Linearne vibracije: elastičnost komponenti u sistemu podliježe Hookeovom zakonu, a sila prigušenja koja se stvara tokom kretanja proporcionalna je prvoj jednačini generalizovane brzine (vremenski izvod generalizovanih koordinata).
koncept
Linearni sistem je obično apstraktni model vibracije realnog sistema. Linearni vibracioni sistem primenjuje princip superpozicije, odnosno ako je odziv sistema y1 pod dejstvom ulaza x1, a y2 pod dejstvom ulaza x2, tada je odziv sistema pod dejstvom ulaza x1 i x2 y1+y2.
Na osnovu principa superpozicije, proizvoljni ulaz se može razložiti u zbir niza infinitezimalnih impulsa, a zatim se može dobiti ukupni odziv sistema. Zbir harmonijskih komponenti periodične pobude može se proširiti u serije harmonijskih komponenti Fourierovom transformacijom, a efekat svake harmonijske komponente na sistem se može posebno istraživati. Stoga se karakteristike odziva linearnih sistema sa konstantnim parametrima mogu opisati impulsnim ili frekventnim odzivom.
Impulsni odziv se odnosi na odgovor sistema na jedinični impuls, koji karakteriše karakteristike odziva sistema u vremenskom domenu. Frekvencijski odziv se odnosi na karakteristiku odziva sistema na jedinični harmonijski ulaz. Određuje se korespondencija između njih. pomoću Fourierove transformacije.
klasifikacija
Linearne vibracije se mogu podeliti na linearne vibracije sistema sa jednim stepenom slobode i linearne vibracije sistema sa više stepeni slobode.
(1) linearna vibracija sistema sa jednim stepenom slobode je linearna vibracija čiji se položaj može odrediti generalizovanom koordinatom. To je najjednostavnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni pojmovi i karakteristike vibracija. harmonične vibracije, slobodne vibracije, prigušene vibracije i prisilne vibracije.
Jednostavna harmonijska vibracija: povratno kretanje objekta u blizini njegovog ravnotežnog položaja prema sinusoidnom zakonu pod djelovanjem povratne sile proporcionalne njegovom pomaku.
Prigušena vibracija: vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje prisustvom trenja i dielektričnog otpora ili druge potrošnje energije.
Prisilna vibracija: vibracija sistema pod stalnom pobudom.
(2) linearna vibracija sistema sa više stepeni slobode je vibracija linearnog sistema sa n≥2 stepena slobode. Sistem od n stepena slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracije sistema se može predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnog moda široko koristi u analizi dinamičkog odziva višedof sistema. Na taj način se mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sistem postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sistema. Dinamičke karakteristike multi-dof sistema se takođe mogu opisati frekvencijskim karakteristikama. Pošto postoji funkcija frekvencijske karakteristike između svakog ulaza i izlaza, konstruiše se matrica frekvencijskih karakteristika. je definitivna relacija između frekvencijske karakteristike i glavnog moda. Amplitudno-frekventna karakteristična kriva sistema sa više sloboda se razlikuje od one u sistemu sa jednom slobodom.
Linearna vibracija sistema sa jednim stepenom slobode
Linearna vibracija u kojoj se položaj sistema može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija i najosnovnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracija. Uključuje jednostavnu harmonijsku vibraciju, prigušenu vibraciju i prisilnu vibraciju .
Harmonične vibracije
Pod djelovanjem povratne sile proporcionalne pomaku, objekt se uzvraća na sinusoidan način u blizini svog ravnotežnog položaja (Sl. 1). X predstavlja pomak, a t predstavlja vrijeme.Matematički izraz ove vibracije je:
(1)Gdje je A maksimalna vrijednost pomaka x, koja se naziva amplituda, i predstavlja intenzitet vibracije; Omega n je amplituda Ugao prirasta vibracije u sekundi, koji se naziva ugaona frekvencija, ili kružna frekvencija; se naziva početna faza. U smislu f= n/2, broj oscilacija u sekundi naziva se frekvencija; Inverzno od ovoga, T=1/f, je vrijeme potrebno za osciliranje jednog ciklusa, i to se zove period.Amplituda A, frekvencija f (ili ugaona frekvencija n), početna faza, poznata kao jednostavna harmonijska vibracija tri elementa.
Fig.1 jednostavna kriva harmonijskih vibracija
Kao što je prikazano na Sl.2, jednostavan harmonijski oscilator formira koncentrirana masa m povezana linearnom oprugom. Kada se pomak vibracije izračuna iz ravnotežnog položaja, jednačina vibracija je:
Gdje je krutost opruge. Opće rješenje gornje jednadžbe je (1).A i može se odrediti početnim položajem x0 i početnom brzinom pri t=0:
Ali omega n je određena samo karakteristikama samog sistema m i k, nezavisno od dodatnih početnih uslova, pa je omega n poznata i kao prirodna frekvencija.
Fig.2 sistem sa jednim stepenom slobode
Za jednostavan harmonijski oscilator, zbir njegove kinetičke energije i potencijalne energije je konstantan, odnosno ukupna mehanička energija sistema je očuvana. U procesu vibracije, kinetička energija i potencijalna energija se konstantno pretvaraju jedna u drugu.
Prigušenje vibracija
Vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje trenjem i dielektričnim otporom ili drugom potrošnjom energije. Za mikro vibracije, brzina općenito nije velika, a srednji otpor je proporcionalan brzini na prvom stepenu, koji se može napisati kao c je koeficijent prigušenja. Dakle, jednačina vibracija jednog stepena slobode sa linearnim prigušenjem može se napisati kao:
(2)Pri čemu se m =c/2m naziva parametar prigušenja, i. Opće rješenje formule (2) može se napisati:
(3)Numerički odnos između omega n i PI može se podijeliti u sljedeća tri slučaja:
N > (u slučaju malog prigušenja) čestica proizvodi oslabljene vibracije, jednačina vibracija je:
Njegova amplituda opada s vremenom prema eksponencijalnom zakonu prikazanom u jednačini, kao što je prikazano isprekidanom linijom na Sl.3. Strogo govoreći, ova vibracija je aperiodična, ali se frekvencija njenog vrha može definirati kao:
Zove se stopa smanjenja amplitude, gdje je period vibracije. Prirodni logaritam brzine smanjenja amplitude naziva se stopa logaritma minus (amplituda). Očigledno, = je u ovom slučaju jednako 2/1. Direktno kroz eksperimentalni test delta i, koristeći gornju formulu, može se izračunati c.
U ovom trenutku, rješenje jednačine (2) može se napisati:
Zajedno sa smjerom početne brzine, može se podijeliti na tri slučaja bez vibracija kao što je prikazano na Sl.4.
N < (u slučaju velikog prigušenja), rješenje jednačine (2) je prikazano u jednačini (3). U ovom trenutku sistem više ne vibrira.
Prisilna vibracija
Vibracija sistema pod konstantnom pobudom. Analiza vibracija uglavnom istražuje odgovor sistema na pobudu. Periodična pobuda je tipična regularna pobuda. Pošto se periodična pobuda uvek može razložiti na zbir više harmonijskih pobuda, prema principu superpozicije, samo potreban je odgovor sistema na svaku harmonijsku pobudu. Pod dejstvom harmonijske pobude može se napisati diferencijalna jednačina kretanja prigušenog sistema sa jednim stepenom slobode:
Odgovor je zbir dva dijela.Jedan dio je odgovor prigušene vibracije, koja se vremenom brzo smanjuje. Odgovor drugog dijela prisilne vibracije može se napisati:
Fig.3 prigušena kriva vibracija
Fig.4 krive tri početna stanja sa kritičnim prigušenjem
Ukucajte
H /F0= h (), je omjer amplitude stabilnog odziva i amplitude pobude, karakterizirajući amplitudno-frekventne karakteristike, ili funkciju pojačanja; Bitovi za stabilno stanje odziva i poticaj faze, karakterizacija faznih frekvencijskih karakteristika. Odnos između njih i frekvencija pobude je prikazana na Sl.5 i Sl.6.
Kao što se može vidjeti iz krivulje amplituda-frekvencija (Slika 5), u slučaju malog prigušenja, kriva amplituda-frekvencija ima jedan vrh. Što je prigušenje manje, to je vrh strmiji; Frekvencija koja odgovara vrhuncu je naziva se rezonantna frekvencija sistema. U slučaju malog prigušenja, rezonantna frekvencija se ne razlikuje mnogo od prirodne frekvencije. Kada je frekvencija pobude bliska prirodnoj frekvenciji, amplituda se naglo povećava.Ova pojava se zove rezonancija. Kod rezonancije je pojačanje sistema maksimizirano, odnosno prinudna vibracija je najintenzivnija. Stoga, generalno, uvijek nastojte izbjeći rezonanciju, osim ako neki instrumenti i oprema ne koriste rezonanciju za postizanje velikih vibracija.
Fig.5 krivulja amplitudne frekvencije
Može se vidjeti iz krivulje fazne frekvencije (slika 6), bez obzira na veličinu prigušenja, u bitovima omega nula faze razlike = PI / 2, ova karakteristika se može efikasno koristiti u mjerenju rezonancije.
Pored stabilne pobude, sistemi se ponekad susreću i sa nestabilnom pobudom. To se može grubo podijeliti u dva tipa: jedan je iznenadni udar. Drugi je trajni efekat proizvoljnosti. Pod nestalnom pobudom, odgovor sistema je također nestabilan.
Moćan alat za analizu nestabilnih vibracija je metoda impulsnog odziva. Ona opisuje dinamičke karakteristike sistema sa prolaznim odzivom jediničnog impulsnog ulaza sistema. Jedinični impuls se može izraziti kao delta funkcija. U inženjerstvu, delta funkcija se često definira kao:
Gdje 0- predstavlja tačku na t-osi koja se približava nuli s lijeve strane; 0 plus je tačka koja ide do 0 s desne strane.
Fig.6 fazna frekvencijska krivulja
Fig.7 bilo koji ulaz se može smatrati zbirom niza impulsnih elemenata
Sistem odgovara odgovoru h(t) generisanom jediničnim impulsom pri t=0, koji se naziva funkcija impulsnog odziva. Pod pretpostavkom da je sistem stacionaran prije impulsa, h(t)=0 za t<0. funkciju impulsnog odziva sistema, možemo pronaći odgovor sistema na bilo koji ulaz x(t). U ovom trenutku, možete zamisliti x(t) kao zbir niza impulsnih elemenata (Slika 7) .Reakcija sistema je:
Na osnovu principa superpozicije, ukupni odgovor sistema koji odgovara x(t) je:
Ovaj integral se naziva konvolucijski integral ili integral superpozicije.
Linearna vibracija sistema sa više stepeni slobode
Vibracija linearnog sistema sa n≥2 stepena slobode.
Na slici 8 prikazana su dva jednostavna rezonantna podsistema povezana spojnom oprugom. Kako se radi o sistemu sa dva stepena slobode, potrebne su dvije nezavisne koordinate da bi se odredio njegov položaj. U ovom sistemu postoje dvije prirodne frekvencije:
Svaka frekvencija odgovara načinu vibracije. Harmonični oscilatori izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije, sinhrono prolazeći kroz ravnotežni položaj i sinhrono dostižući krajnji položaj. U glavnoj vibraciji koja odgovara omega jedan, x1 je jednako x2;In glavna vibracija koja odgovara omega omega dva, omega omega jedan. U glavnoj vibraciji, omjer pomaka svake mase održava određeni odnos i formira određeni mod, koji se naziva glavni mod ili prirodni mod. Ortogonalnost mase i krutost postoji među glavnim modovima, što odražava nezavisnost svake vibracije. Prirodna frekvencija i glavni mod predstavljaju inherentne karakteristike vibracije sistema sa više stepeni slobode.
Fig.8 sistem sa više stupnjeva slobode
Sistem od n stepena slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sistema može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnog moda široko koristi u analizi dinamičkog odziva višestrukih -dof sistemi. Na ovaj način mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sistema postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sistema.
Dinamičke karakteristike multi-dof sistema mogu se opisati i frekvencijskim karakteristikama. Pošto postoji funkcija frekvencijske karakteristike između svakog ulaza i izlaza, konstruisana je matrica frekvencijskih karakteristika. od sistema jedinstvene slobode.
Elastomer vibrira
Gornji sistem sa više stupnjeva slobode je približni mehanički model elastomera. Elastomer ima beskonačan broj stupnjeva slobode. Postoji kvantitativna razlika, ali nema suštinske razlike između ta dva. Svaki elastomer ima beskonačan broj prirodnih frekvencija i beskonačan broj odgovarajućih modova, a postoji ortogonalnost između načina mase i krutosti. Bilo koja vibracijska konfiguracija elastomera može se također predstaviti kao linearna superpozicija glavnih modova. Stoga, za analizu dinamičkog odziva elastomera, metoda superpozicije glavnog moda je još uvijek primjenjiv (vidi linearne vibracije elastomera).
Uzmimo vibraciju žice. Recimo da je tanka struna mase m po jedinici dužine, duga l, zategnuta na oba kraja, a napetost je T. U ovom trenutku, prirodna frekvencija strune je određena sljedećim jednadžba:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Gdje je brzina prostiranja poprečnog vala duž smjera žice. Prirodne frekvencije žica su višekratnici osnovne frekvencije preko 2l. Ovaj cjelobrojni višestrukost dovodi do ugodne harmonijske strukture. Općenito, ne postoji takav cjelobrojni višestruki odnos između prirodnih frekvencija elastomera.
Prva tri načina zategnute žice prikazana su na Sl.9. Postoje neki čvorovi na krivulji glavnog moda. U glavnoj vibraciji, čvorovi ne vibriraju.Sl.10 prikazuje nekoliko tipičnih oblika kružne ploče oslonjene po obodu s nekim čvornim linijama sastavljenim od krugova i promjera.
Tačna formulacija problema vibracija elastomera može se zaključiti kao granični problem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Međutim, točno rješenje se može naći samo u nekim od najjednostavnijih slučajeva, tako da moramo pribjeći približnom rješenju za složeni elastomer problem vibracija. Suština različitih približnih rješenja je promijeniti beskonačno u konačno, odnosno diskretizirati višestepeni sistem slobode bez udova (kontinuirani sistem) u konačan višestepeni sistem slobode (diskretni sistem) .Postoje dvije vrste metoda diskretizacije koje se široko koriste u inženjerskoj analizi: metoda konačnih elemenata i metoda modalne sinteze.
Fig.9 način niza
Fig.10 način rada kružne ploče
Metoda konačnih elemenata je kompozitna struktura koja apstrahuje složenu strukturu u konačan broj elemenata i povezuje ih na konačan broj čvorova. Svaka jedinica je elastomer; Pomak distribucije elementa izražava se interpolacijskom funkcijom pomaka čvora. distributivni parametri svakog elementa koncentrišu se na svaki čvor u određenom formatu i dobija se mehanički model diskretnog sistema.
Modalna sinteza je dekompozicija složene strukture na nekoliko jednostavnijih podstruktura. Na osnovu razumijevanja karakteristika vibracija svake podstrukture, podstruktura se sintetizira u opštu strukturu prema koordinacijskim uvjetima na međusklopu, te morfologiji vibracija opće struktura se dobija korišćenjem morfologije vibracija svake podkonstrukcije.
Ove dvije metode su različite i povezane, i mogu se koristiti kao referenca. Metoda modalne sinteze također se može efikasno kombinovati sa eksperimentalnim mjerenjem kako bi se formirala teoretska i eksperimentalna metoda analize za vibracije velikih sistema.
Vrijeme objave: Apr-03-2020
