Mis on lineaarne vibratsioon?

Lineaarne vibratsioon: süsteemi komponentide elastsus allub Hooke'i seadusele ja liikumise ajal tekkiv summutusjõud on võrdeline üldistatud kiiruse esimese võrrandiga (üldistatud koordinaatide ajatuletis).

kontseptsioon

Lineaarne süsteem on tavaliselt reaalse süsteemi vibratsiooni abstraktne mudel. Lineaarne vibratsioonisüsteem rakendab superpositsiooniprintsiipi, st kui süsteemi reaktsioon sisendi x1 toimel on y1 ja sisendi x2 toimel y2, siis süsteemi reaktsioon sisendite x1 ja x2 toimel on y1+y2.

Superpositsiooniprintsiibi alusel saab suvalise sisendsignaali jagada lõpmatult väikeste impulsside jada summaks ja seejärel saab süsteemi koguvastuse. Perioodilise ergastuse harmooniliste komponentide summat saab Fourier' teisenduse abil laiendada harmooniliste komponentide jadaks ning iga harmoonilise komponendi mõju süsteemile saab eraldi uurida. Seega saab konstantsete parameetritega lineaarsete süsteemide reageerimisomadusi kirjeldada impulsskarakteristiku või sageduskarakteristiku abil.

Impulsskarakteristik viitab süsteemi reaktsioonile ühikkimpulsile, mis iseloomustab süsteemi reaktsiooniomadusi ajadomeenis. Sageduskarakteristik viitab süsteemi reaktsioonile ühikkiharmoonilise sisendi suhtes. Nende kahe vaheline vastavus määratakse Fourier' teisenduse abil.

klassifikatsioon

Lineaarvõnkumisi saab jagada ühe vabadusastmega süsteemi lineaarvõnkumisteks ja mitme vabadusastmega süsteemi lineaarvõnkumisteks.

(1) Ühe vabadusastmega süsteemi lineaarvõnkumine on lineaarvõnkumine, mille asukohta saab määrata üldistatud koordinaadi abil. See on lihtsaim võnkumine, millest saab tuletada palju võnkumise põhimõisteid ja omadusi. See hõlmab lihtsat harmoonilist võnkumist, vabavõnkumist, sumbumisvibratsiooni ja sundvõnkumist.

Lihtne harmooniline võnkumine: objekti edasi-tagasi liikumine selle tasakaaluasendi läheduses vastavalt sinusoidaalsele seadusele taastava jõu mõjul, mis on võrdeline selle nihkega.

Summutatud vibratsioon: vibratsioon, mille amplituudi pidevalt nõrgestab hõõrdumine ja dielektriline takistus või muu energiatarbimine.

Sundvõnkumine: süsteemi võnkumine pideva ergastuse all.

(2) mitmevabadusastmelise süsteemi lineaarvõnkumine on lineaarsüsteemi võnkumine vabadusastmetega n≥2. n vabadusastmega süsteemil on n omavõnkumissagedust ja n peamist moodi. Süsteemi mis tahes võnkekonfiguratsiooni saab esitada peamiste moodide lineaarse kombinatsioonina. Seetõttu kasutatakse peamise moodi superpositsioonimeetodit laialdaselt mitmevabadusastmeliste süsteemide dünaamilises vastuse analüüsis. Sel viisil saab süsteemi omavõnkumiskarakteristikute mõõtmisest ja analüüsist süsteemi dünaamilise disaini rutiinne samm. Mitmevabadusastmeliste süsteemide dünaamilisi karakteristikuid saab kirjeldada ka sageduskarakteristikute abil. Kuna iga sisendi ja väljundi vahel on sageduskarakteristiku funktsioon, konstrueeritakse sageduskarakteristiku maatriks. Sageduskarakteristiku ja peamise moodi vahel on kindel seos. Mitmevabadusastmelise süsteemi amplituud-sageduskarakteristik erineb ühevabadusastmelise süsteemi omast.

Ühe vabadusastmega süsteemi lineaarne vibratsioon

Lineaarne võnkumine, mille puhul süsteemi asukohta saab määrata üldistatud koordinaadi abil. See on lihtsaim ja fundamentaalseim võnkumine, millest saab tuletada palju võnkumise põhimõisteid ja omadusi. See hõlmab lihtsat harmoonilist võnkumist, summutatud võnkumist ja sundvõnkumist.

Harmooniline vibratsioon

Nihkega võrdelise taastava jõu mõjul liigub objekt sinusoidaalselt oma tasakaaluasendi lähedal (JOONIS 1). X tähistab nihet ja t tähistab aega. Selle vibratsiooni matemaatiline avaldis on:

(1)Kus A on nihke x maksimaalne väärtus, mida nimetatakse amplituudiks ja mis esindab vibratsiooni intensiivsust; Omega n on vibratsiooni amplituudi ja nurga juurdekasv sekundis, mida nimetatakse nurksageduseks ehk ringsageduseks; Seda nimetatakse algfaasiks. f = n/2 kaudu nimetatakse võnkumiste arvu sekundis sageduseks; Selle pöördväärtus, T = 1/f, on aeg, mis kulub ühe tsükli võnkumiseks ja seda nimetatakse perioodiks. Amplituud A, sagedus f (või nurksagedus n), algfaas, mida tuntakse lihtsa harmoonilise vibratsioonina kolmest elemendist.

JOONIS 1 Lihtne harmooniline vibratsioonikõver

Nagu joonisel FIG 2 näidatud, moodustub lihtne harmooniline ostsillaator kontsentreeritud massist m, mis on ühendatud lineaarse vedruga. Kui vibratsiooni nihe arvutatakse tasakaaluasendist, on vibratsioonivõrrand järgmine:

Kus on vedru jäikus. Ülaltoodud võrrandi üldlahend on (1). A ja selle saab määrata algpositsiooni x0 ja algkiiruse abil ajahetkel t=0:

Kuid oomega n määratakse ainult süsteemi enda omaduste m ja k järgi, olenemata täiendavatest algtingimustest, seega on oomega n tuntud ka kui omavõnkesagedus.

JOONIS 2. Ühe vabadusastmega süsteem

Lihtsa harmoonilise ostsillaatori puhul on selle kineetilise energia ja potentsiaalse energia summa konstantne, see tähendab, et süsteemi kogu mehaaniline energia säilib. Vibratsiooni käigus muunduvad kineetiline energia ja potentsiaalne energia pidevalt üksteiseks.

Summutav vibratsioon

Vibratsioon, mille amplituudi pidevalt nõrgestab hõõrdumine ja dielektriline takistus või muu energiatarve. Mikrovibratsiooni korral ei ole kiirus üldiselt väga suur ja keskkonna takistus on võrdeline kiirusega esimeses astmes, mida saab kirjutada kui c on sumbuvustegur. Seega saab lineaarse summutusega ühe vabadusastme vibratsioonivõrrandi kirjutada järgmiselt:

(2)Kus m =c/2m nimetatakse sumbuvusparameetriks ja. Valemi (2) üldlahendi saab kirjutada järgmiselt:

(3)Omega n ja PI vahelise numbrilise seose saab jagada järgmisteks kolmeks juhtumiks:

N > (väikese summutuse korral) osakese tekitatud nõrgenev vibratsioon, siis vibratsioonivõrrand on:

Selle amplituud väheneb aja jooksul vastavalt võrrandis näidatud eksponentsiaalseadusele, nagu on näidatud punktiirjoonega joonisel 3. Rangelt võttes on see vibratsioon aperioodiline, kuid selle tipu sagedust saab defineerida järgmiselt:

Seda nimetatakse amplituudi vähenemise kiiruseks, kus on vibratsiooniperiood. Amplituudi vähenemise kiiruse naturaallogaritmi nimetatakse logaritm miinus (amplituud) kiiruseks. Ilmselgelt on = antud juhul võrdne 2/1-ga. Otse katse delta ja kaudu saab ülaltoodud valemi abil arvutada c.

Sel ajal saab võrrandi (2) lahendi kirjutada järgmiselt:

Koos algkiiruse suunaga saab selle jagada kolmeks vibratsioonivabaks juhtumiks, nagu on näidatud joonisel 4.

N < (suure summutuse korral), on võrrandi (2) lahend näidatud võrrandis (3). Sel hetkel süsteem enam ei vibreeri.

Sundvibratsioon

Süsteemi vibratsioon pideva ergastuse all. Vibratsioonianalüüs uurib peamiselt süsteemi reaktsiooni ergastusele. Perioodiline ergastus on tüüpiline regulaarne ergastus. Kuna perioodilist ergastust saab alati jagada mitme harmoonilise ergastuse summaks, siis superpositsiooniprintsiibi kohaselt on vaja ainult süsteemi reaktsiooni igale harmoonilisele ergastusele. Harmoonilise ergastuse mõjul saab ühe vabadusastmega summutatud süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandi kirjutada järgmiselt:

Reaktsioon on kahe osa summa. Üks osa on summutatud vibratsiooni reaktsioon, mis aja jooksul kiiresti hääbub. Sundvibratsiooni teise osa reaktsiooni saab kirjutada järgmiselt:

JOONIS 3 summutatud vibratsioonikõver

JOONIS 4. Kolme algtingimuse kõverad kriitilise sumbuvusega

Tippige sisse

H /F0 = h(), on püsiseisundi reaktsiooni amplituudi ja ergastusamplituudi suhe, mis iseloomustab amplituud-sageduskarakteristikuid ehk võimendusfunktsiooni; Bitid püsiseisundi reaktsiooni ja faasi stiimuli jaoks, mis iseloomustavad faasisageduse karakteristikuid. Nende ja ergastussageduse vaheline seos on näidatud joonistel 5 ja 6.

Nagu amplituud-sageduskõveralt (joonis 5) näha, on väikese summutuse korral amplituud-sageduskõveral üks tipp. Mida väiksem on summutus, seda järsem on tipp; Tipule vastavat sagedust nimetatakse süsteemi resonantssageduseks. Väikese summutuse korral ei erine resonantssagedus palju omavõnkesagedusest. Kui ergastussagedus on omavõnkesageduse lähedal, suureneb amplituud järsult. Seda nähtust nimetatakse resonantsiks. Resonantsi korral on süsteemi võimendus maksimaalne, st sunnitud vibratsioon on kõige intensiivsem. Seetõttu tuleks üldiselt alati püüda resonantsi vältida, välja arvatud juhul, kui mõned instrumendid ja seadmed kasutavad resonantsi suure vibratsiooni saavutamiseks.

JOONIS 5 amplituudi-sageduse kõver

Faasisageduse kõveralt (joonis 6) on näha, et olenemata summutuse suurusest, oomega-null faaside erinevuse bittides = PI / 2, saab seda karakteristikut tõhusalt kasutada resonantsi mõõtmisel.

Lisaks püsivale ergastusele esineb süsteemides mõnikord ka ebastabiilset ergastust. Seda saab laias laastus jagada kahte tüüpi: üks on äkiline löök ja teine ​​on suvalisuse püsiv mõju. Ebastabiilse ergastuse korral on süsteemi reaktsioon samuti ebastabiilne.

Võimas tööriist mittestatsionaarse vibratsiooni analüüsimiseks on impulssreaktsiooni meetod. See kirjeldab süsteemi dünaamilisi omadusi süsteemi ühikkimpulsi mööduva reaktsiooniga. Ühikkimpulssi saab väljendada deltafunktsioonina. Inseneriteaduses defineeritakse deltafunktsiooni sageli järgmiselt:

Kus 0- tähistab t-telje punkti, mis läheneb nullile vasakult; 0 pluss on punkt, mis liigub 0-ni paremalt.

JOONIS 6 faasisageduse kõver

JOONIS 7. Suvalist sisendit võib vaadelda impulsselementide jada summana.

Süsteem vastab ühikkimpulsi poolt ajahetkel t=0 tekitatud reaktsioonile h(t), mida nimetatakse impulssreaktsiooni funktsiooniks. Eeldades, et süsteem on enne impulssi paigal, on h(t)=0, kui t<0. Teades süsteemi impulssreaktsiooni funktsiooni, saame leida süsteemi reaktsiooni mis tahes sisendile x(t). Sel hetkel võime mõelda x(t)-st kui impulsselementide rea summast (JOONIS 7). Süsteemi reaktsioon on:

Superpositsiooniprintsiibi põhjal on x(t)-le vastava süsteemi koguvastus järgmine:

Seda integraali nimetatakse konvolutsiooniintegraaliks või superpositsiooniintegraaliks.

Mitme vabadusastmega süsteemi lineaarne vibratsioon

Lineaarse süsteemi vibratsioon vabadusastmetega n≥2.

Joonisel 8 on kujutatud kahte lihtsat resonantset alamsüsteemi, mis on ühendatud ühendusvedruga. Kuna tegemist on kahe vabadusastmega süsteemiga, on selle asukoha määramiseks vaja kahte sõltumatut koordinaati. Selles süsteemis on kaks loomulikku sagedust:

Iga sagedus vastab teatud vibratsioonimoodile. Harmoonilised ostsillaatorid teostavad sama sagedusega harmoonilisi võnkumisi, läbides sünkroonselt tasakaaluasendi ja jõudes sünkroonselt äärmusasendisse. Omega-1-le vastavas põhivibratsioonis on x1 võrdne x2-ga; Omega-2-le vastavas põhivibratsioonis omega-omega-1. Põhivibratsioonis säilitab iga massi nihkesuhe teatud seose ja moodustab teatud moodi, mida nimetatakse põhimoodiks või loomulikuks moodiks. Põhimoodide vahel eksisteerib massi ja jäikuse ortogonaalsus, mis peegeldab iga vibratsiooni sõltumatust. Looduslik sagedus ja põhimood esindavad mitme vabadusastmega süsteemi loomupäraseid vibratsiooniomadusi.

JOONIS 8 mitme vabadusastmega süsteem

n vabadusastmega süsteemil on n omavõnkesagedust ja n peamist moodi. Süsteemi mis tahes võnkekonfiguratsiooni saab esitada peamiste moodide lineaarse kombinatsioonina. Seetõttu kasutatakse peamise moodi superpositsiooni meetodit laialdaselt mitmevabadusastmeliste süsteemide dünaamilises vastuse analüüsis. Sel viisil saab süsteemi omavõnkeomaduste mõõtmisest ja analüüsist süsteemi dünaamilise disaini rutiinne samm.

Mitmevabadusastmeliste süsteemide dünaamilisi omadusi saab kirjeldada ka sageduskarakteristikute abil. Kuna iga sisendi ja väljundi vahel on sageduskarakteristiku funktsioon, konstrueeritakse sageduskarakteristikute maatriks. Mitmevabadusastmelise süsteemi amplituud-sageduskarakteristik erineb ühevabadusastmelise süsteemi amplituud-sageduskarakteristikest.

Elastomeer vibreerib

Ülaltoodud mitme vabadusastmega süsteem on elastomeeri ligikaudne mehaaniline mudel. Elastomeeril on lõpmatu arv vabadusastmeid. Nende kahe vahel on kvantitatiivne erinevus, kuid mitte oluline erinevus. Igal elastomeeril on lõpmatu arv loomulikke sagedusi ja lõpmatu arv vastavaid mooduseid ning massi ja jäikuse mooduste vahel on ortogonaalsus. Elastomeeri mis tahes vibratsioonikonfiguratsiooni saab esitada ka peamiste mooduste lineaarse superpositsioonina. Seetõttu on elastomeeri dünaamilise vastuse analüüsiks endiselt rakendatav põhimoodi superpositsioonimeetod (vt elastomeeri lineaarne vibratsioon).

Võtame näiteks nööri võnkumise. Oletame, et õhuke nöör massiga m pikkuseühiku kohta ja pikkusega l on mõlemast otsast pingestatud ja pinge on T. Sel ajal määratakse nööri loomulik sagedus järgmise võrrandiga:

F =na/2l (n = 1, 2, 3…).

Kus on põiklaine levimiskiirus keele suunas. Keelte omavõnkesagedused on põhisageduse kordsed üle 2l. See täisarvuline kordsus viib meeldiva harmoonilise struktuurini. Üldiselt ei ole elastomeeri omavõnkesageduste vahel sellist täisarvulist kordset seost.

Pingutatud nööri esimesed kolm moodi on näidatud joonisel FIG. 9. Põhimoodi kõveral on mõned sõlmed. Põhivibratsiooni korral sõlmed ei vibreeri. Joonis FIG. 10 näitab ümbermõõduliselt toetatud ümmarguse plaadi mitmeid tüüpilisi moodisid, mille sõlmejooned koosnevad ringidest ja läbimõõtudest.

Elastomeeri vibratsiooniprobleemi täpse formuleeringu võib kokku võtta osaliste diferentsiaalvõrrandite rajaülesandena. Täpse lahendi saab aga leida vaid mõnel lihtsamal juhul, seega peame keerulise elastomeeri vibratsiooniprobleemi puhul pöörduma ligikaudse lahendi poole. Erinevate ligikaudsete lahenduste olemus seisneb lõpmatu muutmises lõplikuks, st jäsemeteta mitme vabadusastmega süsteemi (pideva süsteemi) diskretiseerimises lõplikuks mitme vabadusastmega süsteemiks (diskreetseks süsteemiks). Insenerianalüüsis kasutatakse laialdaselt kahte tüüpi diskretiseerimismeetodeid: lõplike elementide meetod ja modaalse sünteesi meetod.

JOONIS 9 stringi režiim

JOONIS 10 ümmarguse plaadi režiim

Lõplike elementide meetod on liitstruktuur, mis abstrakteerib keerulise struktuuri lõplikuks arvuks elementideks ja ühendab need lõpliku arvu sõlmede kaudu. Iga ühik on elastomeer; elemendi jaotusnihet väljendatakse sõlme nihke interpolatsioonifunktsioonina. Seejärel kontsentreeritakse iga elemendi jaotusparameetrid igale sõlmele teatud vormingus ja saadakse diskreetse süsteemi mehaaniline mudel.

Modaalne süntees on keerulise struktuuri lagundamine mitmeks lihtsamaks alamstruktuuriks. Iga alamstruktuuri vibratsiooniomaduste mõistmise põhjal sünteesitakse alamstruktuur üldiseks struktuuriks vastavalt liidese koordinatsioonitingimustele ning üldise struktuuri vibratsioonimorfoloogia saadakse iga alamstruktuuri vibratsioonimorfoloogia abil.

Need kaks meetodit on erinevad ja omavahel seotud ning neid saab kasutada võrdlusena. Modaalse sünteesi meetodit saab tõhusalt kombineerida ka eksperimentaalse mõõtmisega, et moodustada teoreetiline ja eksperimentaalne analüüsimeetod suurte süsteemide vibratsiooni jaoks.