Kas ir lineārā vibrācija?

Lineāra vibrācijaSistēmas komponentu elastība ir pakļauta Huka likumam, un kustības laikā radītais slāpēšanas spēks ir proporcionāls vispārinātā ātruma pirmajam vienādojumam (vispārināto koordinātu laika atvasinājums).

koncepcija

Lineāra sistēma parasti ir reālas sistēmas vibrācijas abstrakts modelis. Lineārā vibrācijas sistēma piemēro superpozīcijas principu, tas ir, ja sistēmas reakcija ir y1 ieejas x1 iedarbībā un y2 ieejas x2 iedarbībā, tad sistēmas reakcija ieejas x1 un x2 iedarbībā ir y1+y2.

Pamatojoties uz superpozīcijas principu, patvaļīgu ieejas signālu var sadalīt bezgalīgi mazu impulsu virknes summā, un tad var iegūt sistēmas kopējo reakciju. Periodiskas ierosmes harmonisko komponentu summu var izvērst harmonisko komponentu sērijā, izmantojot Furjē transformāciju, un katras harmoniskās komponentes ietekmi uz sistēmu var pētīt atsevišķi. Tādēļ lineāru sistēmu ar nemainīgiem parametriem reakcijas raksturlielumus var aprakstīt ar impulsa reakciju vai frekvences reakciju.

Impulsa reakcija attiecas uz sistēmas reakciju uz vienības impulsu, kas raksturo sistēmas reakcijas raksturlielumus laika apgabalā. Frekvences reakcija attiecas uz sistēmas reakcijas raksturlielumu uz vienības harmonisko ieeju. Atbilstību starp abiem nosaka Furjē transformācija.

klasifikācija

Lineārās vibrācijas var iedalīt vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārajās vibrācijās un vairāku brīvības pakāpju sistēmas lineārajās vibrācijās.

(1) Vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārā vibrācija ir lineāra vibrācija, kuras pozīciju var noteikt ar vispārinātu koordinātu. Tā ir vienkāršākā vibrācija, no kuras var atvasināt daudzus vibrācijas pamatjēdzienus un raksturlielumus. Tā ietver vienkāršas harmoniskas vibrācijas, brīvas vibrācijas, vājināšanās vibrācijas un piespiedu vibrācijas.

Vienkārša harmoniska vibrācija: objekta virzuļkustība tā līdzsvara stāvokļa tuvumā saskaņā ar sinusoidālu likumu atjaunojoša spēka iedarbībā, kas ir proporcionāls tā pārvietojumam.

Slāpēta vibrācija: vibrācija, kuras amplitūdu nepārtraukti samazina berze un dielektriskā pretestība vai cits enerģijas patēriņš.

Piespiedu vibrācija: sistēmas vibrācija pastāvīgas ierosmes ietekmē.

(2) Daudzbrīvības pakāpju sistēmas lineārā vibrācija ir lineāras sistēmas vibrācija ar n≥2 brīvības pakāpēm. Sistēmai ar n brīvības pakāpēm ir n pašfrekvences un n galvenie režīmi. Jebkuru sistēmas vibrāciju konfigurāciju var attēlot kā galveno režīmu lineāru kombināciju. Tāpēc galveno režīmu superpozīcijas metode tiek plaši izmantota daudzbrīvības sistēmu dinamiskās reakcijas analīzē. Tādā veidā sistēmas pašbrīvības vibrācijas raksturlielumu mērīšana un analīze kļūst par rutīnas soli sistēmas dinamiskajā projektēšanā. Daudzbrīvības pakāpju sistēmu dinamiskās īpašības var aprakstīt arī ar frekvences raksturlielumiem. Tā kā starp katru ieeju un izeju pastāv frekvences raksturlieluma funkcija, tiek konstruēta frekvences raksturlieluma matrica. Pastāv noteikta saistība starp frekvences raksturlielumu un galveno režīmu. Daudzbrīvības sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīkne atšķiras no vienas brīvības sistēmas.

Vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārā vibrācija

Lineāra vibrācija, kurā sistēmas pozīciju var noteikt ar vispārinātu koordinātu. Tā ir vienkāršākā un fundamentālākā vibrācija, no kuras var atvasināt daudzus vibrācijas pamatjēdzienus un raksturlielumus. Tā ietver vienkāršas harmoniskas vibrācijas, slāpētas vibrācijas un piespiedu vibrācijas.

Harmoniska vibrācija

Atjaunojošā spēka iedarbībā, kas ir proporcionāls pārvietojumam, objekts kustas sinusoidāli virzoties uz priekšu un atpakaļ tuvu savam līdzsvara stāvoklim (1. att.). X apzīmē pārvietojumu un t apzīmē laiku. Šīs vibrācijas matemātiskā izteiksme ir:

(1)Kur A ir pārvietojuma x maksimālā vērtība, ko sauc par amplitūdu un kas apzīmē vibrācijas intensitāti; Omega n ir vibrācijas amplitūdas leņķa pieaugums sekundē, ko sauc par leņķisko frekvenci jeb apļveida frekvenci; To sauc par sākuma fāzi. Izteiksmē f = n/2 svārstību skaitu sekundē sauc par frekvenci; Šīs vērtības apgrieztā vērtība, T = 1/f, ir laiks, kas nepieciešams viena cikla svārstībām, un to sauc par periodu. Amplitūda A, frekvence f (vai leņķiskā frekvence n), sākuma fāze, kas pazīstama kā vienkārša harmoniska vibrācija, sastāv no trim elementiem.

1. attēls. Vienkārša harmonisku vibrāciju līkne

Kā parādīts 2. attēlā, vienkāršu harmonisku oscilatoru veido koncentrēta masa m, kas savienota ar lineāru atsperi. Kad vibrācijas pārvietojums tiek aprēķināts no līdzsvara stāvokļa, vibrācijas vienādojums ir:

Kur ir atsperes stingrība. Iepriekš minētā vienādojuma vispārējais risinājums ir (1).A un to var noteikt pēc sākotnējās pozīcijas x0 un sākotnējā ātruma pie t=0:

Bet omega n nosaka tikai pašas sistēmas m un k raksturlielumi neatkarīgi no papildu sākotnējiem nosacījumiem, tāpēc omega n ir pazīstama arī kā dabiskā frekvence.

2. attēls. Vienas brīvības pakāpes sistēma

Vienkāršam harmoniskam oscilatoram tā kinētiskās enerģijas un potenciālās enerģijas summa ir nemainīga, tas ir, sistēmas kopējā mehāniskā enerģija tiek saglabāta. Vibrācijas procesā kinētiskā enerģija un potenciālā enerģija pastāvīgi pārveidojas viena par otru.

Slāpējošā vibrācija

Vibrācija, kuras amplitūdu nepārtraukti vājina berze un dielektriskā pretestība vai cits enerģijas patēriņš. Mikrovibrācijām ātrums parasti nav ļoti liels, un vides pretestība ir proporcionāla ātrumam pirmajā pakāpē, ko var uzrakstīt kā c ir slāpēšanas koeficients. Tāpēc vienas brīvības pakāpes vibrācijas vienādojumu ar lineāru slāpēšanu var uzrakstīt kā:

(2)Kur m =c/2m sauc par slāpēšanas parametru, un. Formulas (2) vispārīgo risinājumu var uzrakstīt šādi:

(3)Skaitlisko sakarību starp omega n un PI var iedalīt šādos trīs gadījumos:

N > (mazas slāpēšanas gadījumā) daļiņu radītās vājināšanās vibrācijas gadījumā vibrācijas vienādojums ir:

Tās amplitūda laika gaitā samazinās saskaņā ar eksponenciālo likumu, kas parādīts vienādojumā, kā parādīts punktētā līnijā 3. attēlā. Stingri sakot, šī vibrācija ir aperiodiska, bet tās maksimuma frekvenci var definēt kā:

To sauc par amplitūdas samazinājuma ātrumu, kur ir vibrācijas periods. Amplitūdas samazinājuma ātruma naturālo logaritmu sauc par logaritma mīnus (amplitūdas) ātrumu. Acīmredzot, = šajā gadījumā ir vienāds ar 2/1. Tieši caur eksperimentālo testu deltu un, izmantojot iepriekš minēto formulu, var aprēķināt c.

Šajā laikā vienādojuma (2) risinājumu var uzrakstīt šādi:

Līdztekus sākotnējā ātruma virzienam to var iedalīt trīs nevibrācijas gadījumos, kā parādīts 4. attēlā.

N < (lielas slāpēšanas gadījumā), vienādojuma (2) risinājums ir parādīts vienādojumā (3). Šajā brīdī sistēma vairs nevibrē.

Piespiedu vibrācija

Sistēmas vibrācija pastāvīgas ierosmes ietekmē. Vibrāciju analīze galvenokārt pēta sistēmas reakciju uz ierosmi. Periodiska ierosme ir tipiska regulāra ierosme. Tā kā periodisku ierosmi vienmēr var sadalīt vairāku harmonisku ierosmju summā, saskaņā ar superpozīcijas principu ir nepieciešama tikai sistēmas reakcija uz katru harmonisku ierosmi. Harmoniskas ierosmes ietekmē vienas brīvības pakāpes slāpētas sistēmas kustības diferenciālvienādojumu var uzrakstīt:

Reakcija ir divu daļu summa. Viena daļa ir slāpētas vibrācijas reakcija, kas laika gaitā strauji samazinās. Otras piespiedu vibrācijas daļas reakciju var uzrakstīt šādi:

3. attēls. Apslāpētās vibrācijas līkne

4. attēls. Trīs sākotnējo stāvokļu līknes ar kritisku slāpēšanu

Ierakstiet

H /F0 = h(), ir stacionārās reakcijas amplitūdas attiecība pret ierosmes amplitūdu, kas raksturo amplitūdas-frekvences raksturlielumus vai pastiprinājuma funkciju; Biti stacionārās reakcijas un fāzes stimulācijas bitiem, kas raksturo fāzes frekvences raksturlielumus. Saistība starp tiem un ierosmes frekvenci ir parādīta 5. un 6. attēlā.

Kā redzams no amplitūdas-frekvences līknes (5. att.), nelielas slāpēšanas gadījumā amplitūdas-frekvences līknei ir viens maksimums. Jo mazāka slāpēšana, jo stāvāka virsotne; Frekvenci, kas atbilst maksimumam, sauc par sistēmas rezonanses frekvenci. Mazas slāpēšanas gadījumā rezonanses frekvence daudz neatšķiras no dabiskās frekvences. Kad ierosmes frekvence ir tuvu dabiskajai frekvencei, amplitūda strauji palielinās. Šo parādību sauc par rezonansi. Rezonanses laikā sistēmas pastiprinājums ir maksimāls, tas ir, piespiedu vibrācija ir visintensīvākā. Tāpēc parasti vienmēr jācenšas izvairīties no rezonanses, ja vien daži instrumenti un iekārtas neizmanto rezonansi, lai panāktu lielu vibrāciju.

5. attēls. Amplitūdas frekvences līkne

To var redzēt no fāzes frekvences līknes (6. attēls), neatkarīgi no slāpēšanas lieluma, omega nulles fāzes starpības bitos = PI / 2, šo raksturlielumu var efektīvi izmantot rezonanses mērīšanai.

Papildus pastāvīgai ierosmei sistēmas dažreiz saskaras ar nestacionāru ierosmi. To var aptuveni iedalīt divos veidos: viens ir pēkšņa ietekme. Otrais ir ilgstoša patvaļības ietekme. Nestacionāras ierosmes gadījumā sistēmas reakcija arī ir nestacionāra.

Spēcīgs instruments nestacionāras vibrācijas analīzei ir impulsa reakcijas metode. Tā apraksta sistēmas dinamiskās īpašības ar sistēmas impulsa ieejas pārejas reakciju. Impulsa vienību var izteikt kā delta funkciju. Inženierzinātnēs delta funkciju bieži definē kā:

Kur 0- apzīmē punktu uz t ass, kas tuvojas nullei no kreisās puses; 0 plus ir punkts, kas tuvojas 0 no labās puses.

6. attēls. Fāzes frekvences līkne

7. attēls. Jebkuru ievadi var uzskatīt par impulsu elementu virknes summu

Sistēma atbilst reakcijai h(t), ko ģenerē vienības impulss pie t=0, ko sauc par impulsa reakcijas funkciju. Pieņemot, ka sistēma pirms impulsa ir nekustīga, h(t)=0, ja t<0. Zinot sistēmas impulsa reakcijas funkciju, mēs varam atrast sistēmas reakciju uz jebkuru ieejas signālu x(t). Šajā brīdī jūs varat iedomāties x(t) kā impulsa elementu virknes summu (7. att.). Sistēmas reakcija ir:

Balstoties uz superpozīcijas principu, sistēmas kopējā atbilde, kas atbilst x(t), ir:

Šo integrāli sauc par konvolūcijas integrāli vai superpozīcijas integrāli.

Daudzbrīvības pakāpju sistēmas lineārā vibrācija

Lineāras sistēmas vibrācija ar n≥2 brīvības pakāpēm.

8. attēlā redzamas divas vienkāršas rezonanses apakšsistēmas, kas savienotas ar savienojuma atsperi. Tā kā tā ir divu brīvības pakāpju sistēma, tās pozīcijas noteikšanai ir nepieciešamas divas neatkarīgas koordinātas. Šajā sistēmā ir divas dabiskās frekvences:

Katra frekvence atbilst vibrācijas režīmam. Harmoniskie oscilatori veic vienas frekvences harmoniskas svārstības, sinhroni izejot cauri līdzsvara stāvoklim un sinhroni sasniedzot galējo pozīciju. Galvenajā vibrācijā, kas atbilst omega 1, x1 ir vienāds ar x2; Galvenajā vibrācijā, kas atbilst omega 2, omega 1. Galvenajā vibrācijā katras masas pārvietojuma attiecība saglabā noteiktu sakarību un veido noteiktu režīmu, ko sauc par galveno režīmu vai dabisko režīmu. Starp galvenajiem režīmiem pastāv masas un stingrības ortogonalitāte, kas atspoguļo katras vibrācijas neatkarību. Dabiskā frekvence un galvenais režīms atspoguļo daudzbrīvības pakāpju sistēmas raksturīgās vibrācijas īpašības.

8. attēls. Sistēma ar vairākām brīvības pakāpēm

Sistēmai ar n brīvības pakāpēm ir n pašsvārstību frekvences un n galvenie režīmi. Jebkuru sistēmas vibrāciju konfigurāciju var attēlot kā galveno režīmu lineāru kombināciju. Tāpēc galveno režīmu superpozīcijas metode tiek plaši izmantota daudzdof sistēmu dinamiskās reakcijas analīzē. Tādā veidā sistēmas pašsvārstību raksturlielumu mērīšana un analīze kļūst par ikdienas soli sistēmas dinamiskajā projektēšanā.

Daudzbrīvību pakāpju sistēmu dinamiskās īpašības var aprakstīt arī ar frekvences īpašībām. Tā kā starp katru ieeju un izeju pastāv frekvences raksturlīkne, tiek konstruēta frekvences raksturlīknes matrica. Daudzbrīvību pakāpju sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīkne atšķiras no vienas brīvības pakāpes sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīknes.

Elastomērs vibrē

Iepriekš minētā daudzbrīvības pakāpju sistēma ir aptuvens elastomēra mehāniskais modelis. Elastomēram ir bezgalīgs skaits brīvības pakāpju. Starp abiem pastāv kvantitatīva atšķirība, bet nav būtiskas atšķirības. Jebkuram elastomēram ir bezgalīgs skaits dabisko frekvenču un bezgalīgs skaits atbilstošo režīmu, un pastāv ortogonalitāte starp masas un stingrības režīmiem. Jebkuru elastomēra vibrācijas konfigurāciju var attēlot arī kā galveno režīmu lineāru superpozīciju. Tāpēc elastomēra dinamiskās reakcijas analīzei joprojām ir piemērojama galvenā režīma superpozīcijas metode (skatiet elastomēra lineāro vibrāciju).

Ņemsim stīgas vibrāciju. Pieņemsim, ka plāna stīga ar masu m uz garuma vienību, garums l, ir nospriegota abos galos, un spriegums ir T. Šajā laikā stīgas dabisko frekvenci nosaka šāds vienādojums:

F =na/2l (n = 1,2,3…).

Kur ir šķērsviļņa izplatīšanās ātrums stīgas virzienā. Stīgu dabiskās frekvences ir pamatfrekvences daudzkārtņi pāri 2l. Šī veselo skaitļu daudzkārtība rada patīkamu harmonisku struktūru. Kopumā starp elastomēra dabiskajām frekvencēm nav šādas veselo skaitļu daudzkārtņu sakarības.

Pirmie trīs nospriegotās auklas režīmi ir parādīti 9. attēlā. Galvenā režīma līknē ir daži mezgli. Galvenajā vibrācijā mezgli nevibrē. 10. attēlā parādīti vairāki tipiski pa apkārtmēru atbalstītas apļveida plāksnes režīmi ar dažām mezglu līnijām, kas sastāv no apļiem un diametriem.

Precīzu elastomēra vibrācijas problēmas formulējumu var secināt kā parciālo diferenciālvienādojumu robežvērtību problēmu. Tomēr precīzu risinājumu var atrast tikai dažos vienkāršākajos gadījumos, tāpēc sarežģītai elastomēra vibrācijas problēmai mums ir jāizmanto aptuvens risinājums. Dažādu aptuvenu risinājumu būtība ir mainīt bezgalīgo uz galīgo, tas ir, diskretizēt bezkategoriju daudzbrīvības pakāpju sistēmu (nepārtrauktu sistēmu) galīgā daudzbrīvības pakāpju sistēmā (diskrētā sistēmā). Inženiertehniskajā analīzē plaši tiek izmantotas divu veidu diskretizācijas metodes: galīgo elementu metode un modālās sintēzes metode.

9. attēls. Virknes režīms

10. attēls. Apļveida plāksnes režīms

Galīgo elementu metode ir salikta struktūra, kas abstrahē sarežģītu struktūru galīgā elementu skaitā un savieno tos galīgā mezglu skaitā. Katra vienība ir elastomērs; Elementa sadalījuma pārvietojums tiek izteikts ar mezglu pārvietojuma interpolācijas funkciju. Pēc tam katra elementa sadalījuma parametri tiek koncentrēti uz katru mezglu noteiktā formātā, un tiek iegūts diskrētās sistēmas mehāniskais modelis.

Modālā sintēze ir sarežģītas struktūras sadalīšana vairākās vienkāršākās apakšstruktūrās. Pamatojoties uz katras apakšstruktūras vibrācijas raksturlielumu izpratni, apakšstruktūra tiek sintezēta vispārējā struktūrā atbilstoši koordinācijas nosacījumiem saskarnē, un vispārējās struktūras vibrācijas morfoloģija tiek iegūta, izmantojot katras apakšstruktūras vibrācijas morfoloģiju.

Abas metodes ir atšķirīgas un saistītas, un tās var izmantot kā atsauci. Modālās sintēzes metodi var arī efektīvi apvienot ar eksperimentāliem mērījumiem, lai izveidotu teorētisku un eksperimentālu analīzes metodi lielu sistēmu vibrācijām.