Сызықтық тербеліс дегеніміз не?

Сызықтық тербеліс: жүйедегі компоненттердің серпімділігі Гук заңына бағынады, ал қозғалыс кезінде пайда болатын демпферлік күш жалпыланған жылдамдықтың бірінші теңдеуіне (жалпыланған координаттардың уақыт бойынша туындысы) пропорционал.

тұжырымдама

Сызықтық жүйе әдетте нақты жүйенің тербелісінің абстрактілі моделі болып табылады. Сызықтық тербеліс жүйесі суперпозиция принципін қолданады, яғни егер жүйенің жауабы x1 кірісінің әсерінен y1, ал x2 кірісінің әсерінен y2 болса, онда x1 және x2 кірістерінің әсерінен жүйенің жауабы y1+y2 болады.

Суперпозиция принципі негізінде кез келген кірісті шексіз аз импульстар сериясының қосындысына жіктеуге болады, содан кейін жүйенің жалпы реакциясын алуға болады. Периодты қоздырудың гармоникалық компоненттерінің қосындысын Фурье түрлендіруі арқылы гармоникалық компоненттер сериясына кеңейтуге болады және әрбір гармоникалық компоненттің жүйеге әсерін бөлек зерттеуге болады. Сондықтан, тұрақты параметрлері бар сызықтық жүйелердің реакция сипаттамаларын импульстік реакция немесе жиілік реакциясы арқылы сипаттауға болады.

Импульстік жауап дегеніміз жүйенің уақыт аймағындағы жауап сипаттамаларын сипаттайтын бірлік импульске жүйенің жауабын білдіреді. Жиілік жауабы дегеніміз жүйенің бірлік гармоникалық кірісіне жауап сипаттамасын білдіреді. Екеуінің сәйкестігі Фурье түрлендіруімен анықталады.

жіктеу

Сызықтық тербелісті бір еркіндік дәрежесі бар жүйенің сызықтық тербелісі және көп еркіндік дәрежесі бар жүйенің сызықтық тербелісі деп бөлуге болады.

(1) бір еркіндік дәрежесі бар жүйенің сызықтық тербелісі - бұл орналасуын жалпыланған координата арқылы анықтауға болатын сызықтық тербеліс. Бұл тербелістің көптеген негізгі ұғымдары мен сипаттамаларын алуға болатын ең қарапайым тербеліс. Оған қарапайым гармоникалық тербеліс, еркін тербеліс, әлсіреу тербелісі және мәжбүрлі тербеліс кіреді.

Қарапайым гармоникалық тербеліс: синусоидальды заңға сәйкес, тепе-теңдік күйіне жақын жердегі объектінің ығысуына пропорционалды қалпына келтіру күшінің әсерінен өзара қозғалысы.

Өшірілген діріл: үйкеліс пен диэлектрлік кедергінің немесе басқа энергия шығынының болуымен амплитудасы үздіксіз әлсірейтін діріл.

Мәжбүрлі діріл: тұрақты қозу кезіндегі жүйенің дірілдеу.

(2) көп еркіндік дәрежесі бар жүйенің сызықтық тербелісі - n≥2 еркіндік дәрежесі бар сызықтық жүйенің тербелісі. n еркіндік дәрежесі бар жүйенің n табиғи жиілігі және n негізгі режимі бар. Жүйенің кез келген тербеліс конфигурациясын негізгі режимдердің сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады. Сондықтан негізгі режимнің суперпозиция әдісі көп дофтық жүйелердің динамикалық жауап талдауында кеңінен қолданылады. Осылайша, жүйенің табиғи тербеліс сипаттамаларын өлшеу және талдау жүйені динамикалық жобалаудағы әдеттегі қадамға айналады. Көп дофтық жүйелердің динамикалық сипаттамаларын жиілік сипаттамаларымен де сипаттауға болады. Әрбір кіріс пен шығыс арасында жиілік сипаттама функциясы болғандықтан, жиілік сипаттамаларының матрицасы құрылады. Жиілік сипаттамасы мен негізгі режим арасында белгілі бір байланыс бар. Көп еркіндік жүйесінің амплитуда-жиілік сипаттамаларының қисығы бір еркіндік жүйесінің қисығынан өзгеше.

Бір еркіндік дәрежесі жүйесінің сызықтық тербелісі

Жүйенің орнын жалпыланған координата арқылы анықтауға болатын сызықтық тербеліс. Бұл тербелістің көптеген негізгі ұғымдары мен сипаттамаларын алуға болатын ең қарапайым және ең негізгі тербеліс. Оған қарапайым гармоникалық тербеліс, өшірілген тербеліс және мәжбүрлі тербеліс кіреді.

Гармоникалық тербеліс

Орын ауыстыруға пропорционалды қалпына келтіру күшінің әсерінен зат тепе-теңдік күйіне жақын синусоидалы түрде өзара әрекеттеседі (1-сурет). X ығысуды, ал t уақытты білдіреді. Бұл тербелістің математикалық өрнегі:

(1)Мұндағы A - ығысудың максималды мәні x, ол амплитуда деп аталады және тербелістің қарқындылығын білдіреді; Омега n - тербелістің секундына бұрыштық өсімінің амплитудасы, ол бұрыштық жиілік немесе дөңгелек жиілік деп аталады; Бұл бастапқы фаза деп аталады. f= n/2 тұрғысынан секундына тербелістер саны жиілік деп аталады; Мұның кері мәні, T=1/f, бір циклді тербеліске кететін уақыт, және ол период деп аталады. A амплитудасы, f жиілігі (немесе бұрыштық жиілік n), бастапқы фаза, қарапайым гармоникалық тербеліс деп аталады, үш элемент.

1-сурет. Қарапайым гармоникалық тербеліс қисығы

2-суретте көрсетілгендей, сызықтық серіппемен қосылған шоғырланған масса m арқылы қарапайым гармоникалық осциллятор түзіледі. Тербеліс ығысуы тепе-теңдік күйінен есептелгенде, тербеліс теңдеуі келесідей болады:

мұндағы - серіппенің қаттылығы. Жоғарыдағы теңдеудің жалпы шешімі (1). A және оны бастапқы x0 орны және t=0 кезіндегі бастапқы жылдамдық арқылы анықтауға болады:

Бірақ омега n қосымша бастапқы шарттарға тәуелсіз, тек жүйенің өзінің m және k сипаттамаларымен анықталады, сондықтан омега n табиғи жиілік ретінде де белгілі.

2-СУРЕТ. Бірыңғай еркіндік дәрежесі жүйесі

Қарапайым гармоникалық осциллятор үшін оның кинетикалық энергиясы мен потенциалдық энергиясының қосындысы тұрақты, яғни жүйенің жалпы механикалық энергиясы сақталады. Тербеліс процесінде кинетикалық энергия мен потенциалдық энергия үнемі бір-біріне айналады.

Демфляциялық дірілді

Амплитудасы үйкеліс және диэлектрлік кедергі немесе басқа энергия тұтынуымен үздіксіз әлсірейтін діріл. Микродіріл үшін жылдамдық әдетте өте үлкен емес, ал орта кедергісі жылдамдыққа бірінші дәрежеге пропорционалды, оны c - демпферлеу коэффициенті деп жазуға болады. Сондықтан сызықтық демпферлеу кезінде бір еркіндік дәрежесінің діріл теңдеуін келесідей жазуға болады:

(2)Мұндағы, m =c/2m демпферлік параметр деп аталады, және. (2) формуланың жалпы шешімін былай жазуға болады:

(3)Омега n мен PI арасындағы сандық байланысты келесі үш жағдайға бөлуге болады:

N > (кішкентай демпферлеу жағдайында) бөлшек тудырған әлсіреу тербелісі, тербеліс теңдеуі:

Оның амплитудасы 3-суретте нүктелі сызықта көрсетілгендей, теңдеуде көрсетілген экспоненциалды заңға сәйкес уақыт өте келе азаяды. Нақты айтқанда, бұл тербеліс апериодты, бірақ оның шыңының жиілігін келесідей анықтауға болады:

Амплитудалық тозу жылдамдығы деп аталады, мұндағы тербеліс периоды. Амплитудалық тозу жылдамдығының натурал логарифмі логарифм минус (амплитудалық) жылдамдығы деп аталады. Әрине, =, бұл жағдайда, 2/1-ге тең. Тәжірибелік сынақ дельтасы арқылы тікелей және жоғарыдағы формуланы пайдаланып, c есептеуге болады.

Бұл кезде (2) теңдеудің шешімін былай жазуға болады:

Бастапқы жылдамдықтың бағытымен қатар, оны 4-суретте көрсетілгендей үш дірілсіз жағдайға бөлуге болады.

N < (үлкен демпферлеу жағдайында), (2) теңдеудің шешімі (3) теңдеуінде көрсетілген. Бұл кезде жүйе енді дірілдемейді.

Мәжбүрлі діріл

Тұрақты қозу кезіндегі жүйенің тербелісі. Тербелісті талдау негізінен жүйенің қозуға реакциясын зерттейді. Периодты қозу - типтік тұрақты қозу. Периодты қозуды әрқашан бірнеше гармоникалық қозудың қосындысына жіктеуге болатындықтан, суперпозиция принципіне сәйкес, әрбір гармоникалық қозуға тек жүйенің реакциясы қажет. Гармоникалық қозудың әсерінен бір еркіндік дәрежесі сөндірілген жүйенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін былай жазуға болады:

Реакция екі бөліктің қосындысынан тұрады. Бір бөлігі уақыт өте келе тез әлсірейтін сөндірілген тербелістің реакциясы. Мәжбүрлі тербелістің басқа бөлігінің реакциясын былай жазуға болады:

3-СУРЕТ. Өшірілген діріл қисығы

4-СУРЕТ. Критикалық демпфері бар үш бастапқы шарттың қисықтары

Теріңіз

H /F0= h (), амплитуда-жиілік сипаттамаларын немесе күшейту функциясын сипаттайтын тұрақты жауап амплитудасының қоздыру амплитудасына қатынасы; Тұрақты күйдегі жауап және фазаның ынталандыру биттері, фазалық жиілік сипаттамаларының сипаттамасы. Олардың қоздыру жиілігімен байланысы 5 және 6-суреттерде көрсетілген.

Амплитуда-жиілік қисығынан (5-сурет) көрініп тұрғандай, аз демпферлеу жағдайында амплитуда-жиілік қисығының бір шыңы болады. Демпферлеу неғұрлым аз болса, шың соғұрлым тік болады; Шыңға сәйкес келетін жиілік жүйенің резонанстық жиілігі деп аталады. Аз демпферлеу жағдайында резонанстық жиілік табиғи жиіліктен айтарлықтай ерекшеленбейді. Қоздыру жиілігі табиғи жиілікке жақын болған кезде амплитуда күрт артады. Бұл құбылыс резонанс деп аталады. Резонанс кезінде жүйенің күшейтуі максималды болады, яғни мәжбүрлі діріл ең қарқынды болады. Сондықтан, жалпы алғанда, кейбір құралдар мен жабдықтар үлкен дірілге жету үшін резонансты пайдаланбаса, әрқашан резонанстан аулақ болуға тырысыңыз.

5-сурет. Амплитудалық жиілік қисығы

Фазалық жиілік қисығынан (6-сурет) көруге болады, демпфердің өлшеміне қарамастан, омега нөлдік фазалық айырмашылық биттері = PI / 2 болғанда, бұл сипаттаманы резонансты өлшеуде тиімді пайдалануға болады.

Тұрақты қозудан басқа, жүйелер кейде тұрақсыз қозуға тап болады. Оны шамамен екі түрге бөлуге болады: біріншісі - кенеттен әсер ету. Екіншісі - кездейсоқтықтың ұзаққа созылатын әсері. Тұрақсыз қозу кезінде жүйенің жауабы да тұрақсыз болады.

Тұрақсыз тербелісті талдаудың қуатты құралы - импульстік жауап әдісі. Ол жүйенің динамикалық сипаттамаларын жүйенің бірлік импульс кірісінің өтпелі реакциясымен сипаттайды. Бірлік импульсті дельта функциясы ретінде көрсетуге болады. Инженерияда дельта функциясы көбінесе келесідей анықталады:

Мұндағы 0- солдан нөлге жақындайтын t осінің нүктесін білдіреді; 0 плюс оңнан 0-ге баратын нүкте.

6-сурет. Фазалық жиілік қисығы

7-СУРЕТ. Кез келген кіріс импульстік элементтер қатарының қосындысы ретінде қарастырылуы мүмкін.

Жүйе t=0 кезінде бірлік импульс тудыратын h(t) реакциясына сәйкес келеді, ол импульстік жауап функциясы деп аталады. Жүйе импульс алдында стационар деп есептесек, t<0 үшін h(t)=0. Жүйенің импульстік жауап функциясын біле отырып, жүйенің кез келген кіріс x(t)-ге реакциясын таба аламыз. Осы кезде x(t)-ны импульс элементтерінің қатарының қосындысы ретінде қарастыруға болады (7-сурет). Жүйенің реакциясы:

Суперпозиция принципіне сүйене отырып, x(t)-ге сәйкес келетін жүйенің толық реакциясы:

Бұл интеграл орамдық интеграл немесе суперпозиция интеграл деп аталады.

Көп еркіндік дәрежесі бар жүйенің сызықтық тербелісі

n≥2 еркіндік дәрежесі бар сызықтық жүйенің тербелісі.

8-суретте муфта серіппесімен қосылған екі қарапайым резонанстық ішкі жүйе көрсетілген. Бұл екі еркіндік дәрежесі бар жүйе болғандықтан, оның орнын анықтау үшін екі тәуелсіз координата қажет. Бұл жүйеде екі табиғи жиілік бар:

Әрбір жиілік тербеліс режиміне сәйкес келеді. Гармоникалық осцилляторлар бірдей жиіліктегі гармоникалық тербелістерді жүзеге асырады, тепе-теңдік күйінен синхронды түрде өтіп, экстремалды күйге синхронды түрде жетеді. Омега бірге сәйкес келетін негізгі тербелісте x1 x2-ге тең; Омега екіге сәйкес келетін негізгі тербелісте омега бір. Негізгі тербелісте әрбір массаның ығысу коэффициенті белгілі бір қатынасты сақтайды және негізгі режим немесе табиғи режим деп аталатын белгілі бір режимді құрайды. Масса мен қаттылықтың ортогоналдылығы негізгі режимдер арасында бар, бұл әрбір тербелістің тәуелсіздігін көрсетеді. Табиғи жиілік пен негізгі режим көп дәрежелі еркіндік жүйесінің ішкі тербеліс сипаттамаларын білдіреді.

8-СУРЕТ. Бірнеше еркіндік дәрежесі бар жүйе

n еркіндік дәрежесі бар жүйенің n табиғи жиілігі және n негізгі режимі бар. Жүйенің кез келген тербеліс конфигурациясын негізгі режимдердің сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады. Сондықтан негізгі режимді суперпозициялау әдісі көп дофтық жүйелердің динамикалық жауап талдауында кеңінен қолданылады. Осылайша, жүйенің табиғи тербеліс сипаттамаларын өлшеу және талдау жүйені динамикалық жобалаудағы әдеттегі қадамға айналады.

Көп дофтық жүйелердің динамикалық сипаттамаларын жиілік сипаттамаларымен де сипаттауға болады. Әрбір кіріс пен шығыс арасында жиілік сипаттамаларының функциясы болғандықтан, жиілік сипаттамаларының матрицасы құрастырылады. Көп еркіндік жүйесінің амплитуда-жиілік сипаттамаларының қисығы бір еркіндік жүйесінің қисығынан өзгеше.

Эластомер дірілдейді

Жоғарыда келтірілген көп еркіндік дәрежесі жүйесі эластомердің шамамен механикалық моделі болып табылады. Эластомердің шексіз еркіндік дәрежесі бар. Екеуінің арасында сандық айырмашылық бар, бірақ маңызды айырмашылық жоқ. Кез келген эластомердің шексіз табиғи жиіліктері және шексіз сәйкес режимдері бар, және масса мен қаттылық режимдері арасында ортогоналдылық бар. Эластомердің кез келген тербелмелі конфигурациясын негізгі режимдердің сызықтық суперпозициясы ретінде де көрсетуге болады. Сондықтан, эластомердің динамикалық жауап талдауы үшін негізгі режимнің суперпозициясы әдісі әлі де қолданылады (эластомердің сызықтық тербелісін қараңыз).

Жіптің тербелісін қарастырайық. Айталық, ұзындығы бірлігіне m массасы бар, ұзындығы l болатын жұқа жіп екі ұшынан да тартылған және керілу T-ге тең. Осы кезде жіптің табиғи жиілігі келесі теңдеумен анықталады:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

мұндағы , - ішектің бағыты бойынша көлденең толқынның таралу жылдамдығы. Ішектердің табиғи жиіліктері 2л-дегі негізгі жиіліктің еселіктері болып табылады. Бұл бүтін санды көптік жағымды гармоникалық құрылымға әкеледі. Жалпы, эластомердің табиғи жиіліктері арасында мұндай бүтін санды көптік байланыс жоқ.

Созылған ішектің алғашқы үш режимі 9-суретте көрсетілген. Негізгі режим қисығында бірнеше түйіндер бар. Негізгі дірілде түйіндер дірілдемейді. 10-суретте шеңберлер мен диаметрлерден тұратын кейбір түйінді сызықтары бар шеңбер бойымен тірелген дөңгелек пластинаның бірнеше типтік режимдері көрсетілген.

Эластомер тербеліс есебінің дәл тұжырымдамасын дербес дифференциалдық теңдеулердің шекаралық мәні есебі ретінде қорытындылауға болады. Дегенмен, дәл шешімді тек кейбір қарапайым жағдайларда ғана табуға болады, сондықтан күрделі эластомер тербеліс есебі үшін жуықтап шешуге жүгінуіміз керек. Әртүрлі жуықтап шешудің мәні шексіздікті шектіге өзгертуде, яғни мүшесіз көп дәрежелі еркіндік жүйесін (үздіксіз жүйені) шекті көп дәрежелі еркіндік жүйесіне (дискретті жүйе) дискреттеуде. Инженерлік талдауда кеңінен қолданылатын дискреттеу әдістерінің екі түрі бар: шекті элемент әдісі және модальды синтез әдісі.

9-СУРЕТ. Жолдың режимі

10-СУРЕТ. Дөңгелек пластинаның режимі

Ақырлы элемент әдісі - күрделі құрылымды элементтердің шекті санына абстракциялайтын және оларды түйіндердің шекті санымен байланыстыратын құрама құрылым. Әрбір бірлік эластомер болып табылады; Элементтің таралу ығысуы түйін ығысуының интерполяциялық функциясымен өрнектеледі. Содан кейін әрбір элементтің таралу параметрлері белгілі бір форматта әрбір түйінге шоғырландырылады және дискретті жүйенің механикалық моделі алынады.

Модальды синтез - күрделі құрылымды бірнеше қарапайым ішкі құрылымдарға жіктеу. Әрбір ішкі құрылымның діріл сипаттамаларын түсіну негізінде ішкі құрылым шекарадағы үйлестіру шарттарына сәйкес жалпы құрылымға синтезделеді, ал жалпы құрылымның діріл морфологиясы әрбір ішкі құрылымның діріл морфологиясын пайдалану арқылы алынады.

Екі әдіс әртүрлі және бір-бірімен байланысты, сондықтан оларды анықтамалық ретінде пайдалануға болады. Модальды синтез әдісін үлкен жүйелердің дірілін теориялық және эксперименттік талдау әдісін қалыптастыру үшін эксперименттік өлшеумен тиімді түрде біріктіруге болады.