Unsa ang linear nga pag-vibrate?

Linya nga pag-uyog: ang elastisidad sa mga sangkap sa sistema gipailalom sa balaod ni Hooke, ug ang puwersa sa damping nga namugna atol sa paglihok proporsyonal sa unang ekwasyon sa kinatibuk-ang tulin (time derivative sa kinatibuk-ang mga koordinasyon).

konsepto

Ang linear nga sistema kasagaran usa ka abstract nga modelo sa vibration sa tinuod nga sistema. Ang linear nga sistema sa vibration naggamit sa superposition principle, buot ipasabot, kon ang tubag sa sistema kay y1 ubos sa aksyon sa input x1, ug y2 ubos sa aksyon sa input x2, nan ang tubag sa sistema ubos sa aksyon sa input x1 ug x2 kay y1+y2.

Base sa prinsipyo sa superposisyon, ang usa ka arbitraryong input mahimong mabahin ngadto sa suma sa usa ka serye sa mga infinitesimal nga impulses, ug dayon makuha ang kinatibuk-ang tubag sa sistema. Ang suma sa mga harmonic components sa usa ka periodic excitation mahimong mapalapdan ngadto sa usa ka serye sa mga harmonic components pinaagi sa Fourier transform, ug ang epekto sa matag harmonic component sa sistema mahimong imbestigahan nga gilain. Busa, ang mga kinaiya sa tubag sa mga linear system nga adunay kanunay nga mga parameter mahimong ihulagway pinaagi sa impulse response o frequency response.

Ang impulse response nagtumong sa tubag sa sistema ngadto sa unit impulse, nga nagpaila sa mga kinaiya sa tubag sa sistema sa time domain. Ang frequency response nagtumong sa kinaiya sa tubag sa sistema ngadto sa unit harmonic input. Ang pagkatugma tali sa duha gitino sa Fourier transform.

klasipikasyon

Ang linear vibration mahimong bahinon sa linear vibration sa single-degree-of-freedom system ug linear vibration sa multi-degree-of-freedom system.

(1) ang linear vibration sa usa ka single-degree-of-freedom system usa ka linear vibration kansang posisyon mahimong matino pinaagi sa usa ka generalized coordinate. Kini ang pinakasimple nga vibration diin daghang mga batakang konsepto ug kinaiya sa vibration ang makuha. Naglakip kini sa simple harmonic vibration, free vibration, attenuation vibration ug forced vibration.

Yano nga harmonic vibration: ang reciprocating motion sa usa ka butang duol sa equilibrium position niini sumala sa sinusoidal law ubos sa aksyon sa usa ka restoring force nga proporsyonal sa iyang displacement.

Damped vibration: vibration kansang amplitude padayon nga gihinay tungod sa presensya sa friction ug dielectric resistance o uban pang konsumo sa enerhiya.

Pugos nga pag-uyog: pag-uyog sa usa ka sistema ubos sa kanunay nga pag-uyog.

(2) ang linear vibration sa multi-degree-of-freedom system mao ang vibration sa linear system nga adunay n≥2 degrees of freedom. Ang usa ka sistema nga adunay n degrees of freedom adunay n natural frequencies ug n main modes. Ang bisan unsang vibration configuration sa sistema mahimong irepresentar isip linear combination sa mga major modes. Busa, ang main mode superposition method kay kaylap nga gigamit sa dynamic response analysis sa multi-dof systems. Niining paagiha, ang pagsukod ug pag-analisa sa natural vibration characteristics sa sistema mahimong usa ka rutina nga lakang sa dynamic design sa sistema. Ang dynamic characteristics sa multi-dof systems mahimo usab nga ihulagway pinaagi sa frequency characteristics. Tungod kay adunay frequency characteristic function tali sa matag input ug output, usa ka frequency characteristic matrix ang gihimo. Adunay usa ka tino nga relasyon tali sa frequency characteristic ug sa main mode. Ang amplitude-frequency characteristic curve sa multi-freedom system lahi sa single-freedom system.

Linear nga pag-uyog sa usa ka single degree of freedom system

Usa ka linear nga vibration diin ang posisyon sa usa ka sistema mahimong matino pinaagi sa usa ka heneral nga koordinasyon. Kini ang pinakasimple ug pinakapundamental nga vibration diin daghang mga batakang konsepto ug kinaiya sa vibration ang makuha. Naglakip kini sa simpleng harmonic vibration, damped vibration ug forced vibration.

Harmonikong pag-uyog

Ubos sa aksyon sa puwersa sa pagpahiuli nga proporsyonal sa pagbalhin, ang butang mobalos sa sinusoidal nga paagi duol sa posisyon sa ekwilibriyo niini (FIG. 1). Ang X nagrepresentar sa pagbalhin ug ang t nagrepresentar sa oras. Ang matematikal nga ekspresyon niini nga pagkurog mao ang:

(1)Diin ang A mao ang pinakataas nga bili sa displacement x, nga gitawag og amplitude, ug nagrepresentar sa intensity sa vibration; Ang Omega n mao ang amplitude Angle increment sa vibration kada segundo, nga gitawag og angular frequency, o ang circular frequency; Kini gitawag nga initial phase. Sa termino sa f= n/2, ang gidaghanon sa mga oscillations kada segundo gitawag og frequency; Ang inverse niini, T=1/f, mao ang oras nga gikinahanglan aron mag-oscillate sa usa ka cycle, ug kana gitawag og period. Ang Amplitude A, frequency f (o angular frequency n), ang initial phase, nailhan nga simple harmonic vibration three elements.

HULAGWAY 1 yano nga kurba sa harmonic vibration

Sama sa gipakita sa FIG. 2, usa ka simpleng harmonic oscillator ang naporma sa concentrated mass m nga konektado sa usa ka linear spring. Kung ang vibration displacement gikalkulo gikan sa equilibrium position, ang vibration equation mao ang:

Diin ang katig-a sa spring. Ang kinatibuk-ang solusyon sa equation sa ibabaw mao ang (1).A ug mahimong matino pinaagi sa inisyal nga posisyon nga x0 ug inisyal nga tulin sa t=0:

Apan ang omega n gitino lamang sa mga kinaiya sa sistema mismo nga m ug k, independente sa dugang nga inisyal nga mga kondisyon, busa ang omega n nailhan usab nga natural frequency.

HULAGWAY 2 sistema sa usa ka ang-ang sa kagawasan

Para sa usa ka simpleng harmonic oscillator, ang sumada sa kinetic energy ug potential energy niini makanunayon, buot ipasabot, ang kinatibuk-ang mechanical energy sa sistema nakonserba. Sa proseso sa vibration, ang kinetic energy ug potential energy kanunay nga nabag-o ngadto sa usag usa.

Ang pag-vibrate sa damping

Usa ka vibration kansang amplitude padayon nga gipaubos sa friction ug dielectric resistance o uban pang konsumo sa enerhiya. Para sa micro vibration, ang velocity kasagaran dili kaayo dako, ug ang medium resistance proporsyonal sa velocity sa unang power, nga mahimong isulat isip c ang damping coefficient. Busa, ang vibration equation sa usa ka degree of freedom nga adunay linear damping mahimong isulat isip:

(2)Diin, ang m =c/2m gitawag nga damping parameter, ug. Ang kinatibuk-ang solusyon sa pormula (2) mahimong isulat:

(3)Ang numerikal nga relasyon tali sa omega n ug PI mahimong bahinon sa mosunod nga tulo ka mga kaso:

N > (sa kaso sa gamay nga damping) ang partikulo nakamugna og attenuation vibration, ang equation sa vibration mao ang:

Ang amplitude niini mokunhod sa paglabay sa panahon sumala sa exponential law nga gipakita sa equation, sama sa gipakita sa tuldok-tuldok nga linya sa FIG. 3. Sa estrikto nga pagkasulti, kini nga vibration kay aperiodic, apan ang frequency sa peak niini mahimong ipasabot sama sa:

Gitawag kini nga amplitude reduction rate, diin ang mao ang panahon sa pag-vibrate. Ang natural nga logarithm sa amplitude reduction rate gitawag nga logarithm minus (amplitude) rate. Klaro nga, ang =, niini nga kaso, katumbas sa 2/1. Direkta nga pinaagi sa experimental test delta ug, gamit ang pormula sa ibabaw, makalkulo ang c.

Niining panahona, ang solusyon sa equation (2) mahimong isulat:

Uban sa direksyon sa inisyal nga tulin, kini mahimong bahinon sa tulo ka mga kaso nga walay pag-uyog sama sa gipakita sa FIG. 4.

N < (sa kaso sa dakong damping), ang solusyon sa equation (2) gipakita sa equation (3). Niining puntoha, ang sistema wala na nag-vibrate.

Pinugos nga pag-uyog

Pag-uyog sa usa ka sistema ubos sa kanunay nga pag-excitation. Ang pag-analisa sa pag-vibrate nag-imbestiga sa tubag sa sistema sa pag-excitation. Ang periodic excitation usa ka tipikal nga regular nga pag-excitation. Tungod kay ang periodic excitation kanunay nga mabahin sa suma sa daghang harmonic excitation, sumala sa prinsipyo sa superposition, ang tubag lamang sa sistema sa matag harmonic excitation ang gikinahanglan. Ubos sa aksyon sa harmonic excitation, ang differential equation of motion sa usa ka single degree of freedom damped system mahimong isulat:

Ang tubag mao ang sumada sa duha ka bahin. Ang usa ka bahin mao ang tubag sa damped vibration, nga dali nga mohinay sa paglabay sa panahon. Ang tubag sa laing bahin sa forced vibration mahimong isulat:

HULAGWAY 3 kurba sa nalubog nga pag-uyog

HULAGWAY 4 mga kurba sa tulo ka inisyal nga kondisyon nga adunay kritikal nga damping

I-type ang

Ang H /F0= h (), mao ang ratio sa steady response amplitude ngadto sa excitation amplitude, nga nagpaila sa amplitude-frequency characteristics, o gain function; Mga bit para sa steady state response ug incentive sa phase, nagpaila sa phase frequency characteristics. Ang relasyon tali kanila ug sa excitation frequency gipakita sa FIG. 5 ug FIG. 6.

Sama sa makita sa amplitude-frequency curve (FIG. 5), sa kaso sa small damping, ang amplitude-frequency curve adunay usa ka peak. Kon mas gamay ang damping, mas titip ang peak; Ang frequency nga katumbas sa peak gitawag nga resonant frequency sa sistema. Sa kaso sa small damping, ang resonance frequency dili kaayo lahi sa natural frequency. Kon ang excitation frequency duol sa natural frequency, ang amplitude motaas pag-ayo. Kini nga panghitabo gitawag og resonance. Sa resonance, ang gain sa sistema ma-maximize, nga mao, ang forced vibration mao ang pinakakusog. Busa, sa kinatibuk-an, kanunay nga paningkamoti nga malikayan ang resonance, gawas kon ang ubang mga instrumento ug kagamitan mogamit og resonance aron makab-ot ang dako nga vibration.

HULAGWAY 5 kurba sa frequency sa amplitude

Makita gikan sa phase frequency curve (figure 6), bisan unsa pa ang gidak-on sa damping, sa omega zero phase difference bits = PI / 2, kini nga kinaiya epektibong magamit sa pagsukod sa resonance.

Gawas pa sa makanunayong pag-excitation, ang mga sistema usahay makasugat og dili makanunayong pag-excitation. Mahimo kining bahinon sa duha ka klase: ang usa mao ang kalit nga impact. Ang ikaduha mao ang malungtarong epekto sa pagka-arbitrarily. Ubos sa dili makanunayong pag-excitation, ang tubag sa sistema dili usab makanunayon.

Usa ka gamhanang himan alang sa pag-analisar sa dili makanunayon nga pag-vibrate mao ang pamaagi sa impulse response. Gihulagway niini ang dinamikong mga kinaiya sa sistema uban ang transient response sa unit impulse input sa sistema. Ang unit impulse mahimong ipahayag isip usa ka delta function. Sa engineering, ang delta function kanunay nga gihubit ingon:

Diin ang 0- nagrepresentar sa punto sa t-axis nga nagkaduol sa sero gikan sa wala; ang 0 plus mao ang punto nga padulong sa 0 gikan sa tuo.

HULAGWAY 6 nga kurba sa frequency sa hugna

FIG. 7 ang bisan unsang input mahimong isipon nga sumada sa usa ka serye sa mga elemento sa impulse

Ang sistema katumbas sa tubag nga h(t) nga namugna sa unit impulse sa t=0, nga gitawag og impulse response function. Kon ang sistema wala naglihok sa wala pa ang pulso, h(t)=0 para sa t<0. Tungod kay nahibal-an nato ang impulse response function sa sistema, atong makit-an ang tubag sa sistema sa bisan unsang input nga x(t). Niini nga punto, mahimo nimong hunahunaon ang x(t) isip ang suma sa usa ka serye sa mga impulse elements (FIG. 7). Ang tubag sa sistema mao ang:

Base sa prinsipyo sa superposisyon, ang kinatibuk-ang tubag sa sistema nga katumbas sa x(t) mao ang:

Kini nga integral gitawag nga convolution integral o superposition integral.

Linear nga pag-uyog sa usa ka multi-degree-of-freedom nga sistema

Pag-uyog sa usa ka linear nga sistema nga adunay n≥2 degrees of freedom.

Ang Figure 8 nagpakita sa duha ka simpleng resonant subsystems nga konektado sa usa ka coupling spring. Tungod kay kini usa ka two-degree-of-freedom system, duha ka independente nga coordinates ang gikinahanglan aron mahibal-an ang posisyon niini. Adunay duha ka natural nga frequency niini nga sistema:

Ang matag frequency katumbas sa usa ka mode sa vibration. Ang harmonic oscillators nagpahigayon og harmonic oscillations sa parehas nga frequency, nga dungan nga moagi sa equilibrium position ug dungan nga makaabot sa extreme position. Sa main vibration nga katumbas sa omega one, ang x1 katumbas sa x2; sa main vibration nga katumbas sa omega one, omega one. Sa main vibration, ang displacement ratio sa matag mass nagmintinar og usa ka piho nga relasyon ug nagporma og usa ka piho nga mode, nga gitawag og main mode o natural mode. Ang orthogonality sa mass ug stiffness anaa taliwala sa mga main mode, nga nagpakita sa independence sa matag vibration. Ang natural frequency ug main mode nagrepresentar sa inherent vibration characteristics sa multi-degree of freedom system.

FIG. 8 sistema nga adunay daghang degree sa kagawasan

Ang usa ka sistema nga adunay n degrees of freedom adunay n natural frequencies ug n main modes. Ang bisan unsang vibration configuration sa sistema mahimong irepresentar isip linear nga kombinasyon sa mga major modes. Busa, ang main mode superposition method kay kaylap nga gigamit sa dynamic response analysis sa multi-dof systems. Niining paagiha, ang pagsukod ug pag-analisa sa natural vibration characteristics sa sistema mahimong usa ka rutina nga lakang sa dynamic design sa sistema.

Ang dinamikong mga kinaiya sa mga multi-dof nga sistema mahimo usab nga ihulagway pinaagi sa mga kinaiya sa frequency. Tungod kay adunay usa ka frequency characteristic function tali sa matag input ug output, usa ka frequency characteristic matrix ang gitukod. Ang amplitude-frequency characteristic curve sa multi-freedom system lahi sa single-freedom system.

Ang elastomer nag-vibrate

Ang nahisgutang multi-degree of freedom system usa ka gibanabana nga mekanikal nga modelo sa elastomer. Ang elastomer adunay walay kinutuban nga gidaghanon sa mga degree of freedom. Adunay quantitative nga kalainan apan walay hinungdanon nga kalainan tali sa duha. Ang bisan unsang elastomer adunay walay kinutuban nga gidaghanon sa natural nga mga frequency ug walay kinutuban nga gidaghanon sa katugbang nga mga mode, ug adunay orthogonality tali sa mga mode sa masa ug pagkagahi. Ang bisan unsang vibrational configuration sa elastomer mahimo usab nga irepresentar isip usa ka linear superposition sa mga major mode. Busa, alang sa dynamic response analysis sa elastomer, ang superposition method sa main mode magamit gihapon (tan-awa ang linear vibration sa elastomer).

Kuhaa ang pagkurog sa usa ka pisi. Ingnon ta nga ang usa ka nipis nga pisi nga may masa nga m kada yunit sa gitas-on, nga may gitas-on nga l, gi-tension sa duha ka tumoy, ug ang tensyon kay T. Niining higayona, ang natural nga frequency sa pisi gitino pinaagi sa mosunod nga equation:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Diin, ang , mao ang katulin sa pagkaylap sa transverse wave subay sa direksyon sa kuwerdas. Ang natural nga mga frequency sa mga kuwerdas nahitabo nga mga multiple sa fundamental frequency sa 2l. Kini nga integer multiplicity mosangpot sa usa ka maayong harmonic structure. Sa kinatibuk-an, walay ingon nga integer multiple relation taliwala sa natural nga mga frequency sa elastomer.

Ang unang tulo ka mga mode sa tensioned string gipakita sa FIG. 9. Adunay pipila ka mga node sa main mode curve. Sa main vibration, ang mga node dili mo-vibrate. Ang FIG. 10 nagpakita sa pipila ka tipikal nga mga mode sa circumferentially supported circular plate nga adunay pipila ka mga nodal lines nga gilangkoban sa mga lingin ug diametro.

Ang eksaktong pormulasyon sa problema sa elastomer vibration mahimong ihinapos isip problema sa boundary value sa partial differential equations. Bisan pa, ang eksaktong solusyon makit-an ra sa pipila sa pinakasimple nga mga kaso, busa kinahanglan natong gamiton ang gibanabana nga solusyon alang sa komplikado nga problema sa elastomer vibration. Ang esensya sa lainlaing gibanabana nga mga solusyon mao ang pag-usab sa walay kinutuban ngadto sa limitado, nga mao, ang pag-discretize sa limb-less multi-degree of freedom system (padayon nga sistema) ngadto sa usa ka limitado nga multi-degree of freedom system (discrete system). Adunay duha ka klase sa mga pamaagi sa discretization nga kaylap nga gigamit sa pag-analisa sa inhenyeriya: finite element method ug modal synthesis method.

HULAGWAY 9 nga paagi sa pisi

HULAGWAY 10 nga paagi sa lingin nga plato

Ang finite element method usa ka composite structure nga nag-abstract sa usa ka komplikado nga structure ngadto sa usa ka finite nga gidaghanon sa mga elemento ug nagkonektar niini sa usa ka finite nga gidaghanon sa mga node. Ang matag unit usa ka elastomer; Ang distribution displacement sa elemento gipahayag pinaagi sa interpolation function sa node displacement. Dayon ang distribution parameters sa matag elemento gi-concentrate sa matag node sa usa ka piho nga format, ug ang mechanical model sa discrete system makuha.

Ang modal synthesis mao ang pagbahin sa usa ka komplikado nga istruktura ngadto sa daghang mas simple nga mga substructure. Base sa pagsabot sa mga kinaiya sa vibration sa matag substructure, ang substructure gi-synthesize ngadto sa usa ka kinatibuk-ang istruktura sumala sa mga kondisyon sa koordinasyon sa interface, ug ang vibration morphology sa kinatibuk-ang istruktura makuha pinaagi sa paggamit sa vibration morphology sa matag substructure.

Ang duha ka pamaagi managlahi ug may kalabutan, ug mahimong gamiton isip reperensya. Ang pamaagi sa modal synthesis mahimo usab nga epektibo nga ikombinar sa eksperimental nga pagsukod aron maporma ang usa ka teoretikal ug eksperimental nga pamaagi sa pag-analisar alang sa pag-uyog sa dagkong mga sistema.