Wat ass linear Schwéngung?

Linear SchwéngungD'Elastizitéit vun de Komponenten am System ënnerläit dem Gesetz vum Hooke, an d'Dämpfungskraaft, déi während der Bewegung generéiert gëtt, ass proportional zu der éischter Equatioun vun der generaliséierter Geschwindegkeet (Zäitderivatioun vun de generaliséierte Koordinaten).

Konzept

E lineart System ass normalerweis en abstrakt Modell vun der Schwéngung vun engem reale System. De lineare Schwéngungssystem applizéiert de Superpositiounsprinzip, dat heescht, wann d'Äntwert vum System y1 ënner der Aktioun vum Input x1 ass, an y2 ënner der Aktioun vum Input x2, dann ass d'Äntwert vum System ënner der Aktioun vum Input x1 an x2 y1+y2.

Op Basis vum Superpositiounsprinzip kann en arbiträren Input an d'Zomm vun enger Serie vun infinitesimalen Impulser zerluecht ginn, an dann kann déi total Äntwert vum System kritt ginn. D'Zomm vun den harmonesche Komponenten vun enger periodescher Anregung kann duerch Fourier-Transformatioun an eng Serie vun harmonesche Komponenten expandéiert ginn, an den Effekt vun all harmonescher Komponent op de System kann separat ënnersicht ginn. Dofir kënnen d'Äntwertcharakteristike vu lineare Systemer mat konstante Parameteren duerch Impulsantwort oder Frequenzantwort beschriwwe ginn.

D'Impulsantwort bezitt sech op d'Reaktioun vum System op den Eenheetsimpuls, wat d'Reaktiounscharakteristike vum System am Zäitberäich charakteriséiert. D'Frequenzantwort bezitt sech op d'Reaktiounscharakteristik vum System op den Eenheetsharmoneschen Input. D'Korrespondenz tëscht deenen zwee gëtt duerch d'Fourier-Transformatioun bestëmmt.

Klassifikatioun

Linear Schwéngung kann an linear Schwéngung vun engem System mat engem Fräiheetsgrad a linear Schwéngung vun engem System mat méi Fräiheetsgraden opgedeelt ginn.

(1) linear Schwéngung vun engem System mat engem Fräiheetsgrad ass eng linear Schwéngung, där hir Positioun duerch eng generaliséiert Koordinat bestëmmt ka ginn. Et ass déi einfachst Schwéngung, aus där vill Grondkonzepter an Charakteristike vun der Schwéngung ofgeleet kënne ginn. Si ëmfaasst einfach harmonesch Schwéngung, fräi Schwéngung, Dämpfungsschwéngung a gezwongen Schwéngung.

Einfach harmonesch Schwéngung: déi hin- an hiergéintgehend Bewegung vun engem Objet an der Géigend vu senger Gläichgewiichtspositioun no engem sinusfërmege Gesetz ënner der Wierkung vun enger Réckstellungskraaft, déi proportional zu senger Verrécklung ass.

Gedämpft Schwéngung: Schwéngung, där hir Amplitude duerch d'Präsenz vu Reibung an dielektreschem Widderstand oder aner Energieverbrauch kontinuéierlech ofgeschwächt gëtt.

Gezwongen Schwéngung: Schwéngung vun engem System ënner konstanter Erregung.

(2) Déi linear Schwéngung vum Multi-Dof-System ass d'Schwéngung vum lineare System mat n≥2 Fräiheetsgraden. E System mat n Fräiheetsgraden huet n natierlech Frequenzen an n Haaptmodi. All Schwéngungskonfiguratioun vum System kann als linear Kombinatioun vun den Haaptmodi duergestallt ginn. Dofir gëtt d'Haaptmodus-Superpositiounsmethod wäit verbreet an der dynamescher Äntwertanalyse vu Multi-Dof-Systemer benotzt. Op dës Manéier gëtt d'Miessung an d'Analyse vun den natierleche Schwéngungscharakteristike vum System zu engem Routineschritt am dynameschen Design vum System. Déi dynamesch Charakteristike vu Multi-Dof-Systemer kënnen och duerch Frequenzcharakteristike beschriwwe ginn. Well et eng Frequenzcharakteristikfunktioun tëscht all Input an Output gëtt, gëtt eng Frequenzcharakteristikmatrix konstruéiert. Et gëtt eng definitiv Relatioun tëscht der Frequenzcharakteristik an dem Haaptmodus. D'Amplitude-Frequenzcharakteristikkurve vum Multi-Fräiheetssystem ass anescht wéi déi vum Eenzelfräiheetssystem.

Linear Schwéngung vun engem System mat engem Fräiheetsgrad

Eng linear Schwéngung, bei där d'Positioun vun engem System duerch eng generaliséiert Koordinat bestëmmt ka ginn. Et ass déi einfachst a fundamentalst Schwéngung, aus där vill Grondkonzepter an Charakteristike vun der Schwéngung ofgeleet kënne ginn. Si ëmfaasst einfach harmonesch Schwéngung, gedämpft Schwéngung a gezwongen Schwéngung.

Harmonesch Schwéngung

Ënnert der Wierkung vun der Kraaft, déi proportional zur Verrécklung ass, beweegt sech den Objet sinusfërmeg no bei senger Gläichgewiichtspositioun hin- an hier (FIG. 1). X representéiert d'Verrécklung an t representéiert d'Zäit. Den mathemateschen Ausdrock vun dëser Schwéngung ass:

(1)Woubei A de maximale Wäert vun der Verrécklung x ass, déi Amplitude genannt gëtt a fir d'Intensitéit vun der Schwéngung representéiert; Omega n ass d'Amplitudewénkelsteigerung vun der Schwéngung pro Sekonn, déi Winkelfrequenz oder Kreesfrequenz genannt gëtt; Dëst gëtt initial Phas genannt. A Bezuch op f= n/2 gëtt d'Zuel vun den Schwéngunge pro Sekonn Frequenz genannt; D'Invers dovun, T=1/f, ass d'Zäit, déi et brauch fir een Zyklus ze oszilléieren, an dat gëtt Period genannt. Amplitude A, Frequenz f (oder Winkelfrequenz n), initial Phas, ass bekannt als einfach harmonesch Schwéngung mat dräi Elementer.

FIG. 1 einfach harmonesch Schwéngungskurve

Wéi an der FIG. 2 gewisen, gëtt en einfachen harmoneschen Oszillator duerch déi konzentréiert Mass m geformt, déi duerch eng linear Fieder verbonnen ass. Wann d'Vibratiounsverrécklung aus der Gläichgewiichtspositioun berechent gëtt, ass d'Vibratiounsgläichung:

Wou d'Steifheet vun der Fieder ass. Déi allgemeng Léisung vun der uewe genannter Equatioun ass (1).A a kann duerch d'Startpositioun x0 an d'Startgeschwindegkeet bei t=0 bestëmmt ginn:

Mee Omega n gëtt nëmme vun de Charakteristike vum System selwer m an k bestëmmt, onofhängeg vun den zousätzlechen Ufanksbedéngungen, dofir ass Omega n och als natierlech Frequenz bekannt.

FIG. 2 System mat engem Fräiheetsgrad

Fir en einfachen harmoneschen Oszillator ass d'Zomm vu senger kinetischer Energie a potenzieller Energie konstant, dat heescht, déi total mechanesch Energie vum System ass erhalen. Am Prozess vun der Vibratioun ginn déi kinetesch Energie an déi potenziell Energie stänneg aneneen transforméiert.

D'Dämpfungsvibratioun

Eng Schwéngung, där hir Amplitude kontinuéierlech duerch Reibung an dielektresche Widderstand oder aner Energieverbrauch ofgeschwächt gëtt. Fir Mikroschwéngungen ass d'Geschwindegkeet am Allgemengen net ganz grouss, an de mëttleren Widderstand ass proportional zu der Geschwindegkeet an der éischter Potenz, déi als c den Dämpfungskoeffizient geschriwwe ka ginn. Dofir kann d'Schwéngungsgläichung vun engem Fräiheetsgrad mat linearer Dämpfung geschriwwe ginn als:

(2)Wou, m = c/2m, den Dämpfungsparameter genannt gëtt, an. Déi allgemeng Léisung vun der Formel (2) kann geschriwwe ginn:

(3)Déi numeresch Bezéiung tëscht Omega n a PI kann an déi folgend dräi Fäll opgedeelt ginn:

N > (am Fall vun enger klenger Dämpfung) vun de Partikelen produzéierten Dämpfungsschwéngungen, ass d'Schwéngungsgläichung:

Seng Amplitude hëlt mat der Zäit of, laut dem exponentielle Gesetz aus der Equatioun, wéi an der gepunkelter Linn an der FIG. 3 gewisen. Streng geholl ass dës Schwéngung aperiodesch, awer d'Frequenz vun hirem Héichpunkt kann als: definéiert ginn

Gëtt d'Amplitudenreduktiounsquote genannt, wou d'Period vun der Schwingung ass. Den natierleche Logarithmus vun der Amplitudenreduktiounsquote gëtt Logarithmus minus (Amplituden-) quote genannt. Natierlech ass =, an dësem Fall, gläich 2/1. Direkt iwwer den experimentellen Testdelta an, mat der uewe genannter Formel, kann c berechent ginn.

Zu dësem Zäitpunkt kann d'Léisung vun der Equatioun (2) geschriwwe ginn:

Zesumme mat der Richtung vun der Ufanksgeschwindegkeet kann se an dräi Net-Vibratiounsfäll opgedeelt ginn, wéi an der FIG. 4 gewisen.

N < (am Fall vun enger grousser Dämpfung), gëtt d'Léisung vun der Equatioun (2) an der Equatioun (3) gewisen. Zu dësem Zäitpunkt vibréiert de System net méi.

Gezwongen Vibratioun

Schwéngung vun engem System ënner konstanter Erregung. D'Schwéngungsanalyse ënnersicht haaptsächlech d'Reaktioun vum System op Erregung. Periodesch Erregung ass eng typesch reegelméisseg Erregung. Well periodesch Erregung ëmmer an d'Zomm vu verschiddene harmoneschen Erregungen zerluecht ka ginn, ass no dem Superpositiounsprinzip nëmmen d'Reaktioun vum System op all harmonesch Erregung erfuerderlech. Ënnert der Wierkung vun der harmonescher Erregung kann d'Differenzialgläichung vun der Bewegung vun engem gedämpfte System mat engem eenzege Fräiheetsgrad geschriwwe ginn:

D'Äntwert ass d'Zomm vun zwéin Deeler. En Deel ass d'Äntwert vun der gedämpfter Schwéngung, déi séier mat der Zäit ofhëlt. D'Äntwert vun engem aneren Deel vun der gezwongener Schwéngung kann esou geschriwwe ginn:

FIG. 3 gedämpft Schwéngungskurve

FIG. 4 Kurven vun dräi Ufanksbedéngungen mat kritescher Dämpfung

Gitt an den

H /F0= h(), ass d'Verhältnes vun der Amplitude vun der stationärer Äntwert zur Anregungsamplitude, charakteriséiert d'Amplitude-Frequenz-Charakteristiken oder d'Verstärkungsfunktioun; Bits fir d'stationär Äntwert an d'Ureizung vun der Phas, Charakteriséierung vun de Phasenfrequenzcharakteristiken. D'Relatioun tëscht hinnen an der Anregungsfrequenz gëtt an der FIG. 5 an der FIG. 6 gewisen.

Wéi een op der Amplitude-Frequenz-Kurv (FIG. 5) ka gesinn, huet d'Amplitude-Frequenz-Kurv bei enger klenger Dämpfung een eenzege Peak. Wat méi kleng d'Dämpfung ass, wat méi steil de Peak ass; D'Frequenz, déi dem Peak entsprécht, gëtt Resonanzfrequenz vum System genannt. Bei enger klenger Dämpfung ënnerscheet sech d'Resonanzfrequenz net vill vun der Eegefrequenz. Wann d'Anregungsfrequenz no bei der Eegefrequenz ass, klëmmt d'Amplitude staark. Dëst Phänomen gëtt Resonanz genannt. Bei der Resonanz ass de Gewënn vum System maximéiert, dat heescht, d'gezwongen Schwéngung ass am intensivsten. Dofir sollt een am Allgemengen ëmmer probéieren, Resonanz ze vermeiden, ausser et ginn Instrumenter an Ausrüstung, déi Resonanz benotzen, fir grouss Schwéngungen z'erreechen.

FIG. 5 Amplitudenfrequenzkurve

Et kann een aus der Phasenfrequenzkurve (Figur 6) gesinn, onofhängeg vun der Gréisst vun der Dämpfung, an Omega-Null-Phasendifferenz-Bits = PI / 2, dës Charakteristik kann effektiv fir d'Miessung vun der Resonanz benotzt ginn.

Nieft der stänneger Erregung begéine Systemer heiansdo och onbestänneg Erregung. Dës kann ongeféier an zwou Zorten opgedeelt ginn: eng ass den plëtzlechen Impakt. Déi zweet ass den dauerhaften Effekt vun der Willkür. Ënner onbestänneger Erregung ass d'Reaktioun vum System och onbestänneg.

E mächtegt Instrument fir onbestänneg Schwéngungen ze analyséieren ass d'Impulsantwortmethod. Si beschreift déi dynamesch Charakteristike vum System mat der transienter Äntwert vum Eenheetsimpulsinput vum System. Den Eenheetsimpuls kann als Deltafunktioun ausgedréckt ginn. An der Ingenieurswëssenschaft gëtt d'Deltafunktioun dacks definéiert als:

Wou 0- de Punkt op der t-Achs representéiert, deen vun lénks op Null geet; 0 plus de Punkt ass, deen vu riets op 0 geet.

FIG. 6 Phasenfrequenzkurve

FIG. 7 all Input kann als d'Zomm vun enger Serie vun Impulselementer ugesi ginn

De System entsprécht der Äntwert h(t), déi vum Eenheetsimpuls bei t=0 generéiert gëtt, déi als Impulsantwortfunktioun bezeechent gëtt. Ënner der Viraussetzung, datt de System virum Impuls stationär ass, ass h(t)=0 fir t<0. Wann een d'Impulsantwortfunktioun vum System kennt, kënne mir d'Äntwert vum System op all Input x(t) fannen. Op dësem Punkt kann een x(t) als d'Zomm vun enger Serie vun Impulselementer betruechten (FIG. 7). D'Äntwert vum System ass:

Baséierend op dem Superpositiounsprinzip ass déi total Äntwert vum System, déi x(t) entsprécht:

Dës Integral gëtt e Konvolutiounsintegral oder e Superpositiounsintegral genannt.

Linear Schwéngung vun engem System mat méi Fräiheetsgraden

Vibratioun vun engem lineare System mat n≥2 Fräiheetsgraden.

Figur 8 weist zwee einfach resonant Ënnersystemer, déi duerch eng Kopplungsfieder verbonne sinn. Well et e System mat zwee Fräiheetsgraden ass, sinn zwou onofhängeg Koordinaten néideg fir seng Positioun ze bestëmmen. Et ginn zwou Eegefrequenzen an dësem System:

All Frequenz entsprécht engem Schwéngungsmodus. Déi harmonesch Oszillatoren féieren harmonesch Schwéngunge vun der selwechter Frequenz duerch, andeems se synchron duerch d'Gläichgewiichtspositioun goen an synchron d'Extrempositioun erreechen. An der Haaptschwéngung, déi dem Omega eent entsprécht, ass x1 gläich x2; an der Haaptschwéngung, déi dem Omega zwee entsprécht, ass den Omega eent gläich. An der Haaptschwéngung hält d'Verrécklungsverhältnis vun all Mass eng gewësse Relatioun a bildt e gewësse Modus, deen den Haaptmodus oder den natierleche Modus genannt gëtt. D'Orthogonalitéit vu Mass a Steifheet existéiert tëscht den Haaptmodi, wat d'Onofhängegkeet vun all Schwéngung reflektéiert. Déi natierlech Frequenz an den Haaptmodus representéieren déi inherent Schwéngungscharakteristike vum Multigrade-vun-Fräiheetssystem.

FIG. 8 System mat verschiddene Fräiheetsgraden

E System mat n Fräiheetsgraden huet n natierlech Frequenzen an n Haaptmodi. All Schwéngungskonfiguratioun vum System kann als linear Kombinatioun vun den Haaptmodi duergestallt ginn. Dofir gëtt d'Haaptmodus-Superpositiounsmethod wäit verbreet an der dynamescher Äntwertanalyse vu Multi-DOF-Systemer benotzt. Op dës Manéier gëtt d'Miessung an d'Analyse vun den natierleche Schwéngungscharakteristike vum System zu engem Routineschratt am dynameschen Design vum System.

Déi dynamesch Charakteristike vu Multi-DOF-Systemer kënnen och duerch Frequenzcharakteristike beschriwwe ginn. Well et eng Frequenzcharakteristikfunktioun tëscht all Input an Output gëtt, gëtt eng Frequenzcharakteristikmatrix konstruéiert. D'Amplitude-Frequenzcharakteristikkurve vum Multi-Freedom-System ass anescht wéi déi vum Single-Freedom-System.

Den Elastomer vibréiert

Dat uewe genannt System mat méi Fräiheetsgraden ass en ongeféieren mechanesche Modell vun engem Elastomer. En Elastomer huet eng onendlech Zuel vu Fräiheetsgraden. Et gëtt en quantitativen Ënnerscheed, awer keen wesentlechen Ënnerscheed tëscht deenen zwee. All Elastomer huet eng onendlech Zuel vun Eegenfrequenzen an eng onendlech Zuel vun entspriechende Modi, an et gëtt Orthogonalitéit tëscht de Modi vu Mass a Steifheet. All Schwéngungskonfiguratioun vum Elastomer kann och als linear Superpositioun vun den Haaptmodi duergestallt ginn. Dofir ass fir d'dynamesch Äntwertanalyse vum Elastomer d'Superpositiounsmethod vum Haaptmodus ëmmer nach uwendbar (kuckt linear Schwéngung vum Elastomer).

Betruecht d'Vibratioun vun enger Sait. Loosst eis soen, datt eng dënn Sait mat enger Mass m pro Längteenheet, laang l, un béide Enden gespannt ass, an d'Spannung T ass. Zu dësem Zäitpunkt gëtt d'Eegefrequenz vun der Sait duerch déi folgend Equatioun bestëmmt:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Wou d'Ausbreedungsgeschwindegkeet vun der transversaler Well laanscht d'Richtung vun der Sait ass. D'Eegefrequenzen vun de Saiten sinn zoufälleg Multiple vun der Grondfrequenz iwwer 2l. Dës ganzzueleg Multiplikitéit féiert zu enger angenehmer harmonescher Struktur. Am Allgemengen gëtt et keng sou eng ganzzueleg Multiple-Relatioun tëscht den Eegefrequenzen vum Elastomer.

Déi éischt dräi Modi vun der gespannter Schnouer sinn an der FIG. 9 gewisen. Et ginn e puer Knuetpunkten op der Haaptmoduskurve. An der Haaptvibratioun vibréieren d'Knuetpunkten net. FIG. 10 weist e puer typesch Modi vun der ëmlafend ënnerstëtzter kreesfërmeger Plack mat e puer Knuetpunktlinnen, déi aus Kreesser an Duerchmiesser zesummegesat sinn.

Déi genee Formuléierung vum Elastomervibratiounsproblem kann als Randwäertproblem vun de partiellen Differentialgläichungen ofgeschloss ginn. Déi genee Léisung kann awer nëmmen an e puer vun den einfachste Fäll fonnt ginn, dofir musse mir op déi ongeféier Léisung fir de komplexe Elastomervibratiounsproblem zréckgräifen. D'Essenz vu verschiddenen ongeféiere Léisunge besteet doran, dat Onendlecht an dat Finite ëmzewandelen, dat heescht, dat gliedlos Méigradsfräiheetssystem (kontinuéierlecht System) an e finite Méigradsfräiheetssystem (diskret System) ze diskretiséieren. Et ginn zwou Zorte vun Diskretiséierungsmethoden, déi an der Ingenieursanalyse wäit verbreet sinn: d'Finite-Element-Method an d'Modal-Synthesemethod.

FIG. 9 Modus vun enger String

FIG. 10 Modus vun enger kreesfërmeger Plack

D'Finite-Element-Method ass eng zesummegesate Struktur, déi eng komplex Struktur an eng endlech Zuel vun Elementer abstrahéiert a se un enger endlecher Zuel vu Knuet verbënnt. All Eenheet ass en Elastomer; D'Verdeelungsverrécklung vum Element gëtt duerch d'Interpolatiounsfunktioun vun der Knuetverrécklung ausgedréckt. Dann ginn d'Verdeelungsparameter vun all Element op all Knuet an engem bestëmmte Format konzentréiert, an dat mechanescht Modell vum diskrete System gëtt kritt.

Modal Synthese ass d'Zersetzung vun enger komplexer Struktur a verschidde méi einfach Ënnerstrukturen. Op Basis vum Verständnis vun de Schwingungseigenschaften vun all Ënnerstruktur gëtt d'Ënnerstruktur no de Koordinatiounsbedingungen op der Grenzfläche zu enger allgemenger Struktur synthetiséiert, an d'Schwingungsmorphologie vun der allgemenger Struktur gëtt mat Hëllef vun der Schwingungsmorphologie vun all Ënnerstruktur kritt.

Déi zwou Methode sinn ënnerschiddlech a verwandt, a kënnen als Referenz benotzt ginn. D'Modalsynthesemethod kann och effektiv mat der experimenteller Miessung kombinéiert ginn, fir eng theoretesch an experimentell Analysemethod fir d'Vibratioun vu grousse Systemer ze bilden.