Mtetemo wa mstari ni nini?

Mtetemo wa mstari: unyumbufu wa vipengele katika mfumo unategemea sheria ya hooke, na nguvu ya unyevu inayozalishwa wakati wa mwendo ni sawia na mlinganyo wa kwanza wa kasi ya jumla (derivative ya wakati ya viwianishi vya jumla).

dhana

Mfumo wa mstari kwa kawaida ni mfano dhahania wa mtetemo wa mfumo halisi. Mfumo wa mtetemo wa mstari hutumia kanuni ya nafasi ya juu, yaani, ikiwa mwitikio wa mfumo ni y1 chini ya kitendo cha ingizo x1, na y2 chini ya kitendo cha ingizo x2, basi mwitikio wa mfumo chini ya kitendo cha ingizo x1 na x2 ni y1+y2.

Kwa msingi wa kanuni ya nafasi ya juu, pembejeo isiyo ya kawaida inaweza kugawanywa katika jumla ya mfululizo wa misukumo midogo isiyo na kikomo, na kisha mwitikio kamili wa mfumo unaweza kupatikana. Jumla ya vipengele vya harmonic vya msisimko wa mara kwa mara inaweza kupanuliwa katika mfululizo wa vipengele vya harmonic na mabadiliko ya Fourier, na athari ya kila kipengele cha harmonic kwenye mfumo inaweza kuchunguzwa kando. Kwa hivyo, sifa za mwitikio wa mifumo ya mstari yenye vigezo visivyobadilika zinaweza kuelezewa kwa mwitikio wa msukumo au mwitikio wa masafa.

Mwitikio wa msukumo hurejelea mwitikio wa mfumo kwa msukumo wa kitengo, ambao huainisha sifa za mwitikio wa mfumo katika eneo la muda. Mwitikio wa masafa hurejelea sifa ya mwitikio wa mfumo kwa ingizo la usawa la kitengo. Mshikamano kati ya hizo mbili huamuliwa na mabadiliko ya Fourier.

uainishaji

Mtetemo wa mstari unaweza kugawanywa katika mtetemo wa mstari wa mfumo wa shahada moja ya uhuru na mtetemo wa mstari wa mfumo wa shahada nyingi za uhuru.

(1) mtetemo wa mstari wa mfumo wa uhuru wa kiwango kimoja ni mtetemo wa mstari ambao nafasi yake inaweza kuamuliwa na mratibu wa jumla. Ni mtetemo rahisi zaidi ambao dhana na sifa nyingi za msingi za mtetemo zinaweza kutolewa. Unajumuisha mtetemo rahisi wa harmonic, mtetemo huru, mtetemo wa kupunguza na mtetemo wa kulazimishwa.

Mtetemo rahisi wa harmonic: mwendo wa kurudiana wa kitu karibu na nafasi yake ya usawa kulingana na sheria ya sinusoidal chini ya kitendo cha nguvu ya kurejesha inayolingana na uhamishaji wake.

Mtetemo uliopunguzwa: mtetemo ambao amplitude yake hupunguzwa kila mara na uwepo wa msuguano na upinzani wa dielectric au matumizi mengine ya nishati.

Mtetemo wa kulazimishwa: mtetemo wa mfumo chini ya msisimko wa mara kwa mara.

(2) mtetemo wa mstari wa mfumo wa uhuru wa digrii nyingi ni mtetemo wa mfumo wa mstari wenye digrii n≥2 za uhuru. Mfumo wa digrii n za uhuru una masafa ya asili n na hali kuu n. Usanidi wowote wa mtetemo wa mfumo unaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa hali kuu. Kwa hivyo, mbinu ya uwekaji wa hali kuu hutumika sana katika uchanganuzi wa mwitikio wa nguvu wa mifumo ya dof nyingi. Kwa njia hii, kipimo na uchanganuzi wa sifa za asili za mtetemo wa mfumo unakuwa hatua ya kawaida katika muundo wa nguvu wa mfumo. Sifa za nguvu za mifumo ya dof nyingi pia zinaweza kuelezewa na sifa za masafa. Kwa kuwa kuna kazi ya sifa ya masafa kati ya kila ingizo na matokeo, matrix ya sifa ya masafa hujengwa. Kuna uhusiano dhahiri kati ya sifa ya masafa na hali kuu. Mkunjo wa sifa ya amplitude-frequency ya mfumo wa uhuru mwingi ni tofauti na ule wa mfumo wa uhuru mmoja.

Mtetemo wa mstari wa kiwango kimoja cha mfumo wa uhuru

Mtetemo wa mstari ambapo nafasi ya mfumo inaweza kuamuliwa na mratibu wa jumla. Ni mtetemo rahisi na wa msingi zaidi ambao dhana na sifa nyingi za msingi za mtetemo zinaweza kutolewa. Unajumuisha mtetemo rahisi wa harmonic, mtetemo uliopunguzwa na mtetemo wa kulazimishwa.

Mtetemo wa harmoniki

Chini ya kitendo cha kurejesha nguvu sawia na uhamishaji, kitu hujirudia kwa njia ya sinusoidal karibu na nafasi yake ya usawa (Mchoro 1). X inawakilisha uhamishaji na t inawakilisha wakati. Usemi wa kihisabati wa mtetemo huu ni:

(1)Ambapo A ni thamani ya juu zaidi ya uhamishaji x, ambayo huitwa amplitude, na inawakilisha nguvu ya mtetemo; Omega n ni amplitude Ongezeko la pembe la mtetemo kwa sekunde, ambalo huitwa masafa ya angular, au masafa ya mviringo; Hii huitwa awamu ya awali. Kwa upande wa f= n/2, idadi ya mitetemo kwa sekunde huitwa masafa; Kinyume cha hii, T=1/f, ni wakati unaochukua ili kuzungusha mzunguko mmoja, na huo huitwa kipindi. Amplitude A, masafa f (au masafa ya angular n), awamu ya awali, inayojulikana kama mtetemo rahisi wa harmonic vipengele vitatu.

MCHORO 1 mkunjo rahisi wa mtetemo wa harmoniki

Kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 2, kioscillator rahisi cha harmonic huundwa na uzito uliojilimbikizia m uliounganishwa na chemchemi ya mstari. Wakati uhamishaji wa mtetemo unapohesabiwa kutoka nafasi ya usawa, mlinganyo wa mtetemo ni:

Ugumu wa chemchemi uko wapi. Suluhisho la jumla la mlinganyo hapo juu ni (1).A na linaweza kuamuliwa kwa nafasi ya awali x0 na kasi ya awali katika t=0:

Lakini omega n huamuliwa tu na sifa za mfumo wenyewe m na k, bila kujali hali za awali za ziada, kwa hivyo omega n pia inajulikana kama masafa ya asili.

Mchoro 2 mfumo wa uhuru wa kiwango kimoja

Kwa kizunguzungu rahisi cha harmonic, jumla ya nishati yake ya kinetic na nishati inayowezekana ni thabiti, yaani, nishati yote ya mitambo ya mfumo huhifadhiwa. Katika mchakato wa mtetemo, nishati ya kinetic na nishati inayowezekana hubadilishwa kila mara kuwa kila mmoja.

Mtetemo wa unyevu

Mtetemo ambao amplitude yake hupunguzwa kila mara na msuguano na upinzani wa dielectric au matumizi mengine ya nishati. Kwa mtetemo mdogo, kasi kwa ujumla si kubwa sana, na upinzani wa wastani ni sawia na kasi ya nguvu ya kwanza, ambayo inaweza kuandikwa kama c ni mgawo wa unyevu. Kwa hivyo, mlinganyo wa mtetemo wa shahada moja ya uhuru na unyevu wa mstari unaweza kuandikwa kama:

(2)Ambapo, m = c/2m inaitwa kigezo cha unyevu, na. Suluhisho la jumla la fomula (2) linaweza kuandikwa:

(3)Uhusiano wa nambari kati ya omega n na PI unaweza kugawanywa katika kesi tatu zifuatazo:

N > (katika kesi ya unyevu mdogo) chembe iliyosababisha mtetemo wa upunguzaji wa joto, mlinganyo wa mtetemo ni:

Amplitude yake hupungua kadri muda unavyopita kulingana na sheria ya kielelezo iliyoonyeshwa kwenye mlinganyo, kama inavyoonyeshwa kwenye mstari wenye nukta katika Mchoro 3. Kwa uhalisia, mtetemo huu ni wa kawaida, lakini masafa ya kilele chake yanaweza kufafanuliwa kama:

Inaitwa kiwango cha kupunguza amplitude, ambapo ni kipindi cha mtetemo. Logaritimu ya asili ya kiwango cha kupunguza amplitude inaitwa kiwango cha logaritiminu ya minus (amplitude). Ni wazi, =, katika kesi hii, ni sawa na 2/1. Moja kwa moja kupitia delta ya jaribio la majaribio na, kwa kutumia fomula iliyo hapo juu inaweza kuhesabiwa c.

Kwa wakati huu, suluhisho la mlinganyo (2) linaweza kuandikwa:

Pamoja na mwelekeo wa kasi ya awali, inaweza kugawanywa katika visa vitatu visivyo na mtetemo kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4.

N < (katika hali ya unyevunyevu mkubwa), suluhisho la mlinganyo (2) linaonyeshwa katika mlinganyo (3). Katika hatua hii, mfumo hautetemeki tena.

Mtetemo wa kulazimishwa

Mtetemo wa mfumo chini ya msisimko wa mara kwa mara. Uchambuzi wa mtetemo huchunguza hasa mwitikio wa mfumo kwa msisimko. Msisimko wa mara kwa mara ni msisimko wa kawaida wa kawaida. Kwa kuwa msisimko wa mara kwa mara unaweza kugawanywa katika jumla ya msisimko kadhaa wa harmoniki, kulingana na kanuni ya nafasi ya juu, ni mwitikio wa mfumo tu kwa kila msisimko wa harmoniki unahitajika. Chini ya kitendo cha msisimko wa harmoniki, mlinganyo tofauti wa mwendo wa kiwango kimoja cha mfumo uliopunguzwa uhuru unaweza kuandikwa:

Jibu ni jumla ya sehemu mbili. Sehemu moja ni mwitikio wa mtetemo uliopunguzwa, ambao huharibika haraka kadri muda unavyopita. Mwitikio wa sehemu nyingine ya mtetemo wa kulazimishwa unaweza kuandikwa:

MCHORO 3 mkunjo wa mtetemo uliopunguzwa

Mchoro 4. Mikunjo ya hali tatu za awali zenye unyevunyevu muhimu

Andika katika

H /F0= h (), ni uwiano wa amplitude thabiti ya mwitikio kwa amplitude ya msisimko, inayoainisha sifa za amplitude-frequency, au utendaji kazi wa kupata; Biti za mwitikio thabiti wa hali na motisha ya awamu, uainishaji wa sifa za masafa ya awamu. Uhusiano kati yao na masafa ya msisimko unaonyeshwa katika Mchoro 5 na Mchoro 6.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mkunjo wa masafa ya amplitude (Mchoro 5), katika hali ya unyevunyevu mdogo, mkunjo wa masafa ya amplitude una kilele kimoja. Kadiri unyevunyevu unavyopungua, ndivyo kilele kinavyokuwa na mwinuko zaidi; Masafa yanayolingana na kilele huitwa masafa ya resonant ya mfumo. Katika hali ya unyevunyevu mdogo, masafa ya resonance si tofauti sana na masafa ya asili. Wakati masafa ya uchochezi yapo karibu na masafa ya asili, amplitude huongezeka sana. Jambo hili huitwa resonance. Katika resonance, faida ya mfumo huongezeka, yaani, mtetemo wa kulazimishwa ndio mkali zaidi. Kwa hivyo, kwa ujumla, kila wakati jitahidi kuepuka resonance, isipokuwa baadhi ya vyombo na vifaa vitumie resonance kufikia mtetemo mkubwa.

MCHORO 5 mkunjo wa masafa ya amplitude

Inaweza kuonekana kutoka kwa mkunjo wa masafa ya awamu (mchoro 6), bila kujali ukubwa wa unyevu, katika biti za tofauti ya awamu ya omega sifuri = PI / 2, sifa hii inaweza kutumika kwa ufanisi katika kupima mwangwi.

Mbali na msisimko thabiti, mifumo wakati mwingine hukutana na msisimko usio imara. Inaweza kugawanywa katika aina mbili: moja ni athari ya ghafla. Ya pili ni athari ya kudumu ya udhalimu. Chini ya msisimko usio imara, mwitikio wa mfumo pia hau imara.

Zana yenye nguvu ya kuchanganua mtetemo usio imara ni mbinu ya mwitikio wa msukumo. Inaelezea sifa za mabadiliko ya mfumo kwa mwitikio wa muda mfupi wa ingizo la msukumo wa kitengo cha mfumo. Msukumo wa kitengo unaweza kuonyeshwa kama kitendakazi cha delta. Katika uhandisi, kitendakazi cha delta mara nyingi hufafanuliwa kama:

Ambapo 0- inawakilisha nukta kwenye mhimili wa t inayokaribia sifuri kutoka kushoto; 0 pamoja ni nukta inayoenda 0 kutoka kulia.

Mchoro 6 wa mzunguko wa awamu

Mchoro 7. Ingizo lolote linaweza kuzingatiwa kama jumla ya mfululizo wa vipengele vya msukumo

Mfumo huu unalingana na mwitikio h(t) unaotokana na msukumo wa kitengo katika t=0, ambao huitwa kitendakazi cha mwitikio wa msukumo. Kwa kudhani kwamba mfumo haujatulia kabla ya mapigo, h(t)=0 kwa t<0. Kwa kujua kitendakazi cha mwitikio wa msukumo wa mfumo, tunaweza kupata mwitikio wa mfumo kwa ingizo lolote x(t). Katika hatua hii, unaweza kufikiria x(t) kama jumla ya mfululizo wa vipengele vya msukumo (Mchoro 7). Mwitikio wa mfumo ni:

Kulingana na kanuni ya nafasi ya juu, mwitikio wa jumla wa mfumo unaolingana na x(t) ni:

Kiambatanisho hiki kinaitwa kiambatanisho cha convolution au kiambatanisho cha superposition.

Mtetemo wa mstari wa mfumo wa uhuru wa viwango vingi

Mtetemo wa mfumo wa mstari wenye uhuru wa digrii n≥2.

Mchoro 8 unaonyesha mifumo miwili rahisi ya mwangwi iliyounganishwa na chemchemi ya kuunganisha. Kwa sababu ni mfumo wa digrii mbili za uhuru, viwianishi viwili huru vinahitajika ili kubaini nafasi yake. Kuna masafa mawili ya asili katika mfumo huu:

Kila masafa yanalingana na hali ya mtetemo. Vitetemo vya harmoniki hufanya mitetemo ya harmoniki ya masafa sawa, ikipita katika nafasi ya usawa na kufikia nafasi ya juu kwa usawa. Katika mtetemo mkuu unaolingana na omega moja, x1 ni sawa na x2; Katika mtetemo mkuu unaolingana na omega omega mbili, omega omega moja. Katika mtetemo mkuu, uwiano wa uhamishaji wa kila uzito huweka uhusiano fulani na huunda hali fulani, ambayo huitwa hali kuu au hali ya asili. Uwiano wa uzito na ugumu upo miongoni mwa hali kuu, ambao huonyesha uhuru wa kila mtetemo. Masafa ya asili na hali kuu huwakilisha sifa za asili za mtetemo wa mfumo wa uhuru wa viwango vingi.

Mchoro 8 mfumo wenye viwango vingi vya uhuru

Mfumo wa digrii n za uhuru una masafa ya asili n na hali kuu n. Usanidi wowote wa mtetemo wa mfumo unaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa hali kuu. Kwa hivyo, mbinu ya uwekaji nafasi wa hali kuu hutumika sana katika uchanganuzi wa mwitikio unaobadilika wa mifumo ya dof nyingi. Kwa njia hii, kipimo na uchanganuzi wa sifa za mtetemo asilia wa mfumo unakuwa hatua ya kawaida katika muundo unaobadilika wa mfumo.

Sifa zinazobadilika za mifumo ya dof nyingi zinaweza pia kuelezewa na sifa za masafa. Kwa kuwa kuna kitendakazi cha sifa ya masafa kati ya kila ingizo na matokeo, matrix ya sifa ya masafa hujengwa. Mkunjo wa sifa ya amplitude-frequency wa mfumo wa uhuru mwingi ni tofauti na ule wa mfumo wa uhuru mmoja.

Elastoma hutetemeka

Mfumo wa uhuru wa kiwango cha juu ni mfano wa kimakanika wa elastoma. Elastoma ina idadi isiyo na kikomo ya digrii za uhuru. Kuna tofauti ya kiasi lakini hakuna tofauti muhimu kati ya hizo mbili. Elastoma yoyote ina idadi isiyo na kikomo ya masafa ya asili na idadi isiyo na kikomo ya njia zinazolingana, na kuna orthogonality kati ya njia za uzito na ugumu. Usanidi wowote wa mtetemo wa elastoma pia unaweza kuwakilishwa kama nafasi ya mstari ya njia kuu. Kwa hivyo, kwa uchambuzi wa mwitikio wa nguvu wa elastoma, mbinu ya nafasi ya juu ya hali kuu bado inatumika (tazama mtetemo wa mstari wa elastoma).

Chukua mtetemo wa kamba. Tuseme kwamba kamba nyembamba ya uzito m kwa kila kitengo cha urefu, l ndefu, imeshinikizwa pande zote mbili, na mvutano ni T. Kwa wakati huu, masafa ya asili ya kamba huamuliwa na mlinganyo ufuatao:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Ambapo, kasi ya uenezaji wa wimbi linalopita kando ya mwelekeo wa kamba iko wapi. Masafa ya asili ya kamba huwa ni mafungu ya masafa ya msingi zaidi ya lita 2. Uwingi huu wa nambari kamili husababisha muundo mzuri wa harmonic. Kwa ujumla, hakuna uhusiano kama huo wa nambari nyingi kati ya masafa ya asili ya elastoma.

Njia tatu za kwanza za kamba iliyoshinikizwa zinaonyeshwa kwenye Mchoro 9. Kuna baadhi ya nodi kwenye mkunjo wa modi kuu. Katika mtetemo mkuu, nodi hazitetemeki. Mchoro 10 unaonyesha njia kadhaa za kawaida za bamba la duara linaloungwa mkono na mduara lenye mistari ya vifundo iliyoundwa na miduara na kipenyo.

Uundaji halisi wa tatizo la mtetemo wa elastoma unaweza kuhitimishwa kama tatizo la thamani ya mpaka wa milinganyo ya tofauti isiyo kamili.Hata hivyo, suluhisho halisi linaweza kupatikana tu katika baadhi ya visa rahisi zaidi, kwa hivyo tunapaswa kutumia suluhisho la takriban kwa tatizo tata la mtetemo wa elastoma.Kiini cha suluhisho mbalimbali za takriban ni kubadilisha usio na kikomo kuwa wa mwisho, yaani, kutenganisha mfumo wa uhuru usio na viungo vingi (mfumo endelevu) kuwa mfumo wa uhuru wa viwango vingi usio kamili (mfumo usio kamili).Kuna aina mbili za mbinu za kutenganisha zinazotumika sana katika uchanganuzi wa uhandisi: mbinu ya kipengele cha mwisho na mbinu ya usanisi wa modali.

MCHORO 9 aina ya kamba

Mchoro 10 wa aina ya bamba la mviringo

Mbinu ya kipengele chenye kikomo ni muundo mchanganyiko unaojumuisha muundo tata katika idadi ndogo ya vipengele na kuviunganisha katika idadi ndogo ya nodi. Kila kitengo ni elastoma; Uhamishaji wa usambazaji wa kipengele huonyeshwa kwa kazi ya uingiliaji kati wa uhamishaji wa nodi. Kisha vigezo vya usambazaji wa kila kipengele hujilimbikizia kwa kila nodi katika umbizo fulani, na modeli ya kiufundi ya mfumo tofauti hupatikana.

Usanisi wa modali ni mtengano wa muundo tata katika miundo kadhaa rahisi zaidi. Kwa msingi wa kuelewa sifa za mtetemo wa kila muundo mdogo, muundo mdogo huunganishwa katika muundo mkuu kulingana na hali ya uratibu kwenye kiolesura, na mofolojia ya mtetemo wa muundo mkuu hupatikana kwa kutumia mofolojia ya mtetemo wa kila muundo mdogo.

Mbinu hizo mbili ni tofauti na zinahusiana, na zinaweza kutumika kama marejeleo. Mbinu ya usanisi wa modali inaweza pia kuunganishwa kwa ufanisi na kipimo cha majaribio ili kuunda mbinu ya uchambuzi wa kinadharia na majaribio kwa ajili ya mtetemo wa mifumo mikubwa.