Lineýar titreme: ulgamdaky komponentleriň elastikligi Huk kanunyna baglydyr we hereket wagtynda döreýän öçüriji güýç umumylaşdyrylan tizligiň birinji deňlemesine (umumylaşdyrylan koordinatalaryň wagt türemesi) proporsionaldyr.
düşünje
Çyzykly ulgam, adatça, hakyky ulgamyň titremesiniň abstrakt modelidir. Çyzykly titreme ulgamy superpozisiýa prinsipini ulanýar, ýagny, eger ulgamyň jogaby x1 girişiniň täsiri astynda y1 we x2 girişiniň täsiri astynda y2 bolsa, onda x1 we x2 girişleriniň täsiri astynda ulgamyň jogaby y1+y2 bolýar.
Superpozisiýa prinsipi esasynda, islendik girişi birnäçe çäksiz kiçi impulslaryň jemine bölüp bolýar we soňra ulgamyň umumy jogabyny alyp bolýar. Periodik gyjyndyrmanyň garmonik komponentleriniň jemini Furýe özgertmesi arkaly birnäçe garmonik komponentlere giňeltmek bolýar we her bir garmonik komponentiň ulgama täsirini aýratynlykda derňemek bolýar. Şonuň üçin, üýtgewsiz parametrli çyzykly ulgamlaryň jogap häsiýetlerini impuls jogaby ýa-da ýygylyk jogaby bilen beýan edip bolýar.
Impuls jogaby ulgamyň birlik impulsa jogabyny aňladýar, ol bolsa ulgamyň wagt giňişligindäki jogap häsiýetlerini häsiýetlendirýär. Ýygylyk jogaby ulgamyň birlik garmonik girişine jogap häsiýetini aňladýar. Ikisiniň arasyndaky gabat gelme Furýe özgertmesi bilen kesgitlenýär.
klassifikasiýa
Çyzykly titreme bir derejeli erkinlik ulgamynyň çyzykly titremesine we köp derejeli erkinlik ulgamynyň çyzykly titremesine bölünip bilner.
(1) bir derejeli erkinlik ulgamynyň çyzykly titremesi, umumylaşdyrylan koordinata arkaly ýerleşişi kesgitlenip bilinýän çyzykly titremedir. Ol titremäniň köp esasy düşünjelerini we häsiýetlerini çykaryp bolýan iň ýönekeý titremedir. Ol ýönekeý garmoniki titremäni, erkin titremäni, gowşama titremesini we mejbury titremäni öz içine alýar.
Ýönekeý garmoniki titreme: sinusoidal kanuna laýyklykda, jisimiň deňagramly ýagdaýynyň golaýynda, onuň süýşmegine proporsional dikeldiji güýjüň täsiri astynda özara hereketi.
Öçürilen titreme: amplitudasy sürtülme we dielektrik garşylyk ýa-da beýleki energiýa sarp edilişi bilen yzygiderli gowşaýan titreme.
Mejbury titreme: yzygiderli gyjyndyrylanda ulgamyň titremesi.
(2) köp erkinlik derejesindäki ulgamyň çyzykly titremesi, n≥2 erkinlik derejesi bolan çyzykly ulgamyň titremesidir. n erkinlik derejesindäki ulgamyň n tebigy ýygylygy we n esasy modasy bar. Ulgamyň islendik titreme konfigurasiýasy esasy modalaryň çyzykly utgaşmasy hökmünde görkezilip bilner. Şonuň üçin esasy modanyň superpozisiýa usuly köpdofly ulgamlaryň dinamiki jogap analizinde giňden ulanylýar. Şeýlelik bilen, ulgamyň tebigy titreme häsiýetlerini ölçemek we analiz etmek ulgamyň dinamiki dizaýnynda adaty ädim bolýar. Köpdofly ulgamlaryň dinamiki häsiýetlerini ýygylyk häsiýetleri bilen hem beýan edip bolýar. Her giriş we çykyş arasynda ýygylyk häsiýetli funksiýa bolany üçin, ýygylyk häsiýetli matrisa gurulýar. Ýygylyk häsiýetliligi bilen esasy modanyň arasynda anyk gatnaşyk bar. Köp erkinlik ulgamynyň amplituda-ýygylyk häsiýetliligi egrisi bir erkinlik ulgamynyňkydan tapawutlydyr.
Bir derejeli erkinlik ulgamynyň çyzykly titremesi
Sistemanyň ýerleşýän ýerini umumylaşdyrylan koordinata arkaly kesgitläp bolýan çyzykly titreme. Ol titremäniň köp esasy düşünjelerini we häsiýetlerini çykaryp bolýan iň ýönekeý we iň esasy titremedir. Ol ýönekeý garmoniki titremäni, öçürilen titremäni we mejbury titremäni öz içine alýar.
Garmonik titreme
Süýşüşe proporsional bolan dikeldiş güýjüniň täsiri astynda, jisim deňagramly ýagdaýyna golaý sinusoidal usulda özara täsir edýär (1-nji surat). X süýşüşi, t bolsa wagty görkezýär. Bu titreşmäniň matematiki aňlatmasy:
(1)Bu ýerde A - amplituda diýilýän we titreşmäniň intensiwligini görkezýän x süýşmesiniň iň ýokary gymmaty; Omega n - burç ýygylygy ýa-da tegelek ýygylyk diýilýän titreşmäniň sekunddaky burç artyşynyň amplitudasy; Bu başlangyç faza diýilýär. f= n/2 babatda, sekunddaky titreşmeleriň sanyna ýygylyk diýilýär; Munuň ters bölegi, T=1/f, bir sikl titreşmesi üçin gerek bolan wagtdyr we bu döwür diýilýär. Amplituda, f ýygylygy (ýa-da burç ýygylygy n), başlangyç faza, ýönekeý garmonik titreşme hökmünde belli üç element.
1-nji SURAT. Ýönekeý garmonik titreme egrisi
2-nji suratda görkezilişi ýaly, çyzykly ýaz bilen birikdirilen konsentrlenen massa m tarapyndan ýönekeý garmonik ossilýator emele gelýär. Titreşme ýeri deňagramlylyk ýagdaýyndan hasaplananda, titreşme deňlemesi şeýle bolýar:
Bu ýerde - ýazyň berkligi. Ýokardaky deňlemäniň umumy çözgüdi (1). A we başlangyç ýagdaýy x0 we t=0-da başlangyç tizlik bilen kesgitlenip bilner:
Ýöne omega n goşmaça başlangyç şertlerden garaşsyz, diňe ulgamyň öz aýratynlyklary m we k bilen kesgitlenýär, şonuň üçin omega n tebigy ýygylyk hökmünde hem bellidir.
SURAT 2. Bir derejeli erkinlik ulgamy
Ýönekeý garmonik ossilýator üçin onuň kinetiki energiýasynyň we potensial energiýasynyň jemi üýtgewsizdir, ýagny ulgamyň umumy mehaniki energiýasy saklanýar. Titreme prosesinde kinetiki energiýa we potensial energiýa yzygiderli biri-birine öwrülýär.
Öçüriji titreme
Amplitudasy sürtülme we dielektrik garşylyk ýa-da beýleki energiýa sarp edilişi bilen yzygiderli gowşaýan titreme. Mikro titreme üçin tizlik, adatça, gaty uly däl we orta garşylyk birinji güýje çenli tizlige proporsionaldyr, ony c öçürme koeffisiýenti hökmünde ýazyp bolýar. Şonuň üçin, çyzykly öçürme bilen bir erkinlik derejesiniň titreme deňlemesini şeýle ýazyp bolýar:
(2)Bu ýerde, m =c/2m öçüriji parametr diýlip atlandyrylýar we. (2) formulanyň umumy çözgüdini şeýle ýazyp bolýar:
(3)Omega n bilen PI arasyndaky san gatnaşygy aşakdaky üç ýagdaýa bölmek bolýar:
N > (kiçi demping ýagdaýynda) bölejikleriň döreden gowşama titremesi, titreme deňlemesi şeýle:
Onuň amplitudasy 3-nji suratdaky nokatly çyzygyň görkezilişi ýaly, deňlemede görkezilen eksponensial kanuna laýyklykda wagtyň geçmegi bilen azalýar. Dogrusyny aýtsak, bu titreme aperiodikdir, ýöne onuň iň ýokary derejesiniň ýygylygyny şeýle kesgitlemek mümkin:
Amplitudanyň peselme tizligi diýilýär, bu ýerde titreme döwri. Amplitudanyň peselme tizliginiň tebigy logarifmi logarifm minus (amplituda) tizligi diýilýär. Elbetde, bu ýagdaýda = 2/1 deňdir. Eksperimental synag deltasyndan göni we ýokardaky formulany ulanyp, c hasaplanyp bilner.
Bu wagtda (2) deňlemäniň çözgüdini şeýle ýazyp bolýar:
Başlangyç tizligiň ugry bilen birlikde, ony 4-nji suratda görkezilişi ýaly üç titremesiz ýagdaýa bölmek bolýar.
N < (uly demping ýagdaýynda), (2) deňlemäniň çözgüdi (3) deňlemede görkezilýär. Bu nokada ulgam indi titremeýär.
Mejbury titreme
Sistemanyň yzygiderli gyjyndyryş astynda titremesi. Titreme seljermesi, esasan, sistemanyň gyjyndyryşa jogabyny öwrenýär. Döwürleýin gyjyndyryş adaty yzygiderli gyjyndyryşdyr. Döwürleýin gyjyndyryş hemişe birnäçe garmoniki gyjyndyryşyň jemine bölünip bilinýändigi üçin, superpozisiýa prinsipine laýyklykda, diňe sistemanyň her bir garmoniki gyjyndyryşa jogaby talap edilýär. Garmoniki gyjyndyryşyň täsiri astynda, bir erkinlik derejesi öçürilen ulgamyň hereketiniň differensial deňlemesini şeýle ýazyp bolýar:
Jogap iki bölegiň jemidir. Bir bölegi wagtyň geçmegi bilen çalt pese gaçýan öçürilen titremeleriň jogabydyr. Mejbury titremeleriň başga bir böleginiň jogabyny şeýle ýazyp bolýar:
SURAT 3. Öçürilen titreme egrisi
SURAT 4. Kritiki demping bilen üç başlangyç şertiň egrileri
Ýazyň
H /F0= h (), amplituda-ýygylyk häsiýetlerini ýa-da güýçlendirme funksiýasyny häsiýetlendirýän durnukly jogap amplitudasynyň gyjyndyrma amplitudasyna gatnaşygydyr; Fazanyň durnukly ýagdaýynyň jogaby we höweslendirmesi üçin bitler, faza ýygylyk häsiýetleriniň häsiýetlendirmesi. Olaryň we gyjyndyrma ýygylygynyň arasyndaky baglanyşyk 5-nji we 6-njy suratlarda görkezilen.
Amplituda-ýygylyk egrisinden (5-nji surat) görnüşi ýaly, kiçi demping ýagdaýynda amplituda-ýygylyk egrisiniň ýekeje depesi bolýar. Demping näçe kiçi bolsa, depe şonça dik bolýar; Pekine laýyk gelýän ýygylyk ulgamyň rezonans ýygylygy diýilýär. Kiçi demping ýagdaýynda rezonans ýygylygy tebigy ýygylykdan kän tapawutlanmaýar. Gyjyndyrma ýygylygy tebigy ýygylyga golaý bolanda, amplituda keskin artýar. Bu hadysa rezonans diýilýär. Rezonansda ulgamyň gazanjy iň ýokary derejä ýetirilýär, ýagny mejbury titreme iň güýçli bolýar. Şonuň üçin, umuman, käbir gurallar we enjamlar uly titreme gazanmak üçin rezonans ulanmasa, hemişe rezonansdan gaça durmaga çalyşmaly.
SURAT 5. amplituda ýygylyk egrisi
Faza ýygylyk egrisinden (6-njy surat), söndürijiň ululygyna garamazdan, omega nol faza tapawudy bitleri = PI / 2 bolanda, bu häsiýet rezonans ölçemekde netijeli ulanylyp bilner.
Durnukly gyjyndyrmadan başga-da, ulgamlar käwagt durnuksyz gyjyndyrma bilen duş gelýärler. Ony takmynan iki görnüşe bölmek bolýar: biri birden täsir. Ikinjisi bolsa özbaşdaklygyň dowamly täsiri. Durnuksyz gyjyndyrmada ulgamyň jogaby hem durnuksyz bolýar.
Durnuksyz titremäni seljermek üçin güýçli gural impuls jogap usulydyr. Ol ulgamyň dinamiki häsiýetlerini ulgamyň birlik impuls girişiniň wagtlaýyn jogaby bilen beýan edýär. Birlik impulsy delta funksiýasy hökmünde aňlatylyp bilner. Inženerçilikde delta funksiýasy köplenç şeýle kesgitlenýär:
Bu ýerde 0- t okunyň çepden nula golaýlan nokadyny görkezýär; 0 goşmak bolsa sagdan 0-a barýan nokady aňladýar.
SURAT 6 fazaly ýygylyk egrisi
SURAT 7 Islendik giriş impuls elementleriniň tapgyrynyň jemi hökmünde kabul edilip bilner.
Sistema t=0-da birlik impuls tarapyndan döredilen h(t) jogabyna gabat gelýär, oňa impuls jogaby funksiýasy diýilýär. Sistemanyň impulsdan öň hereketsizdigini göz öňünde tutup, t<0 üçin h(t)=0. Sistemanyň impuls jogaby funksiýasyny bilip, sistemanyň islendik giriş x(t) jogabyny tapyp bileris. Bu nokada x(t)-ni impuls elementleriniň tapgyrynyň jemi hökmünde göz öňüne getirip bilersiňiz (7-nji surat). Sistemanyň jogaby:
Superpozisiýa prinsipine esaslanyp, x(t)-e laýyk gelýän ulgamyň umumy jogaby:
Bu integrala burulma integraly ýa-da superpozisiýa integraly diýilýär.
Köp derejeli erkinlik ulgamynyň çyzykly titremesi
n≥2 erkinlik derejesi bolan çyzykly ulgamyň titremesi.
8-nji suratda birikdiriji ýaz bilen baglanyşykly iki sany ýönekeý rezonans kiçi ulgamy görkezilen. Iki derejeli erkinlik ulgamy bolany üçin, onuň ýerleşýän ýerini kesgitlemek üçin iki sany garaşsyz koordinata gerek. Bu ulgamda iki sany tebigy ýygylyk bar:
Her bir ýygylyk titreme režimine laýyk gelýär. Garmonik ossilýatorlar deňagramlylyk ýagdaýyndan sinhron geçip, iň soňky pozisiýa sinhron ýetip, şol bir ýygylykdaky garmonik titremeleri amala aşyrýarlar. Omega birine laýyk gelýän esasy titremede x1 x2-e deňdir; Omega ikisine laýyk gelýän esasy titremede, omega omega bir. Esasy titremede her bir massanyň süýşme gatnaşygy belli bir gatnaşygy saklaýar we esasy režim ýa-da tebigy režim diýlip atlandyrylýan belli bir režimi emele getirýär. Massanyň we berkligiň ortogonallygy esasy režimleriň arasynda bar, bu bolsa her bir titremeniň garaşsyzlygyny görkezýär. Tebigy ýygylyk we esasy režim köp derejeli erkinlik ulgamynyň içki titreme häsiýetlerini görkezýär.
SURAT 8. Birnäçe erkinlik derejesi bolan ulgam
n erkinlik derejesi bolan ulgamyň n tebigy ýygylygy we n esasy modasy bar. Ulgamyň islendik titreme konfigurasiýasy esasy modalaryň çyzykly utgaşmasy hökmünde görkezilip bilner. Şonuň üçin esasy modanyň superpozisiýa usuly köpdofly ulgamlaryň dinamiki jogap analizinde giňden ulanylýar. Şeýlelik bilen, ulgamyň tebigy titreme häsiýetnamalaryny ölçemek we analiz etmek ulgamyň dinamiki dizaýnynda adaty ädime öwrülýär.
Köpdof ulgamlaryň dinamiki häsiýetnamalary ýygylyk häsiýetnamalary bilen hem beýan edilip bilner. Her giriş we çykyş arasynda ýygylyk häsiýetnamasynyň funksiýasy bolany üçin, ýygylyk häsiýetnamasynyň matrisasy gurulýar. Köp erkinlik ulgamynyň amplituda-ýygylyk häsiýetnamasynyň egrisi bir erkinlik ulgamynyňkydan tapawutlanýar.
Elastomer titreýär
Ýokardaky köp erkinlik derejesi ulgamy elastomeriň takmynan mehaniki modelidir. Elastomeriň çäksiz sanly erkinlik derejesi bar. Mukdar taýdan tapawut bar, ýöne ikisiniň arasynda möhüm tapawut ýok. Islendik elastomeriň çäksiz sanly tebigy ýygylyklary we çäksiz sanly degişli modalary bar we massa we berklik modalarynyň arasynda ortogonallyk bar. Elastomeriň islendik titreme konfigurasiýasy esasy modalaryň çyzykly üstleşmesi hökmünde hem görkezilip bilner. Şonuň üçin elastomeriň dinamiki jogap analizi üçin esasy modanyň üstleşme usuly henizem ulanylýar (elastomeriň çyzykly titremesine serediň).
Sapyň titremesini alyň. Aýdaly, uzynlygy birligine m massaly, uzyn l bolan inçe sap iki ujundan hem dartylýar we dartgynlyk T bolýar. Şu wagt sapyň tebigy ýygylygy aşakdaky deňleme bilen kesgitlenýär:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Bu ýerde, - simiň ugry boýunça köndelen tolkun ýaýrama tizligi. Simleriň tebigy ýygylyklary 2l-de esasy ýygylygyň köp sanlysy bolýar. Bu bitin san köplügi ýakymly garmoniki gurluşa getirýär. Umuman, elastomeriň tebigy ýygylyklarynyň arasynda şeýle bitin san köplügi gatnaşygy ýok.
Dartgynly simiň ilkinji üç režimi 9-njy suratda görkezilen. Esasy režim egrisinde käbir düwünler bar. Esasy titremede düwünler titremeýär. 10-njy suratda töwerek boýunça goldanylýan tegelek plastinkanyň birnäçe tipik režimleri görkezilýär, käbir düwün çyzyklary tegeleklerden we diametrlerden ybarat.
Elastomer titreme meselesiniň takyk formulasiýasy bölekleýin differensial deňlemeleriň serhet gymmaty meselesi hökmünde netije çykaryp bolýar. Şeýle-de bolsa, takyk çözgüt diňe iň ýönekeý ýagdaýlarda tapyp bolýar, şonuň üçin biz çylşyrymly elastomer titreme meselesi üçin takmynan çözgüde ýüz tutmaly bolýarys. Dürli takmynan çözgütleriň esasy manysy çäksizi çäklilige üýtgetmekden, ýagny agzasyz köp derejeli erkinlik ulgamyny (üznüksiz ulgam) çäkli köp derejeli erkinlik ulgamyna (diskret ulgam) diskretleşdirmekden ybaratdyr. Inženerçilik analizinde giňden ulanylýan iki görnüşli diskretleşdirme usuly bar: çäkli element usuly we modal sintez usuly.
9-njy SURAT. Setiriň görnüşi
10-njy SURAT. Töwerekleýin plastinkanyň görnüşi
Çäklendirilen element usuly çylşyrymly gurluşy çäkli sanly elementlere bölýän we olary çäkli sanly düwünlerde birleşdirýän birleşdirilen gurluşdyr. Her bir birlik elastomerdir; Elementiň paýlanyş ýerini üýtgetmegi düwün ýerini üýtgetmegiň interpolasiýa funksiýasy bilen beýan edilýär. Soňra her elementiň paýlanyş parametrleri belli bir formatda her düwüne jemlenýär we diskret ulgamyň mehaniki modeli alynýar.
Modal sintez çylşyrymly gurluşyň birnäçe has ýönekeý gurluşlara bölünmegidir. Her bir gurluşyň titreme häsiýetlerini düşünmek esasynda, gurluş serhetdäki koordinasiýa şertlerine laýyklykda umumy gurluşa sintez edilýär we umumy gurluşyň titreme morfologiýasy her bir gurluşyň titreme morfologiýasyny ulanmak arkaly alynýar.
Bu iki usul tapawutly we baglanyşyklydyr we salgylanma hökmünde ulanylyp bilner. Modal sintez usuly uly ulgamlaryň titremesi üçin nazary we eksperimental seljerme usulyny döretmek üçin eksperimental ölçeg bilen netijeli utgaşdyrylyp bilner.
Ýerleşdirilen wagty: 2020-nji ýylyň 3-nji apreli
