¿Qué es la vibración lineal?

Vibración lineal: la elasticidad de los componentes del sistema está sujeta a la ley de Hooke, y la fuerza de amortiguación generada durante el movimiento es proporcional a la primera ecuación de la velocidad generalizada (derivada temporal de las coordenadas generalizadas).

concepto

Un sistema lineal suele ser un modelo abstracto de la vibración de un sistema real. El sistema de vibración lineal aplica el principio de superposición, es decir, si la respuesta del sistema es y1 bajo la acción de la entrada x1, y y2 bajo la acción de la entrada x2, entonces la respuesta del sistema bajo la acción de las entradas x1 y x2 es y1+y2.

Basándose en el principio de superposición, una entrada arbitraria puede descomponerse en la suma de una serie de impulsos infinitesimales, obteniéndose así la respuesta total del sistema. La suma de los componentes armónicos de una excitación periódica puede expandirse en una serie de componentes armónicos mediante la transformada de Fourier, y el efecto de cada componente armónico sobre el sistema puede investigarse por separado. Por lo tanto, las características de respuesta de los sistemas lineales con parámetros constantes pueden describirse mediante la respuesta impulsional o la respuesta en frecuencia.

La respuesta impulsional se refiere a la respuesta del sistema a un impulso unitario, que caracteriza las características de respuesta del sistema en el dominio del tiempo. La respuesta en frecuencia se refiere a la característica de respuesta del sistema a una entrada armónica unitaria. La correspondencia entre ambas se determina mediante la transformada de Fourier.

clasificación

La vibración lineal se puede dividir en vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad y vibración lineal de un sistema de múltiples grados de libertad.

(1) La vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad es una vibración lineal cuya posición puede determinarse mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple de la que se pueden derivar muchos conceptos y características básicas de la vibración. Incluye la vibración armónica simple, la vibración libre, la vibración atenuada y la vibración forzada.

Vibración armónica simple: el movimiento alternativo de un objeto en las proximidades de su posición de equilibrio según una ley sinusoidal bajo la acción de una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento.

Vibración amortiguada: vibración cuya amplitud se atenúa continuamente por la presencia de fricción y resistencia dieléctrica u otro consumo de energía.

Vibración forzada: vibración de un sistema bajo excitación constante.

(2) La vibración lineal del sistema de múltiples grados de libertad es la vibración del sistema lineal con n≥2 grados de libertad. Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y n modos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema puede representarse como una combinación lineal de los modos principales. Por lo tanto, el método de superposición de modos principales se utiliza ampliamente en el análisis de respuesta dinámica de sistemas de múltiples grados de libertad. De esta manera, la medición y el análisis de las características de vibración natural del sistema se convierten en un paso rutinario en el diseño dinámico del sistema. Las características dinámicas de los sistemas de múltiples grados de libertad también pueden describirse mediante características de frecuencia. Dado que hay una función característica de frecuencia entre cada entrada y salida, se construye una matriz característica de frecuencia. Hay una relación definida entre la característica de frecuencia y el modo principal. La curva característica amplitud-frecuencia del sistema de múltiples grados de libertad es diferente de la del sistema de un solo grado de libertad.

Vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad

Una vibración lineal en la que la posición de un sistema puede determinarse mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple y fundamental, a partir de la cual se pueden derivar muchos conceptos y características básicas de la vibración. Incluye la vibración armónica simple, la vibración amortiguada y la vibración forzada.

Vibración armónica

Bajo la acción de una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, el objeto oscila de forma sinusoidal cerca de su posición de equilibrio (FIG. 1). X representa el desplazamiento y t representa el tiempo. La expresión matemática de esta vibración es:

(1)Donde A es el valor máximo del desplazamiento x, que se llama amplitud, y representa la intensidad de la vibración; Omega n es el incremento angular de la vibración por segundo, que se llama frecuencia angular o frecuencia circular; Esto se llama fase inicial. En términos de f = n/2, el número de oscilaciones por segundo se llama frecuencia; El inverso de esto, T = 1/f, es el tiempo que tarda en oscilar un ciclo, y eso se llama período. Amplitud A, frecuencia f (o frecuencia angular n), la fase inicial, conocida como vibración armónica simple, tres elementos.

FIG. 1 Curva de vibración armónica simple

Como se muestra en la figura 2, un oscilador armónico simple está formado por la masa concentrada m conectada por un resorte lineal. Cuando se calcula el desplazamiento de vibración a partir de la posición de equilibrio, la ecuación de vibración es:

¿Dónde está la rigidez del resorte? La solución general a la ecuación anterior es (1). A y se pueden determinar a partir de la posición inicial x0 y la velocidad inicial en t=0:

Pero omega n solo está determinado por las características del propio sistema m y k, independientemente de las condiciones iniciales adicionales, por lo que omega n también se conoce como frecuencia natural.

FIG. 2 Sistema de un solo grado de libertad

Para un oscilador armónico simple, la suma de su energía cinética y energía potencial es constante, es decir, la energía mecánica total del sistema se conserva. En el proceso de vibración, la energía cinética y la energía potencial se transforman constantemente una en la otra.

La vibración de amortiguación

Una vibración cuya amplitud se atenúa continuamente por la fricción y la resistencia dieléctrica u otro consumo de energía. Para microvibraciones, la velocidad generalmente no es muy grande, y la resistencia del medio es proporcional a la velocidad elevada a la primera potencia, que se puede escribir como c es el coeficiente de amortiguación. Por lo tanto, la ecuación de vibración de un grado de libertad con amortiguación lineal se puede escribir como:

(2)Donde m = c/2m se denomina parámetro de amortiguación, y. La solución general de la fórmula (2) se puede escribir:

(3)La relación numérica entre omega n y PI se puede dividir en los siguientes tres casos:

N > (en el caso de amortiguación pequeña) vibración de atenuación producida por la partícula, la ecuación de vibración es:

Su amplitud disminuye con el tiempo según la ley exponencial que se muestra en la ecuación, como se muestra en la línea punteada de la FIG. 3. Estrictamente hablando, esta vibración es aperiódica, pero la frecuencia de su pico se puede definir como:

Se denomina tasa de reducción de amplitud, donde es el período de vibración. El logaritmo natural de la tasa de reducción de amplitud se denomina logaritmo menos (amplitud) tasa. Obviamente, =, en este caso, es igual a 2/1. Directamente a través de la prueba experimental delta y, utilizando la fórmula anterior, se puede calcular c.

En este momento, la solución de la ecuación (2) se puede escribir como:

Junto con la dirección de la velocidad inicial, se puede dividir en tres casos sin vibración como se muestra en la FIG. 4.

N < (en el caso de gran amortiguamiento), la solución a la ecuación (2) se muestra en la ecuación (3). En este punto, el sistema ya no vibra.

Vibración forzada

Vibración de un sistema bajo excitación constante. El análisis de vibraciones investiga principalmente la respuesta del sistema a la excitación. La excitación periódica es una excitación regular típica. Dado que la excitación periódica siempre se puede descomponer en la suma de varias excitaciones armónicas, según el principio de superposición, solo se requiere la respuesta del sistema a cada excitación armónica. Bajo la acción de una excitación armónica, la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado de un solo grado de libertad se puede escribir como:

La respuesta es la suma de dos partes. Una parte es la respuesta de la vibración amortiguada, que decae rápidamente con el tiempo. La respuesta de la otra parte de vibración forzada se puede escribir:

FIG. 3 Curva de vibración amortiguada

FIG. 4 Curvas de tres condiciones iniciales con amortiguamiento crítico

Escriba en el

H /F0= h (), es la relación entre la amplitud de respuesta estable y la amplitud de excitación, que caracteriza las características amplitud-frecuencia o función de ganancia; Bits para la respuesta en estado estable y el incentivo de fase, caracterización de las características fase-frecuencia. La relación entre ellos y la frecuencia de excitación se muestra en las FIG. 5 y FIG. 6.

Como se puede observar en la curva amplitud-frecuencia (FIG. 5), en el caso de una baja amortiguación, la curva amplitud-frecuencia presenta un único pico. Cuanto menor sea la amortiguación, más pronunciado será el pico. La frecuencia correspondiente al pico se denomina frecuencia de resonancia del sistema. En el caso de una baja amortiguación, la frecuencia de resonancia no difiere mucho de la frecuencia natural. Cuando la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, la amplitud aumenta bruscamente. Este fenómeno se denomina resonancia. En la resonancia, la ganancia del sistema se maximiza, es decir, la vibración forzada es máxima. Por lo tanto, en general, siempre se debe procurar evitar la resonancia, a menos que algunos instrumentos y equipos la utilicen para lograr vibraciones intensas.

FIG. 5 Curva de amplitud-frecuencia

Como se puede observar en la curva de frecuencia de fase (figura 6), independientemente del tamaño de la amortiguación, en bits de diferencia de fase cero omega = PI / 2, esta característica se puede utilizar eficazmente para medir la resonancia.

Además de la excitación constante, los sistemas a veces se encuentran con una excitación inestable. Esta se puede dividir a grandes rasgos en dos tipos: uno es el impacto repentino. El segundo es el efecto duradero de la arbitrariedad. Bajo excitación inestable, la respuesta del sistema también es inestable.

Una herramienta poderosa para analizar vibraciones inestables es el método de respuesta impulsional. Describe las características dinámicas del sistema con la respuesta transitoria a la entrada de impulso unitario del sistema. El impulso unitario se puede expresar como una función delta. En ingeniería, la función delta se define a menudo como:

Donde 0- representa el punto en el eje t que se acerca a cero desde la izquierda; 0+ es el punto que se acerca a 0 desde la derecha.

FIG. 6 Curva de frecuencia de fase

FIG. 7 Cualquier entrada puede considerarse como la suma de una serie de elementos de impulso.

El sistema corresponde a la respuesta h(t) generada por el impulso unitario en t=0, que se denomina función de respuesta impulsional. Suponiendo que el sistema está estacionario antes del impulso, h(t)=0 para t<0. Conociendo la función de respuesta impulsional del sistema, podemos hallar la respuesta del sistema a cualquier entrada x(t). En este punto, se puede pensar en x(t) como la suma de una serie de elementos impulsionales (FIG. 7). La respuesta del sistema es:

Basándonos en el principio de superposición, la respuesta total del sistema correspondiente a x(t) es:

Esta integral se denomina integral de convolución o integral de superposición.

Vibración lineal de un sistema con múltiples grados de libertad

Vibración de un sistema lineal con n≥2 grados de libertad.

La figura 8 muestra dos subsistemas resonantes simples conectados por un resorte de acoplamiento. Debido a que es un sistema de dos grados de libertad, se necesitan dos coordenadas independientes para determinar su posición. Hay dos frecuencias naturales en este sistema:

Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración. Los osciladores armónicos realizan oscilaciones armónicas de la misma frecuencia, pasando sincrónicamente por la posición de equilibrio y alcanzando sincrónicamente la posición extrema. En la vibración principal correspondiente a omega uno, x1 es igual a x2; en la vibración principal correspondiente a omega omega dos, omega omega uno. En la vibración principal, la relación de desplazamiento de cada masa mantiene una cierta relación y forma un cierto modo, que se denomina modo principal o modo natural. La ortogonalidad de masa y rigidez existe entre los modos principales, lo que refleja la independencia de cada vibración. La frecuencia natural y el modo principal representan las características de vibración inherentes del sistema de múltiples grados de libertad.

FIG. 8 Sistema con múltiples grados de libertad

Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y n modos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema puede representarse como una combinación lineal de los modos principales. Por lo tanto, el método de superposición de modos principales se utiliza ampliamente en el análisis de respuesta dinámica de sistemas con múltiples grados de libertad. De esta manera, la medición y el análisis de las características de vibración natural del sistema se convierten en un paso rutinario en el diseño dinámico del mismo.

Las características dinámicas de los sistemas de múltiples grados de libertad también se pueden describir mediante características de frecuencia. Dado que existe una función característica de frecuencia entre cada entrada y salida, se construye una matriz de características de frecuencia. La curva característica amplitud-frecuencia del sistema de múltiples grados de libertad es diferente de la del sistema de un solo grado de libertad.

El elastómero vibra

El sistema de múltiples grados de libertad descrito anteriormente es un modelo mecánico aproximado de un elastómero. Un elastómero posee un número infinito de grados de libertad. Existe una diferencia cuantitativa, pero no esencial, entre ambos. Cualquier elastómero tiene un número infinito de frecuencias naturales y un número infinito de modos correspondientes, y existe ortogonalidad entre los modos de masa y rigidez. Cualquier configuración vibracional del elastómero también puede representarse como una superposición lineal de los modos principales. Por lo tanto, para el análisis de la respuesta dinámica de un elastómero, el método de superposición de modos principales sigue siendo aplicable (véase vibración lineal de un elastómero).

Consideremos la vibración de una cuerda. Digamos que una cuerda delgada de masa m por unidad de longitud, de longitud l, está tensada en ambos extremos, y la tensión es T. En este caso, la frecuencia natural de la cuerda está determinada por la siguiente ecuación:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Donde es la velocidad de propagación de la onda transversal a lo largo de la dirección de la cuerda. Las frecuencias naturales de las cuerdas resultan ser múltiplos de la frecuencia fundamental divididos por 2l. Esta multiplicidad entera conduce a una agradable estructura armónica. En general, no existe tal relación de múltiplo entero entre las frecuencias naturales del elastómero.

Los tres primeros modos de la cuerda tensada se muestran en la figura 9. Hay algunos nodos en la curva del modo principal. En la vibración principal, los nodos no vibran. La figura 10 muestra varios modos típicos de la placa circular soportada circunferencialmente con algunas líneas nodales compuestas de círculos y diámetros.

La formulación exacta del problema de vibración del elastómero se puede resumir como un problema de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la solución exacta solo se puede encontrar en algunos de los casos más simples, por lo que debemos recurrir a la solución aproximada para el complejo problema de vibración del elastómero. La esencia de las diversas soluciones aproximadas es transformar lo infinito en finito, es decir, discretizar el sistema continuo sin extremidades con múltiples grados de libertad en un sistema discreto con un número finito de grados de libertad. Existen dos tipos de métodos de discretización ampliamente utilizados en el análisis de ingeniería: el método de elementos finitos y el método de síntesis modal.

FIG. 9 modo de cuerda

FIG. 10 Modo de placa circular

El método de elementos finitos es una estructura compuesta que abstrae una estructura compleja en un número finito de elementos y los conecta en un número finito de nodos. Cada unidad es un elastómero; el desplazamiento de distribución del elemento se expresa mediante una función de interpolación del desplazamiento del nodo. Luego, los parámetros de distribución de cada elemento se concentran en cada nodo en un formato determinado, y se obtiene el modelo mecánico del sistema discreto.

La síntesis modal consiste en la descomposición de una estructura compleja en varias subestructuras más simples. Partiendo de la base de la comprensión de las características de vibración de cada subestructura, esta se sintetiza en una estructura general según las condiciones de coordinación en la interfaz, y la morfología de vibración de la estructura general se obtiene utilizando la morfología de vibración de cada subestructura.

Los dos métodos son diferentes pero están relacionados, y pueden utilizarse como referencia. El método de síntesis modal también puede combinarse eficazmente con la medición experimental para formar un método de análisis teórico y experimental para la vibración de sistemas grandes.