Linearne vibracijeElastičnost komponenti u sistemu podliježe Hookeovom zakonu, a sila prigušenja koja se generira tokom kretanja proporcionalna je prvoj jednačini generalizirane brzine (vremenski derivat generaliziranih koordinata).
koncept
Linearni sistem je obično apstraktni model vibracije realnog sistema. Linearni vibracijski sistem primjenjuje princip superpozicije, tj. ako je odziv sistema y1 pod djelovanjem ulaza x1 i y2 pod djelovanjem ulaza x2, tada je odziv sistema pod djelovanjem ulaza x1 i x2 y1+y2.
Na osnovu principa superpozicije, proizvoljni ulaz se može rastaviti na zbir niza infinitezimalnih impulsa, a zatim se može dobiti ukupni odziv sistema. Zbir harmonijskih komponenti periodične pobude može se proširiti na niz harmonijskih komponenti pomoću Fourierove transformacije, a uticaj svake harmoničke komponente na sistem može se istražiti odvojeno. Stoga se karakteristike odziva linearnih sistema sa konstantnim parametrima mogu opisati impulsnim odzivom ili frekventnim odzivom.
Impulsni odziv se odnosi na odziv sistema na jedinični impuls, koji karakterizira karakteristike odziva sistema u vremenskom domenu. Frekvencijski odziv se odnosi na karakteristiku odziva sistema na ulazni harmonijski signal jedinice. Korespondencija između ta dva faktora određena je Fourierovom transformacijom.
klasifikacija
Linearne vibracije se mogu podijeliti na linearne vibracije sistema s jednim stepenom slobode i linearne vibracije sistema s više stepeni slobode.
(1) Linearna vibracija sistema sa jednim stepenom slobode je linearna vibracija čiji se položaj može odrediti generalizovanom koordinatom. To je najjednostavnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracije. Uključuje jednostavnu harmonijsku vibraciju, slobodnu vibraciju, vibraciju sa slabljenjem i prisilnu vibraciju.
Jednostavna harmonijska vibracija: oscilatorno kretanje objekta u blizini njegovog ravnotežnog položaja prema sinusoidnom zakonu pod djelovanjem povratne sile proporcionalne njegovom pomjeranju.
Prigušena vibracija: vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje zbog trenja i dielektričnog otpora ili druge potrošnje energije.
Prisilna vibracija: vibracija sistema pod konstantnom pobudom.
(2) Linearna vibracija sistema sa više stepeni slobode je vibracija linearnog sistema sa n≥2 stepena slobode. Sistem od n stepeni slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sistema može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnih modova široko koristi u analizi dinamičkog odziva sistema sa više stepeni slobode. Na taj način, mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sistema postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sistema. Dinamičke karakteristike sistema sa više stepeni slobode mogu se opisati i frekventnim karakteristikama. Budući da postoji frekventna karakteristična funkcija između svakog ulaza i izlaza, konstruiše se matrica frekventnih karakteristika. Postoji određena veza između frekventne karakteristike i glavnog moda. Kriva amplitudno-frekventne karakteristike sistema sa više stepeni slobode razlikuje se od one sistema sa jednom slobodom.
Linearne vibracije sistema sa jednim stepenom slobode
Linearna vibracija u kojoj se položaj sistema može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija i najosnovnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracije. Uključuje jednostavnu harmonijsku vibraciju, prigušenu vibraciju i prisilnu vibraciju.
Harmonijske vibracije
Pod djelovanjem sile vraćanja proporcionalne pomjeranju, objekt se sinusoidno kretati blizu svog ravnotežnog položaja (SLIKA 1). X predstavlja pomjeranje, a t predstavlja vrijeme. Matematički izraz ove vibracije je:
(1)Gdje je A maksimalna vrijednost pomaka x, koja se naziva amplituda i predstavlja intenzitet vibracije; omega n je povećanje ugla amplitude vibracije u sekundi, koje se naziva ugaona frekvencija ili kružna frekvencija; ovo se naziva početna faza. U terminima f = n/2, broj oscilacija u sekundi naziva se frekvencija; inverz ovoga, T = 1/f, je vrijeme potrebno za oscilaciju jednog ciklusa, a to se naziva period. Amplituda A, frekvencija f (ili ugaona frekvencija n), početna faza, poznata je kao jednostavna harmonijska vibracija od tri elementa.
SLIKA 1 jednostavna harmonijska krivulja vibracija
Kao što je prikazano na SLICI 2, jednostavni harmonijski oscilator formira koncentrirana masa m povezana linearnom oprugom. Kada se pomak vibracije izračuna iz ravnotežnog položaja, jednačina vibracije je:
Gdje je krutost opruge. Opće rješenje gornje jednačine je (1). A i može se odrediti početnim položajem x0 i početnom brzinom pri t=0:
Ali omega n je određena samo karakteristikama samog sistema m i k, nezavisno od dodatnih početnih uslova, pa je omega n poznata i kao prirodna frekvencija.
SLIKA 2 Sistem sa jednim stepenom slobode
Za jednostavan harmonijski oscilator, zbir njegove kinetičke i potencijalne energije je konstantan, odnosno ukupna mehanička energija sistema je očuvana. U procesu vibracije, kinetička i potencijalna energija se stalno transformišu jedna u drugu.
Prigušivanje vibracija
Vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje trenjem i dielektričnim otporom ili drugom potrošnjom energije. Za mikrovibracije, brzina uglavnom nije jako velika, a otpor medija je proporcionalan brzini na prvu potenciju, što se može napisati kao c je koeficijent prigušenja. Stoga se jednačina vibracije jednog stepena slobode sa linearnim prigušenjem može napisati kao:
(2)Gdje se m = c/2m naziva parametrom prigušenja, a opće rješenje formule (2) može se napisati:
(3)Numerički odnos između omega n i PI može se podijeliti na sljedeća tri slučaja:
N > (u slučaju malog prigušenja) vibracije uzrokovane slabljenjem uzrokovanim česticama, jednačina vibracije je:
Njegova amplituda se smanjuje s vremenom prema eksponencijalnom zakonu prikazanom u jednačini, kao što je prikazano isprekidanom linijom na SLICI 3. Strogo govoreći, ova vibracija je aperiodična, ali frekvencija njenog vrha može se definirati kao:
Naziva se stopa smanjenja amplitude, gdje je period vibracije. Prirodni logaritam stope smanjenja amplitude naziva se logaritam minus stopa (amplituda). Očigledno je da je u ovom slučaju = jednako 2/1. Direktno kroz eksperimentalni test delte i, koristeći gornju formulu, može se izračunati c.
U ovom trenutku, rješenje jednačine (2) može se napisati:
Zajedno sa smjerom početne brzine, može se podijeliti na tri slučaja bez vibracija, kao što je prikazano na SLICI 4.
N < (u slučaju velikog prigušenja), rješenje jednačine (2) je prikazano u jednačini (3). U ovom trenutku, sistem više ne vibrira.
Prisilne vibracije
Vibracije sistema pod konstantnom pobudom. Analiza vibracija uglavnom istražuje odziv sistema na pobudu. Periodična pobuda je tipična regularna pobuda. Budući da se periodična pobuda uvijek može rastaviti na zbir nekoliko harmonijskih pobuda, prema principu superpozicije, potreban je samo odziv sistema na svaku harmonijsku pobudu. Pod djelovanjem harmonijske pobude, diferencijalna jednačina kretanja sistema sa jednim stepenom slobode prigušenja može se napisati:
Odziv je zbir dva dijela. Jedan dio je odziv prigušenih vibracija, koji se s vremenom brzo smanjuje. Odziv drugog dijela prisilnih vibracija može se napisati:
SL. 3 krivulja prigušenih vibracija
SL. 4 krivulje tri početna uvjeta s kritičnim prigušenjem
Upišite
H /F0= h (), je odnos amplitude ustaljenog odziva i amplitude pobude, karakterizirajući amplitudno-frekvencijske karakteristike ili funkciju pojačanja; Bitovi za ustaljeni odziv i fazni poticaj, karakterizacija fazno-frekvencijskih karakteristika. Odnos između njih i frekvencije pobude prikazan je na SLICI 5 i SLICI 6.
Kao što se može vidjeti na krivulji amplituda-frekvencija (SLIKA 5), u slučaju malog prigušenja, krivulja amplituda-frekvencija ima jedan vrh. Što je prigušenje manje, to je vrh strmiji; frekvencija koja odgovara vrhu naziva se rezonantna frekvencija sistema. U slučaju malog prigušenja, rezonantna frekvencija se ne razlikuje mnogo od prirodne frekvencije. Kada je frekvencija pobude blizu prirodne frekvencije, amplituda se naglo povećava. Ovaj fenomen se naziva rezonancija. Pri rezonanciji je pojačanje sistema maksimalno, odnosno prisilne vibracije su najintenzivnije. Stoga se, općenito, uvijek nastoji izbjeći rezonancu, osim ako neki instrumenti i oprema ne koriste rezonancu za postizanje velikih vibracija.
SLIKA 5 Kriva amplitudne frekvencije
Kao što se može vidjeti iz krivulje fazne frekvencije (slika 6), bez obzira na veličinu prigušenja, u omega nula bitova fazne razlike = PI / 2, ova karakteristika se može efikasno koristiti u mjerenju rezonancije.
Pored stacionarne pobude, sistemi se ponekad suočavaju i sa nestacionarnom pobudom. Može se grubo podijeliti na dvije vrste: jedna je iznenadni udar. Druga je trajni efekat proizvoljnosti. Pod nestacionarnom pobudom, odgovor sistema je također nestacionaran.
Moćan alat za analizu nestacionarnih vibracija je metoda impulsnog odziva. Ona opisuje dinamičke karakteristike sistema s prelaznim odzivom jediničnog impulsnog ulaza sistema. Jedinični impuls se može izraziti kao delta funkcija. U inženjerstvu, delta funkcija se često definiše kao:
Gdje 0- predstavlja tačku na t-osi koja se približava nuli s lijeva; 0 plus je tačka koja se približava nuli s desna.
SLIKA 6 Krivulja fazne frekvencije
SLIKA 7 bilo koji ulaz može se smatrati zbirom niza impulsnih elemenata
Sistem odgovara odzivu h(t) generisanom jediničnim impulsom pri t=0, koji se naziva funkcija odziva na impuls. Pod pretpostavkom da je sistem stacionaran prije impulsa, h(t)=0 za t<0. Poznavajući funkciju odziva na impuls sistema, možemo pronaći odziv sistema na bilo koji ulaz x(t). U ovom trenutku, x(t) možete zamisliti kao zbir niza impulsnih elemenata (SLIKA 7). Odziv sistema je:
Na osnovu principa superpozicije, ukupni odziv sistema koji odgovara x(t) je:
Ovaj integral se naziva konvolucijski integral ili superpozicijski integral.
Linearne vibracije sistema sa više stepeni slobode
Vibracija linearnog sistema sa n≥2 stepena slobode.
Slika 8 prikazuje dva jednostavna rezonantna podsistema povezana spojnom oprugom. Budući da se radi o sistemu sa dva stepena slobode, potrebne su dvije nezavisne koordinate za određivanje njegovog položaja. U ovom sistemu postoje dvije prirodne frekvencije:
Svaka frekvencija odgovara jednom modu vibracije. Harmonijski oscilatori vrše harmonijske oscilacije iste frekvencije, sinhrono prolazeći kroz ravnotežni položaj i sinhrono dostižući ekstremni položaj. U glavnoj vibraciji koja odgovara omega jedan, x1 je jednako x2; u glavnoj vibraciji koja odgovara omega omega dva, omega omega jedan. U glavnoj vibraciji, odnos pomjeranja svake mase održava određeni odnos i formira određeni mod, koji se naziva glavni mod ili prirodni mod. Ortogonalnost mase i krutosti postoji među glavnim modovima, što odražava nezavisnost svake vibracije. Prirodna frekvencija i glavni mod predstavljaju inherentne karakteristike vibracije sistema sa više stepeni slobode.
SLIKA 8 sistem sa više stepeni slobode
Sistem od n stepeni slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sistema može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnih modova široko koristi u analizi dinamičkog odziva sistema sa više stepeni slobode. Na taj način, mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sistema postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sistema.
Dinamičke karakteristike sistema sa više stepeni slobode mogu se opisati i frekventnim karakteristikama. Budući da postoji frekventna karakteristična funkcija između svakog ulaza i izlaza, konstruiše se matrica frekventnih karakteristika. Kriva amplitudno-frekventne karakteristike sistema sa više sloboda razlikuje se od krive sistema sa jednom slobodom.
Elastomer vibrira
Gore navedeni sistem sa više stepeni slobode je približan mehanički model elastomera. Elastomer ima beskonačan broj stepeni slobode. Postoji kvantitativna razlika, ali ne i suštinska razlika između njih. Bilo koji elastomer ima beskonačan broj prirodnih frekvencija i beskonačan broj odgovarajućih modova, a postoji i ortogonalnost između modova mase i krutosti. Bilo koja vibraciona konfiguracija elastomera može se predstaviti i kao linearna superpozicija glavnih modova. Stoga je za analizu dinamičkog odziva elastomera i dalje primjenjiva metoda superpozicije glavnog moda (vidi linearne vibracije elastomera).
Uzmimo vibraciju strune. Recimo da je tanka struna mase m po jedinici dužine, dužine l, zategnuta na oba kraja, a napetost je T. U ovom trenutku, prirodna frekvencija strune određena je sljedećom jednačinom:
F = na/2l (n = 1, 2, 3…).
Gdje je brzina širenja transverzalnog talasa duž smjera žice. Prirodne frekvencije žica su višekratnici osnovne frekvencije preko 2l. Ovaj cjelobrojni multiplicitet dovodi do ugodne harmonijske strukture. Općenito, ne postoji takva relacija cjelobrojnog multipliciteta među prirodnim frekvencijama elastomera.
Prva tri moda zategnute žice prikazana su na SLICI 9. Na krivulji glavnog moda nalaze se neki čvorovi. U glavnoj vibraciji, čvorovi ne vibriraju. SLIKA 10 prikazuje nekoliko tipičnih modova kružne ploče oslonjene po obodu s nekim nodalnim linijama sastavljenim od krugova i promjera.
Tačna formulacija problema vibracija elastomera može se zaključiti kao granični problem parcijalnih diferencijalnih jednačina. Međutim, tačno rješenje se može naći samo u nekim od najjednostavnijih slučajeva, tako da moramo pribjeći približnom rješenju za složeni problem vibracija elastomera. Suština različitih približnih rješenja je promjena beskonačnog u konačno, odnosno diskretizacija sistema sa više stepeni slobode bez udova (kontinuirani sistem) u konačni sistem sa više stepeni slobode (diskretni sistem). Postoje dvije vrste metoda diskretizacije koje se široko koriste u inženjerskoj analizi: metoda konačnih elemenata i metoda modalne sinteze.
SLIKA 9 način rada niza
SLIKA 10 mod kružne ploče
Metoda konačnih elemenata je kompozitna struktura koja apstrahuje složenu strukturu na konačan broj elemenata i povezuje ih u konačnom broju čvorova. Svaka jedinica je elastomer; Distribucija pomjeranja elementa izražava se interpolacijskom funkcijom pomjeranja čvora. Zatim se parametri distribucije svakog elementa koncentriraju na svaki čvor u određenom formatu i dobija se mehanički model diskretnog sistema.
Modalna sinteza je dekompozicija složene strukture na nekoliko jednostavnijih podstruktura. Na osnovu razumijevanja vibracijskih karakteristika svake podstrukture, podstruktura se sintetizira u opću strukturu prema koordinacijskim uvjetima na međupovršini, a vibracijska morfologija opće strukture dobiva se korištenjem vibracijske morfologije svake podstrukture.
Ove dvije metode su različite i povezane, te se mogu koristiti kao referenca. Metoda modalne sinteze se također može efikasno kombinirati s eksperimentalnim mjerenjem kako bi se formirala teorijska i eksperimentalna metoda analize vibracija velikih sistema.
Vrijeme objave: 03.04.2020.
