Wat is lineaire trilling?

Lineaire trillingDe elasticiteit van de componenten in het systeem is onderworpen aan de wet van Hooke, en de dempingskracht die tijdens de beweging wordt gegenereerd, is evenredig met de eerste vergelijking van de gegeneraliseerde snelheid (tijdsafgeleide van de gegeneraliseerde coördinaten).

concept

Een lineair systeem is doorgaans een abstract model van de trillingen van een reëel systeem. Bij lineaire trillingssystemen wordt het superpositieprincipe toegepast, wat betekent dat als de respons van het systeem y1 is onder invloed van input x1, en y2 onder invloed van input x2, dan is de respons van het systeem onder invloed van input x1 en x2 gelijk aan y1 + y2.

Op basis van het superpositieprincipe kan een willekeurige ingangssignaal worden ontbonden in de som van een reeks infinitesimale impulsen, waarna de totale respons van het systeem kan worden verkregen. De som van de harmonische componenten van een periodieke excitatie kan door middel van een Fourier-transformatie worden uitgebreid tot een reeks harmonische componenten, en het effect van elke harmonische component op het systeem kan afzonderlijk worden onderzocht. Daarom kunnen de responsiekarakteristieken van lineaire systemen met constante parameters worden beschreven door middel van impulsresponsie of frequentieresponsie.

De impulsrespons verwijst naar de reactie van het systeem op een eenheidsimpuls, waarmee de responsiekarakteristieken van het systeem in het tijdsdomein worden gekarakteriseerd. De frequentierespons verwijst naar de responsiekarakteristiek van het systeem op een eenheidsharmonische ingang. De correspondentie tussen de twee wordt bepaald door de Fourier-transformatie.

classificatie

Lineaire trillingen kunnen worden onderverdeeld in lineaire trillingen van systemen met één vrijheidsgraad en lineaire trillingen van systemen met meerdere vrijheidsgraden.

(1) Lineaire trilling van een systeem met één vrijheidsgraad is een lineaire trilling waarvan de positie kan worden bepaald door een gegeneraliseerde coördinaat. Het is de eenvoudigste trilling waaruit veel basisconcepten en -kenmerken van trillingen kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudige harmonische trillingen, vrije trillingen, gedempte trillingen en gedwongen trillingen.

Eenvoudige harmonische trilling: de heen-en-weergaande beweging van een object in de buurt van zijn evenwichtspositie volgens een sinusvormige wet onder invloed van een herstellende kracht die evenredig is met zijn verplaatsing.

Gedempte trilling: trillingen waarvan de amplitude voortdurend wordt verzwakt door wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik.

Gedwongen trilling: trilling van een systeem onder constante excitatie.

(2) De lineaire trilling van een systeem met meerdere vrijheidsgraden is de trilling van een lineair systeem met n≥2 vrijheidsgraden. Een systeem met n vrijheidsgraden heeft n eigenfrequenties en n hoofdmodi. Elke trillingsconfiguratie van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de hoofdmodi. Daarom wordt de superpositiemethode van de hoofdmodi veelvuldig gebruikt in de dynamische responsanalyse van systemen met meerdere vrijheidsgraden. Op deze manier wordt het meten en analyseren van de eigentrillingskarakteristieken van het systeem een ​​routinestap in het dynamisch ontwerp van het systeem. De dynamische eigenschappen van systemen met meerdere vrijheidsgraden kunnen ook worden beschreven door frequentiekarakteristieken. Omdat er een frequentiekarakteristieke functie bestaat tussen elke ingang en uitgang, wordt een frequentiekarakteristiekmatrix geconstrueerd. Er bestaat een duidelijke relatie tussen de frequentiekarakteristiek en de hoofdmodus. De amplitude-frequentiekarakteristiekcurve van een systeem met meerdere vrijheidsgraden verschilt van die van een systeem met één vrijheidsgraad.

Lineaire trilling van een systeem met één vrijheidsgraad

Een lineaire trilling waarbij de positie van een systeem kan worden bepaald door een gegeneraliseerde coördinaat. Het is de eenvoudigste en meest fundamentele trilling, waaruit veel basisconcepten en -eigenschappen van trillingen kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudige harmonische trillingen, gedempte trillingen en gedwongen trillingen.

Harmonische trilling

Onder invloed van een herstellende kracht die evenredig is met de verplaatsing, beweegt het object in een sinusvormige beweging heen en weer nabij zijn evenwichtspositie (figuur 1). X staat voor de verplaatsing en t voor de tijd. De wiskundige uitdrukking van deze trilling is:

(1)Waarbij A de maximale waarde van de verplaatsing x is, ook wel de amplitude genoemd, en de intensiteit van de trilling weergeeft; Omega n is de amplitudehoektoename van de trilling per seconde, ook wel de hoekfrequentie of circulaire frequentie genoemd; Dit wordt de beginfase genoemd. In termen van f = n/2, wordt het aantal trillingen per seconde de frequentie genoemd; Het omgekeerde hiervan, T = 1/f, is de tijd die nodig is om één cyclus te doorlopen, en dat wordt de periode genoemd. Amplitude A, frequentie f (of hoekfrequentie n), de beginfase, bekend als eenvoudige harmonische trilling, drie elementen.

FIG. 1 eenvoudige harmonische trillingscurve

Zoals weergegeven in Fig. 2, wordt een eenvoudige harmonische oscillator gevormd door de geconcentreerde massa m die verbonden is door een lineaire veer. Wanneer de trillingsverplaatsing wordt berekend vanuit de evenwichtspositie, is de trillingsvergelijking:

Waar is de stijfheid van de veer? De algemene oplossing van de bovenstaande vergelijking is (1). A en kunnen worden bepaald door de beginpositie x0 en de beginsnelheid op t=0:

Maar omega n wordt alleen bepaald door de eigenschappen van het systeem zelf, m en k, onafhankelijk van de aanvullende beginvoorwaarden. Daarom wordt omega n ook wel de natuurlijke frequentie genoemd.

FIG. 2 systeem met één vrijheidsgraad

Bij een eenvoudige harmonische oscillator is de som van de kinetische energie en de potentiële energie constant, dat wil zeggen dat de totale mechanische energie van het systeem behouden blijft. Tijdens het trillingsproces worden kinetische energie en potentiële energie voortdurend in elkaar omgezet.

De dempende trilling

Een trilling waarvan de amplitude voortdurend wordt gedempt door wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik. Bij microtrillingen is de snelheid over het algemeen niet erg groot en is de weerstand van het medium evenredig met de snelheid tot de eerste macht, wat kan worden geschreven als c, waarbij c de dempingscoëfficiënt is. Daarom kan de trillingsvergelijking van één vrijheidsgraad met lineaire demping als volgt worden geschreven:

(2)Waarbij m = c/2m de dempingsparameter wordt genoemd, en de algemene oplossing van formule (2) kan als volgt worden geschreven:

(3)De numerieke relatie tussen omega n en PI kan worden onderverdeeld in de volgende drie gevallen:

N > (in het geval van geringe demping) de door het deeltje veroorzaakte trillingsdemping, de trillingsvergelijking is:

De amplitude ervan neemt in de loop van de tijd af volgens de exponentiële wet die in de vergelijking wordt weergegeven, zoals aangegeven door de stippellijn in Fig. 3. Strikt genomen is deze trilling aperiodiek, maar de frequentie van de piek kan als volgt worden gedefinieerd:

Dit wordt de amplitudereductiesnelheid genoemd, waarbij de trillingsperiode is. De natuurlijke logaritme van de amplitudereductiesnelheid wordt de logaritme min (amplitude)snelheid genoemd. Uiteraard is =, in dit geval, gelijk aan 2/1. Direct via de experimentele test delta en, met behulp van de bovenstaande formule, kan c worden berekend.

Op dit moment kan de oplossing van vergelijking (2) als volgt worden geschreven:

Samen met de richting van de beginsnelheid kan deze worden onderverdeeld in drie gevallen zonder trillingen, zoals weergegeven in figuur 4.

N < (in het geval van grote demping), wordt de oplossing van vergelijking (2) weergegeven in vergelijking (3). Op dit punt trilt het systeem niet meer.

Gedwongen trilling

Trillingen van een systeem onder constante excitatie. Trillingsanalyse onderzoekt voornamelijk de respons van het systeem op excitatie. Periodieke excitatie is een typische regelmatige excitatie. Omdat periodieke excitatie altijd kan worden ontbonden in de som van verschillende harmonische excitaties, is volgens het superpositieprincipe alleen de respons van het systeem op elke afzonderlijke harmonische excitatie nodig. Onder invloed van harmonische excitatie kan de differentiaalvergelijking van de beweging van een gedempt systeem met één vrijheidsgraad als volgt worden geschreven:

De respons is de som van twee delen. Het ene deel is de respons van de gedempte trilling, die snel afneemt met de tijd. De respons van het andere deel, de gedwongen trilling, kan als volgt worden geschreven:

FIG. 3 gedempte trillingscurve

FIG. 4: curven van drie beginvoorwaarden met kritische demping

Typ in

H /F0= h (), is de verhouding van de amplitude van de stationaire respons tot de excitatieamplitude, die de amplitude-frequentiekarakteristieken of versterkingsfunctie karakteriseert; Bits voor de stationaire respons en de fase-incentive, die de fase-frequentiekarakteristieken karakteriseert. De relatie tussen deze parameters en de excitatiefrequentie wordt weergegeven in Fig. 5 en Fig. 6.

Zoals te zien is aan de amplitude-frequentiecurve (figuur 5), heeft deze bij geringe demping één piek. Hoe kleiner de demping, hoe steiler de piek. De frequentie die overeenkomt met de piek wordt de resonantiefrequentie van het systeem genoemd. Bij geringe demping verschilt de resonantiefrequentie niet veel van de eigenfrequentie. Wanneer de excitatie frequentie dicht bij de eigenfrequentie ligt, neemt de amplitude sterk toe. Dit verschijnsel wordt resonantie genoemd. Bij resonantie is de versterking van het systeem maximaal, dat wil zeggen dat de gedwongen trilling het meest intens is. Daarom moet men in het algemeen altijd proberen resonantie te vermijden, tenzij bepaalde instrumenten en apparatuur resonantie gebruiken om grote trillingen te bereiken.

FIG. 5 amplitude-frequentiecurve

Uit de fasefrequentiecurve (figuur 6) blijkt dat, ongeacht de grootte van de demping, bij een faseverschil van omega nul bits = PI / 2, deze eigenschap effectief kan worden gebruikt bij het meten van resonantie.

Naast constante excitatie kunnen systemen soms ook te maken krijgen met niet-constante excitatie. Deze kan grofweg in twee typen worden verdeeld: een plotselinge impact en een langdurig, willekeurig effect. Bij niet-constante excitatie is de respons van het systeem eveneens niet-constante.

Een krachtig hulpmiddel voor het analyseren van onstabiele trillingen is de impulsresponsiemethode. Deze methode beschrijft de dynamische kenmerken van het systeem aan de hand van de transiënte respons op een eenheidsimpuls. De eenheidsimpuls kan worden uitgedrukt als een deltafunctie. In de techniek wordt de deltafunctie vaak als volgt gedefinieerd:

Waarbij 0- het punt op de t-as voorstelt dat van links naar nul nadert; 0+ is het punt dat van rechts naar nul gaat.

FIG. 6 fase-frequentiecurve

Figuur 7: elke invoer kan worden beschouwd als de som van een reeks impuls-elementen.

Het systeem komt overeen met de respons h(t) die wordt gegenereerd door de eenheidsimpuls op t=0, wat de impulsresponsfunctie wordt genoemd. Ervan uitgaande dat het systeem stationair is vóór de puls, is h(t)=0 voor t<0. Met de bekende impulsresponsfunctie van het systeem kunnen we de respons van het systeem op elke input x(t) bepalen. Hierbij kunnen we x(t) beschouwen als de som van een reeks impulselementen (figuur 7). De respons van het systeem is:

Op basis van het superpositieprincipe is de totale respons van het systeem die overeenkomt met x(t):

Deze integraal wordt een convolutie-integraal of een superpositie-integraal genoemd.

Lineaire trilling van een systeem met meerdere vrijheidsgraden

Trilling van een lineair systeem met n≥2 vrijheidsgraden.

Figuur 8 toont twee eenvoudige resonante subsystemen die met elkaar verbonden zijn door een koppelingsveer. Omdat het een systeem met twee vrijheidsgraden is, zijn twee onafhankelijke coördinaten nodig om de positie te bepalen. Dit systeem heeft twee eigenfrequenties:

Elke frequentie komt overeen met een trillingsmodus. De harmonische oscillatoren voeren harmonische trillingen uit met dezelfde frequentie, waarbij ze synchroon door de evenwichtspositie gaan en synchroon de uiterste positie bereiken. Bij de hoofdtrilling die overeenkomt met omega één, is x1 gelijk aan x2; bij de hoofdtrilling die overeenkomt met omega twee, is omega gelijk aan omega één. Bij de hoofdtrilling behoudt de verplaatsingsverhouding van elke massa een bepaalde relatie en vormt een bepaalde modus, die de hoofdmodus of eigenmodus wordt genoemd. De orthogonaliteit van massa en stijfheid bestaat tussen de hoofdmodi, wat de onafhankelijkheid van elke trilling weerspiegelt. De eigenfrequentie en de hoofdmodus vertegenwoordigen de inherente trillingskarakteristieken van het systeem met meerdere vrijheidsgraden.

FIG. 8 systeem met meerdere vrijheidsgraden

Een systeem met n vrijheidsgraden heeft n eigenfrequenties en n hoofdmodi. Elke trillingsconfiguratie van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de hoofdmodi. Daarom wordt de superpositiemethode van de hoofdmodi veelvuldig gebruikt in de dynamische responsanalyse van systemen met meerdere vrijheidsgraden. Op deze manier wordt het meten en analyseren van de eigentrillingskarakteristieken van het systeem een ​​routinestap in het dynamisch ontwerp van het systeem.

De dynamische eigenschappen van systemen met meerdere vrijheidsgraden kunnen ook worden beschreven door frequentiekarakteristieken. Omdat er een frequentiekarakteristieke functie bestaat tussen elke ingang en uitgang, wordt een frequentiekarakteristieke matrix geconstrueerd. De amplitude-frequentiekarakteristiek van een systeem met meerdere vrijheidsgraden verschilt van die van een systeem met één vrijheidsgraad.

Het elastomeer trilt

Het bovenstaande systeem met meerdere vrijheidsgraden is een benaderend mechanisch model van een elastomeer. Een elastomeer heeft een oneindig aantal vrijheidsgraden. Er is een kwantitatief verschil, maar geen essentieel verschil tussen de twee. Elk elastomeer heeft een oneindig aantal eigenfrequenties en een oneindig aantal corresponderende trillingsmodi, en er bestaat orthogonaliteit tussen de massa- en stijfheidsmodi. Elke trillingsconfiguratie van het elastomeer kan ook worden weergegeven als een lineaire superpositie van de belangrijkste modi. Daarom is de superpositiemethode van de hoofdmodi nog steeds toepasbaar voor dynamische responsanalyse van elastomeren (zie lineaire trillingen van elastomeren).

Neem de trilling van een snaar. Stel dat een dunne snaar met massa m per lengte-eenheid, lengte l, aan beide uiteinden gespannen is met een spanning T. De eigenfrequentie van de snaar wordt dan bepaald door de volgende vergelijking:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Waar is de voortplantingssnelheid van de transversale golf in de richting van de snaar? De eigenfrequenties van de snaren blijken veelvouden te zijn van de grondfrequentie gedeeld door 2l. Deze veelvouden van gehele getallen leiden tot een aangename harmonische structuur. Over het algemeen bestaat er geen dergelijke relatie tussen de eigenfrequenties van een elastomeer.

De eerste drie trillingsmodi van de gespannen snaar worden weergegeven in Fig. 9. Er zijn enkele knooppunten op de hoofdmoduscurve. Tijdens de hoofdtrilling trillen de knooppunten niet. Fig. 10 toont verschillende typische trillingsmodi van de cirkelvormige plaat met omtreksondersteuning, met enkele knooppuntlijnen bestaande uit cirkels en diameters.

De exacte formulering van het trillingsprobleem van elastomeren kan worden samengevat als een randwaardeprobleem van partiële differentiaalvergelijkingen. De exacte oplossing kan echter alleen in enkele van de eenvoudigste gevallen worden gevonden, waardoor we voor complexere trillingsproblemen van elastomeren onze toevlucht moeten nemen tot een benaderende oplossing. De essentie van verschillende benaderende oplossingen is het omzetten van het oneindige naar het eindige, dat wil zeggen het discretiseren van het systeem met meerdere vrijheidsgraden zonder ledematen (continu systeem) naar een systeem met meerdere eindige vrijheidsgraden (discreet systeem). Er zijn twee soorten discretisatiemethoden die veel worden gebruikt in technische analyses: de eindige-elementenmethode en de modale synthesemethode.

FIG. 9 modus van de snaar

FIG. 10 modus van cirkelvormige plaat

De eindige-elementenmethode is een samengestelde structuur die een complexe structuur abstraheert tot een eindig aantal elementen en deze verbindt op een eindig aantal knooppunten. Elke eenheid is een elastomeer; de verplaatsingsverdeling van een element wordt uitgedrukt door een interpolatiefunctie van de knooppuntverplaatsing. Vervolgens worden de verdelingsparameters van elk element geconcentreerd op elk knooppunt in een bepaalde vorm, en wordt het mechanische model van het discrete systeem verkregen.

Modale synthese is het ontleden van een complexe structuur in verschillende eenvoudigere substructuren. Op basis van inzicht in de trillingskarakteristieken van elke substructuur wordt de substructuur gesynthetiseerd tot een algemene structuur, rekening houdend met de coördinatievoorwaarden op het grensvlak. Vervolgens wordt de trillingsmorfologie van de algemene structuur verkregen door gebruik te maken van de trillingsmorfologie van elke substructuur.

De twee methoden zijn verschillend maar wel verwant, en kunnen als referentie worden gebruikt. De modale synthesemethode kan ook effectief worden gecombineerd met experimentele metingen om een ​​theoretische en experimentele analysemethode te vormen voor de trillingen van grote systemen.