy fan it systeem wurdt bewarre bleaun.Yn it proses fan trilling wurde kinetyske enerzjy en potinsjele enerzjy konstant yn elkoar omfoarme.

De dampende trilling

In trilling wêrfan de amplitude kontinu fermindere wurdt troch wriuwing en dielektryske wjerstân of oare enerzjyferbrûk. Foar mikrovibraasje is de snelheid oer it algemien net heul grut, en it medium ferset is evenredich mei de snelheid nei de earste macht, dy't skreaun wurde kin as c is de dempingskoëffisiënt.Dêrom kin de trillingsfergeliking fan ien frijheidsgraad mei lineêre demping skreaun wurde as:

(2)Wêr, m =c/2m wurdt de dempingparameter neamd, en.De algemiene oplossing fan formule (2) kin skreaun wurde:

(3)De numerike relaasje tusken omega n en PI kin wurde ferdield yn de folgjende trije gefallen:

N > (yn it gefal fan lytse demping) dieltsje produsearre attenuation trilling, de trilling fergeliking is:

Syn amplitude nimt ôf mei de tiid neffens de eksponinsjele wet werjûn yn de fergeliking, lykas werjûn yn de stippelline yn Fig.3.Strictly speaking, dizze trilling is aperiodic, mar de frekwinsje fan syn peak kin wurde definiearre as:

Wurdt de amplitude reduksje rate neamd, wêr is de perioade fan trilling. De natuerlike logaritme fan 'e amplitude reduksje taryf wurdt neamd de logaritme minus (amplitude) rate. Fansels, =, yn dit gefal, is gelyk oan 2/1. Direkt troch de eksperimintele test delta en, mei help fan de boppesteande formule kin wurde berekkene c.

Op dit stuit kin de oplossing fan fergeliking (2) skreaun wurde:

Tegearre mei de rjochting fan inisjele snelheid, it kin wurde ferdield yn trije non-vibration gefallen lykas werjûn yn Fig.4.

N < (yn it gefal fan grutte damping), de oplossing foar fergeliking (2) wurdt werjûn yn fergeliking (3). Op dit punt triljet it systeem net mear.

Forsearre trilling

Vibraasje fan in systeem ûnder konstante excitation.Vibration analyze ûndersiket benammen de reaksje fan it systeem op excitation.Periodic excitation is in typyske reguliere excitation.Sûnt periodike excitation kin altyd wurde ferdield yn de som fan ferskate harmonic excitation, neffens it superposition prinsipe, allinne de reaksje fan it systeem op elke harmonic excitation is required.Under de aksje fan harmonic excitation, de differinsjaaloperator fergeliking fan beweging fan in inkele graad fan frijheid damped systeem kin skreaun wurde:

It antwurd is de som fan twa dielen.Ien diel is de reaksje fan dempte trilling, dy't fluch ferfalt mei de tiid. De reaksje fan in oar diel fan twongen trilling kin skreaun wurde:

FIG.3 damped trillingskurve

FIG.4 bochten fan trije initial betingsten mei krityske damping

Typ yn de

H /F0 = h (), is de ferhâlding fan steady respons amplitude oan excitation amplitude, karakterisearjende amplitude-frekwinsje skaaimerken, of gain funksje; Bits foar steady state reaksje en stimulearring fan faze, karakterisearring fan faze frekwinsje skaaimerken. excitation frekwinsje wurdt werjûn yn Fig.5 en Fig.6.

Sa't bliken docht út de amplitude-frekwinsje kromme (fig. 5), yn it gefal fan lytse damping, de amplitude-frekwinsje kromme hat in inkele peak.The lytser de demping, de steiler de pyk; De frekwinsje oerienkommende mei de pyk is de resonânsjefrekwinsje fan it systeem neamd.Yn it gefal fan lytse demping is de resonânsjefrekwinsje net folle oars fan 'e natuerlike frekwinsje.As de excitaasjefrekwinsje ticht by de natuerlike frekwinsje leit, nimt de amplitude flink ta.Dit ferskynsel wurdt neamd resonance.By resonânsje, de winst fan it systeem wurdt maksimaal, dat is, de twongen trilling is de meast intense.Dêrom, yn it algemien, altyd stribje om foar te kommen resonânsje, útsein as guon ynstruminten en apparatuer te brûken resonânsje te berikken grutte trilling.

FIG.5 amplitude frekwinsje kromme

Kin sjoen wurde út de faze frekwinsje kromme (figuer 6), nettsjinsteande grutte fan damping, yn omega nul fase ferskil bits = PI / 2, dit karakteristyk kin effektyf brûkt wurde yn mjitten resonânsje.

Njonken steady excitation, systemen soms tsjinkomme unsteady excitation.It kin rûchwei ferdield yn twa soarten: ien is de hommelse impact.De twadde is it bliuwende effekt fan willekeurich.Under unsteady excitation, de reaksje fan it systeem is ek unsteady.

In krêftich ark foar it analysearjen fan unsteady trilling is de ympuls antwurd metoade.It beskriuwt de dynamyske skaaimerken fan it systeem mei de transient antwurd fan de ienheid ympuls ynfier fan it systeem. De ienheid ympuls kin wurde útdrukt as in delta function.In engineering, de delta funksje wurdt faak definiearre as:

Wêr't 0- it punt op 'e t-as stiet dat fanôf links nei nul komt; 0 plus is it punt dat fan rjochts nei 0 giet.

FIG.6 faze frekwinsje kromme

FIG.7 eltse ynfier kin wurde beskôge as de som fan in rige fan ympuls eleminten

It systeem komt oerien mei it antwurd h (t) oanmakke troch de ienheid ympuls op t = 0, dat hjit de ympuls antwurd funksje. Oannommen dat it systeem is stasjonêr foar de pols, h (t) = 0 foar t <0. Knowing de ympuls antwurd funksje fan it systeem, kinne wy ​​fine it antwurd fan it systeem op eltse ynfier x (t). Op dit punt, kinne jo tinke oan x (t) as de som fan in rige fan ympuls eleminten (fig. 7) .It antwurd fan it systeem is:

Op grûn fan it superposysjeprinsipe is de totale reaksje fan it systeem dat oerienkomt mei x(t):

Dizze yntegraal wurdt in konvolúsje-yntegraal of in superposysje-yntegraal neamd.

Lineêre trilling fan in systeem mei meardere frijheid

Vibraasje fan in lineêr systeem mei n≥2 frijheidsgraden.

Figure 8 lit twa ienfâldige resonânsjefel subsystemen ferbûn troch in coupling spring.Omdat it is in twa-graden-of-frijheid systeem, twa ûnôfhinklike koördinaten binne nedich om te bepalen syn posysje.Der binne twa natuerlike frekwinsjes yn dit systeem:

Elke frekwinsje komt oerien mei in modus fan trilling. De harmonische oscillators fiere harmoniske oscillaasjes út fan deselde frekwinsje, syngroan troch de lykwichtsposysje passe en syngroan de ekstreme posysje berikke. de haadtrilling dy't oerienkomt mei omega omega twa, omega omega ien. Yn 'e haadtrilling hâldt de ferpleatsingsferhâlding fan elke massa in bepaalde relaasje en foarmet in bepaalde modus, dy't de haadmodus of de natuerlike modus neamd wurdt. De orthogonaliteit fan massa en stivens bestiet ûnder de wichtichste modi, dy't wjerspegelet de ûnôfhinklikens fan elke trilling. De natuerlike frekwinsje en wichtichste modus fertsjintwurdigje de ynherinte trilling skaaimerken fan de multi-graad fan frijheid systeem.

FIG.8 systeem mei meardere graden fan frijheid

In systeem fan n frijheidsgraden hat n natuerlike frekwinsjes en n haadmodi. Eltse trillingskonfiguraasje fan it systeem kin fertsjintwurdige wurde as in lineêre kombinaasje fan 'e grutte modi. Dêrom wurdt de haadmodus-superposysjemetoade in soad brûkt yn dynamyske antwurdanalyse fan multi -dof systems.Op dizze manier wurdt de mjitting en analyze fan 'e natuerlike trillingskarakteristiken fan it systeem in routine stap yn it dynamyske ûntwerp fan it systeem.

De dynamyske skaaimerken fan multi-dof systemen kinne ek beskreaun wurde troch frekwinsje skaaimerken.Since der in frekwinsje karakteristyk funksje tusken eltse ynput en útfier, in frekwinsje karakteristyk matrix is ​​constructed.The amplitude-frekwinsje karakteristyk kromme fan de multi-frijheid systeem is oars fan dat fan it ienfrijheidssysteem.

De elastomeer trillet

It boppesteande multi-frijheidsgraadsysteem is in likernôch meganysk model fan elastomer.In elastomeer hat in ûneinich oantal frijheidsgraden.Der is in kwantitatyf ferskil, mar gjin essensjeel ferskil tusken de twa.Elk elastomeer hat in ûneinich oantal natuerlike frekwinsjes en in ûneinich oantal korrespondearjende modi, en der is orthogonality tusken de modes fan massa en stivens.Eltse trillingskonfiguraasje fan it elastomeer kin ek wurde fertsjintwurdige as in lineêre superposition fan de grutte modi. Dêrom, foar dynamyske reaksje analyze fan elastomeer, de superposition metoade fan haadmodus is noch altyd fan tapassing (sjoch lineêre trilling fan elastomeer).

Nim de trilling fan in snaar. Litte wy sizze dat in tinne snaar fan massa m per ienheid lingte, lange l, wurdt spand oan beide úteinen, en de spanning is T. Op dit stuit, de natuerlike frekwinsje fan de snaar wurdt bepaald troch de folgjende fergeliking:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Wêr is de fuortplantingssnelheid fan 'e dwerswelle lâns de rjochting fan' e snaar. De natuerlike frekwinsjes fan 'e snaren binne tafallich multiples fan' e fûnemintele frekwinsje oer 2l. Dizze integer mearfâldichheid liedt ta in noflike harmonische struktuer. Yn 't algemien is der gjin sa'n integer meardere relaasje tusken de natuerlike frekwinsjes fan it elastomeer.

De earste trije modi fan 'e spande string wurde werjûn yn Fig.9. D'r binne guon knopen op 'e haadmoduskromme.Yn 'e haadvibraasje trilje de knopen net.FIG.10 toant ferskate typyske modes fan de circumferentially stipe circular plaat mei guon nodal linen gearstald út sirkels en diameters.

De krekte formulearring fan it elastomeer trillingsprobleem kin konkludearre wurde as it grinsweardeprobleem fan parsjele differinsjaalfergelikingen. De krekte oplossing kin lykwols allinich fûn wurde yn guon fan 'e ienfâldichste gefallen, dus wy moatte taflecht ta de ûngefear oplossing foar it komplekse elastomeer trillingsprobleem.De essinsje fan ferskate ûngefear oplossingen is it feroarjen fan it ûneinige nei it einige, dat is, it diskretisearjen fan it lid-minder multi-graden fan frijheid systeem (kontinu systeem) yn in finite multi-graden fan frijheid systeem (diskrete systeem) .Der binne twa soarten diskretisaasjemetoaden dy't breed brûkt wurde yn engineering analyze: einige elemint metoade en modale synteze metoade.

FIG.9 modus fan string

FIG.10 modus fan sirkulêre plaat

Einige elemint metoade is in gearstalde struktuer dy't abstrahert in komplekse struktuer yn in einich oantal eleminten en ferbynt se op in eindige oantal knooppunten. distribúsjeparameters fan elk elemint wurde konsintrearre op elke knooppunt yn in bepaald formaat, en it meganyske model fan it diskrete systeem wurdt krigen.

Modale synteze is de ûntbining fan in komplekse struktuer yn ferskate ienfâldiger substructures.Op basis fan it begripen fan 'e trillingskarakteristiken fan elke ûnderbou, wurdt de ûnderbou synthesized yn in algemiene struktuer neffens de koördinaasjebetingsten op' e ynterface, en de trillingsmorfology fan 'e algemiene struktuer wurdt krigen troch it brûken fan de trilling morfology fan elke ûnderbou.

De twa metoaden binne ferskillend en besibbe, en kinne brûkt wurde as referinsje. De modale syntezemetoade kin ek effektyf kombineare wurde mei de eksperimintele mjitting om in teoretyske en eksperimintele analysemetoade te foarmjen foar it triljen fan grutte systemen.