Hvad er lineær vibration?

Lineær vibration: Elasticiteten af ​​komponenterne i systemet er underlagt Hookes lov, og den dæmpningskraft, der genereres under bevægelsen, er proportional med den første ligning for den generaliserede hastighed (tidsafledt af de generaliserede koordinater).

begreb

Et lineært system er normalt en abstrakt model af vibrationen i et virkeligt system. Det lineære vibrationssystem anvender superpositionsprincippet, det vil sige, at hvis systemets respons er y1 under påvirkning af input x1, og y2 under påvirkning af input x2, så er systemets respons under påvirkning af input x1 og x2 y1+y2.

På basis af superpositionsprincippet kan et vilkårligt input dekomponeres til summen af ​​en række infinitesimale impulser, og derefter kan systemets samlede respons opnås. Summen af ​​de harmoniske komponenter i en periodisk excitation kan udvides til en række harmoniske komponenter ved hjælp af Fourier-transformation, og effekten af ​​hver harmonisk komponent på systemet kan undersøges separat. Derfor kan responskarakteristikaene for lineære systemer med konstante parametre beskrives ved impulsrespons eller frekvensrespons.

Impulsrespons refererer til systemets respons på enhedsimpulsen, som karakteriserer systemets responskarakteristika i tidsdomænet. Frekvensrespons refererer til systemets responskarakteristika på enhedens harmoniske input. Korrespondancen mellem de to bestemmes af Fourier-transformationen.

klassifikation

Lineær vibration kan opdeles i lineær vibration i systemer med én frihedsgrad og lineær vibration i systemer med flere frihedsgrader.

(1) Lineær vibration i et system med én frihedsgrad er en lineær vibration, hvis position kan bestemmes af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste vibration, hvorfra mange grundlæggende begreber og karakteristika for vibration kan udledes. Den omfatter simpel harmonisk vibration, fri vibration, dæmpningsvibration og tvungen vibration.

Simpel harmonisk vibration: den frem- og tilbagegående bevægelse af et objekt i nærheden af ​​dets ligevægtsposition i henhold til en sinusformet lov under påvirkning af en genoprettende kraft, der er proportional med dets forskydning.

Dæmpet vibration: vibration hvis amplitude kontinuerligt dæmpes af tilstedeværelsen af ​​friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug.

Tvungen vibration: vibration i et system under konstant excitation.

(2) Den lineære vibration i et system med flere frihedsgrader er vibrationen i det lineære system med n≥2 frihedsgrader. Et system med n frihedsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedtilstande. Enhver vibrationskonfiguration af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af hovedtilstandene. Derfor er hovedtilstandssuperpositionsmetoden i vid udstrækning anvendt i dynamisk responsanalyse af multi-dof-systemer. På denne måde bliver måling og analyse af systemets naturlige vibrationskarakteristika et rutinemæssigt trin i systemets dynamiske design. De dynamiske karakteristika for multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristika. Da der er en frekvenskarakteristikfunktion mellem hvert input og output, konstrueres en frekvenskarakteristikmatrix. Der er en klar relation mellem frekvenskarakteristikken og hovedtilstanden. Amplitude-frekvenskarakteristikkurven for multi-frihedssystemet er forskellig fra den for enkeltfrihedssystemet.

Lineær vibration i et system med én frihedsgrad

En lineær vibration, hvor et systems position kan bestemmes af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste og mest fundamentale vibration, hvorfra mange grundlæggende begreber og karakteristika for vibration kan udledes. Den omfatter simpel harmonisk vibration, dæmpet vibration og tvungen vibration.

Harmonisk vibration

Under påvirkning af en genoprettelseskraft proportional med forskydningen bevæger objektet sig sinusformet frem og tilbage nær sin ligevægtsposition (FIG. 1). X repræsenterer forskydningen, og t repræsenterer tiden. Det matematiske udtryk for denne vibration er:

(1)Hvor A er den maksimale værdi af forskydningen x, som kaldes amplituden og repræsenterer vibrationens intensitet; Omega n er amplituden (vinkelforøgelsen af ​​vibrationen pr. sekund), som kaldes vinkelfrekvensen eller cirkulærfrekvensen; Dette kaldes den indledende fase. Med hensyn til f = n/2 kaldes antallet af oscillationer pr. sekund frekvensen; Den inverse af dette, T = 1/f, er den tid, det tager at oscillere én cyklus, og det kaldes perioden. Amplitude A, frekvens f (eller vinkelfrekvens n), den indledende fase, kendt som simpel harmonisk vibration med tre elementer.

FIG. 1 simpel harmonisk vibrationskurve

Som vist i FIG. 2 dannes en simpel harmonisk oscillator af den koncentrerede masse m, der er forbundet med en lineær fjeder. Når vibrationsforskydningen beregnes ud fra ligevægtspositionen, er vibrationsligningen:

Hvor er fjederens stivhed. Den generelle løsning til ovenstående ligning er (1).A og kan bestemmes af startpositionen x0 og starthastigheden ved t=0:

Men omega n bestemmes kun af selve systemets karakteristika m og k, uafhængigt af de yderligere startbetingelser, så omega n er også kendt som den naturlige frekvens.

FIG. 2 system med én frihedsgrad

For en simpel harmonisk oscillator er summen af ​​dens kinetiske energi og potentielle energi konstant, det vil sige, at systemets samlede mekaniske energi bevares. I vibrationsprocessen omdannes kinetisk energi og potentiel energi konstant til hinanden.

Den dæmpende vibration

En vibration, hvis amplitude kontinuerligt dæmpes af friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug. For mikrovibrationer er hastigheden generelt ikke særlig stor, og mediummodstanden er proportional med hastigheden ophøjet til første potens, hvilket kan skrives som c er dæmpningskoefficienten. Derfor kan vibrationsligningen for én frihedsgrad med lineær dæmpning skrives som:

(2)Hvor m = c/2m kaldes dæmpningsparameteren, og Den generelle løsning af formel (2) kan skrives:

(3)Det numeriske forhold mellem omega n og PI kan opdeles i følgende tre tilfælde:

N > (i tilfælde af lille dæmpning) partikelproduceret dæmpningsvibration, er vibrationsligningen:

Dens amplitude aftager med tiden i henhold til den eksponentielle lov vist i ligningen, som vist med den stiplede linje i FIG. 3. Strengt taget er denne vibration aperiodisk, men frekvensen af ​​dens top kan defineres som:

Kaldes amplitude-reduktionshastigheden, hvor er vibrationsperioden. Den naturlige logaritme af amplitude-reduktionshastigheden kaldes logaritmen minus (amplitude) hastigheden. Naturligvis er = i dette tilfælde lig med 2/1. Direkte gennem den eksperimentelle testdelta og kan ved hjælp af ovenstående formel beregnes c.

På dette tidspunkt kan løsningen af ​​ligning (2) skrives:

Sammen med retningen af ​​den oprindelige hastighed kan den opdeles i tre ikke-vibrations tilfælde, som vist i FIG. 4.

N < (i tilfælde af stor dæmpning), er løsningen til ligning (2) vist i ligning (3). På dette tidspunkt vibrerer systemet ikke længere.

Tvungen vibration

Vibration i et system under konstant excitation. Vibrationsanalyse undersøger primært systemets respons på excitation. Periodisk excitation er en typisk regelmæssig excitation. Da periodisk excitation altid kan dekomponeres til summen af ​​flere harmoniske excitationer, kræves der ifølge superpositionsprincippet kun systemets respons på hver harmonisk excitation. Under påvirkning af harmonisk excitation kan differentialligningen for bevægelsen for et dæmpet system med én frihedsgrad skrives:

Responsen er summen af ​​to dele. Den ene del er responsen fra den dæmpede vibration, som aftager hurtigt med tiden. Responsen fra en anden del af den tvungne vibration kan skrives:

FIG. 3 dæmpet vibrationskurve

FIG. 4 kurver for tre startbetingelser med kritisk dæmpning

Skriv ind

H/F0= h(), er forholdet mellem den stabile responsamplitude og excitationsamplituden, karakteriserer amplitude-frekvenskarakteristika eller forstærkningsfunktionen; Bits til stabil respons og faseincitament, karakterisering af fasefrekvenskarakteristika. Forholdet mellem dem og excitationsfrekvensen er vist i FIG. 5 og FIG. 6.

Som det kan ses af amplitude-frekvenskurven (FIG. 5), har amplitude-frekvenskurven i tilfælde af lille dæmpning en enkelt top. Jo mindre dæmpningen er, desto stejlere er toppen. Frekvensen svarende til toppen kaldes systemets resonansfrekvens. I tilfælde af lille dæmpning er resonansfrekvensen ikke meget forskellig fra den naturlige frekvens. Når excitationsfrekvensen er tæt på den naturlige frekvens, stiger amplituden kraftigt. Dette fænomen kaldes resonans. Ved resonans maksimeres systemets forstærkning, det vil sige, at den tvungne vibration er den mest intense. Derfor skal man generelt altid stræbe efter at undgå resonans, medmindre nogle instrumenter og udstyr bruger resonans til at opnå store vibrationer.

FIG. 5 amplitudefrekvenskurve

Det kan ses ud fra fasefrekvenskurven (figur 6), uanset dæmpningens størrelse, i omega nul faseforskelsbits = PI / 2, at denne karakteristik effektivt kan bruges til måling af resonans.

Ud over konstant excitation oplever systemer undertiden ustabil excitation. Den kan groft opdeles i to typer: den ene er den pludselige påvirkning. Den anden er den varige effekt af vilkårlighed. Under ustabil excitation er systemets respons også ustabil.

Et effektivt værktøj til at analysere ustabile vibrationer er impulsresponsmetoden. Den beskriver systemets dynamiske egenskaber med den transiente respons fra systemets enhedsimpulsindgang. Enhedsimpulsen kan udtrykkes som en deltafunktion. Inden for ingeniørvidenskab defineres deltafunktionen ofte som:

Hvor 0- repræsenterer det punkt på t-aksen, der nærmer sig nul fra venstre; 0 plus er det punkt, der går mod 0 fra højre.

FIG. 6 fasefrekvenskurve

FIG. 7 ethvert input kan betragtes som summen af ​​en række impulselementer

Systemet svarer til responset h(t) genereret af enhedsimpulsen ved t=0, hvilket kaldes impulsresponsfunktionen. Forudsat at systemet er stationært før pulsen, er h(t)=0 for t<0. Når vi kender systemets impulsresponsfunktion, kan vi finde systemets respons på ethvert input x(t). På dette tidspunkt kan man tænke på x(t) som summen af ​​en række impulselementer (FIG. 7). Systemets respons er:

Baseret på superpositionsprincippet er det samlede respons for systemet svarende til x(t):

Dette integral kaldes et konvolutionsintegral eller et superpositionsintegral.

Lineær vibration i et system med flere frihedsgrader

Vibration af et lineært system med n≥2 frihedsgrader.

Figur 8 viser to simple resonante delsystemer forbundet med en koblingsfjeder. Da det er et system med to frihedsgrader, er der behov for to uafhængige koordinater for at bestemme dets position. Der er to naturlige frekvenser i dette system:

Hver frekvens svarer til en vibrationstilstand. De harmoniske oscillatorer udfører harmoniske oscillationer med samme frekvens, der synkront passerer gennem ligevægtspositionen og synkront når den ekstreme position. I hovedvibrationen svarende til omega en er x1 lig med x2; i hovedvibrationen svarende til omega omega to er omega omega en. I hovedvibrationen holder forskydningsforholdet for hver masse et bestemt forhold og danner en bestemt tilstand, som kaldes hovedtilstanden eller den naturlige tilstand. Ortogonaliteten mellem masse og stivhed findes blandt hovedtilstandene, hvilket afspejler uafhængigheden af ​​hver vibration. Den naturlige frekvens og hovedtilstanden repræsenterer de iboende vibrationskarakteristika for systemet med flere frihedsgrader.

FIG. 8 system med flere frihedsgrader

Et system med n frihedsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedtilstande. Enhver vibrationskonfiguration af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af hovedtilstandene. Derfor er hovedtilstandssuperpositionsmetoden i vid udstrækning anvendt i dynamisk responsanalyse af multi-dof-systemer. På denne måde bliver måling og analyse af systemets naturlige vibrationskarakteristika et rutinemæssigt trin i systemets dynamiske design.

De dynamiske egenskaber ved multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristika. Da der er en frekvenskarakteristikfunktion mellem hvert input og output, konstrueres en frekvenskarakteristikmatrix. Amplitude-frekvenskarakteristikkurven for multi-frihedssystemet er forskellig fra den for single-frihedssystemet.

Elastomeren vibrerer

Ovenstående system med flere frihedsgrader er en omtrentlig mekanisk model af en elastomer. En elastomer har et uendeligt antal frihedsgrader. Der er en kvantitativ forskel, men ingen væsentlig forskel mellem de to. Enhver elastomer har et uendeligt antal naturlige frekvenser og et uendeligt antal tilsvarende tilstande, og der er ortogonalitet mellem masse- og stivhedstilstandene. Enhver vibrationskonfiguration af elastomeren kan også repræsenteres som en lineær superposition af hovedtilstandene. Derfor er superpositionsmetoden for hovedtilstanden stadig anvendelig til dynamisk responsanalyse af elastomerer (se lineær vibration af elastomer).

Tag vibrationen af ​​en streng. Lad os sige, at en tynd streng med masse m pr. længdeenhed, lang l, er spændt i begge ender, og spændingen er T. På dette tidspunkt bestemmes strengens naturlige frekvens af følgende ligning:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Hvor er udbredelseshastigheden af ​​den tværgående bølge langs strengens retning. Strengenes naturlige frekvenser er tilfældigvis multipla af grundfrekvensen over 2l. Denne heltalsmultiplicitet fører til en behagelig harmonisk struktur. Generelt er der ingen sådan heltalsmultiplicitetsrelation mellem elastomerens naturlige frekvenser.

De første tre tilstande for den spændte streng er vist i FIG. 9. Der er nogle knudepunkter på hovedtilstandskurven. I hovedvibrationen vibrerer knuderne ikke. FIG. 10 viser flere typiske tilstande for den omkredsmæssigt understøttede cirkulære plade med nogle knudepunkter bestående af cirkler og diametre.

Den nøjagtige formulering af elastomervibrationsproblemet kan konkluderes som randværdiproblemet for partielle differentialligninger. Den nøjagtige løsning kan dog kun findes i nogle af de enkleste tilfælde, så vi er nødt til at ty til den omtrentlige løsning for det komplekse elastomervibrationsproblem. Essensen af ​​forskellige omtrentlige løsninger er at ændre det uendelige til det endelige, dvs. at diskretisere det lemløse flerfrihedsgradssystem (kontinuerligt system) til et endeligt flerfrihedsgradssystem (diskret system). Der er to slags diskretiseringsmetoder, der er meget udbredt i ingeniøranalyse: finite element-metoden og modal syntesemetoden.

FIG. 9 strengens tilstand

FIG. 10 tilstand af cirkulær plade

Finite element-metoden er en sammensat struktur, der abstraherer en kompleks struktur til et endeligt antal elementer og forbinder dem ved et endeligt antal noder. Hver enhed er en elastomer; Fordelingsforskydningen af ​​elementet udtrykkes ved interpolationsfunktionen af ​​nodeforskydningen. Derefter koncentreres fordelingsparametrene for hvert element til hver node i et bestemt format, og den mekaniske model af det diskrete system opnås.

Modal syntese er nedbrydningen af ​​en kompleks struktur i flere enklere understrukturer. Baseret på forståelsen af ​​vibrationskarakteristikaene for hver understruktur syntetiseres understrukturen til en generel struktur i henhold til koordinationsbetingelserne på grænsefladen, og vibrationsmorfologien for den generelle struktur opnås ved at bruge vibrationsmorfologien for hver understruktur.

De to metoder er forskellige og relaterede og kan bruges som reference. Modalsyntesemetoden kan også effektivt kombineres med eksperimentel måling for at danne en teoretisk og eksperimentel analysemetode til vibration i store systemer.