रेखीय कंपन म्हणजे काय?

रेखीय कंपन: प्रणालीतील घटकांची लवचिकता हुकच्या नियमाच्या अधीन असते आणि गती दरम्यान निर्माण होणारी ओलसर शक्ती सामान्यीकृत वेगाच्या (सामान्यीकृत निर्देशांकांचे वेळ व्युत्पन्न) च्या पहिल्या समीकरणाच्या प्रमाणात असते.

संकल्पना

रेखीय प्रणाली हे सहसा वास्तविक प्रणालीच्या कंपनाचे एक अमूर्त मॉडेल असते. रेखीय कंपन प्रणाली सुपरपोझिशन तत्त्व लागू करते, म्हणजेच, इनपुट x1 च्या क्रियेखाली y1 आणि इनपुट x2 च्या क्रियेखाली y2 असल्यास, नंतर इनपुट x1 आणि x2 च्या क्रिया अंतर्गत सिस्टमचा प्रतिसाद y1+y2 आहे.

सुपरपोझिशन तत्त्वाच्या आधारे, अनियंत्रित इनपुटचे विघटन अनंत आवेगांच्या मालिकेच्या बेरीजमध्ये केले जाऊ शकते आणि त्यानंतर सिस्टमचा एकूण प्रतिसाद मिळू शकतो. नियतकालिक उत्तेजित होण्याच्या हार्मोनिक घटकांची बेरीज एक मध्ये विस्तारित केली जाऊ शकते. फूरियर ट्रान्सफॉर्मद्वारे हार्मोनिक घटकांची मालिका, आणि सिस्टमवरील प्रत्येक हार्मोनिक घटकाचा प्रभाव स्वतंत्रपणे तपासला जाऊ शकतो. म्हणून, स्थिर पॅरामीटर्ससह रेखीय प्रणालींच्या प्रतिसाद वैशिष्ट्यांचे वर्णन आवेग प्रतिसाद किंवा वारंवारता प्रतिसादाद्वारे केले जाऊ शकते.

इंपल्स रिस्पॉन्स म्हणजे युनिट इम्पल्सला सिस्टमचा प्रतिसाद, जे वेळेच्या डोमेनमधील सिस्टमच्या प्रतिसाद वैशिष्ट्यांचे वैशिष्ट्य दर्शवते. फ्रिक्वेन्सी रिस्पॉन्स म्हणजे युनिट हार्मोनिक इनपुटला सिस्टमच्या प्रतिसाद वैशिष्ट्याचा संदर्भ देते. दोघांमधील पत्रव्यवहार निर्धारित केला जातो. फूरियर ट्रान्सफॉर्मद्वारे.

वर्गीकरण

रेखीय कंपन एकल-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणालीचे रेखीय कंपन आणि बहु-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणालीच्या रेखीय कंपनांमध्ये विभागले जाऊ शकते.

(१) सिंगल-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणालीचे रेखीय कंपन हे एक रेखीय कंपन आहे ज्याची स्थिती सामान्यीकृत समन्वयाद्वारे निर्धारित केली जाऊ शकते. हे सर्वात सोपे कंपन आहे ज्यातून कंपनाच्या अनेक मूलभूत संकल्पना आणि वैशिष्ट्ये प्राप्त केली जाऊ शकतात. यात सोप्या गोष्टींचा समावेश आहे. हार्मोनिक कंपन, मुक्त कंपन, क्षीण कंपन आणि सक्तीचे कंपन.

साधे हार्मोनिक कंपन: एखाद्या वस्तूच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात पुनर्संचयित करणाऱ्या शक्तीच्या कृती अंतर्गत सायनसॉइडल कायद्यानुसार त्याच्या समतोल स्थितीच्या आसपासची परस्पर गती.

ओलसर कंपन: कंपन ज्याचे मोठेपणा घर्षण आणि डायलेक्ट्रिक प्रतिकार किंवा इतर उर्जेच्या वापरामुळे सतत कमी होत असते.

सक्तीचे कंपन: सतत उत्तेजना अंतर्गत प्रणालीचे कंपन.

(२) बहु-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणालीचे रेखीय कंपन म्हणजे n≥2 अंश स्वातंत्र्य असलेल्या रेखीय प्रणालीचे कंपन. स्वातंत्र्याच्या n अंशांच्या प्रणालीमध्ये n नैसर्गिक फ्रिक्वेन्सी आणि n मुख्य मोड असतात. कोणतेही कंपन कॉन्फिगरेशन प्रणालीचे मुख्य मोड्सचे एक रेषीय संयोजन म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. म्हणूनच, मल्टी-डॉफ सिस्टमच्या डायनॅमिक प्रतिसाद विश्लेषणामध्ये मुख्य मोड सुपरपोझिशन पद्धत मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. अशा प्रकारे, नैसर्गिक कंपन वैशिष्ट्यांचे मापन आणि विश्लेषण सिस्टमच्या डायनॅमिक डिझाइनमध्ये सिस्टम ही एक नियमित पायरी बनते. मल्टी-डॉफ सिस्टमच्या डायनॅमिक वैशिष्ट्यांचे वर्णन वारंवारता वैशिष्ट्यांद्वारे देखील केले जाऊ शकते. प्रत्येक इनपुट आणि आउटपुटमध्ये वारंवारता वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य असल्याने, एक वारंवारता वैशिष्ट्यपूर्ण मॅट्रिक्स तयार केले जाते. वारंवारता वैशिष्ट्य आणि मुख्य मोड यांच्यातील एक निश्चित संबंध आहे. बहु-स्वातंत्र्य प्रणालीचे मोठेपणा-फ्रिक्वेंसी वैशिष्ट्यपूर्ण वक्र एकल-स्वातंत्र्य प्रणालीपेक्षा भिन्न आहे.

स्वातंत्र्य प्रणालीच्या एका डिग्रीचे रेखीय कंपन

एक रेखीय कंपन ज्यामध्ये प्रणालीची स्थिती सामान्यीकृत समन्वयाद्वारे निर्धारित केली जाऊ शकते. हे सर्वात सोपे आणि सर्वात मूलभूत कंपन आहे ज्यातून कंपनाच्या अनेक मूलभूत संकल्पना आणि वैशिष्ट्ये मिळवता येतात. यामध्ये साधे हार्मोनिक कंपन, ओलसर कंपन आणि सक्तीचे कंपन यांचा समावेश होतो. .

हार्मोनिक कंपन

विस्थापनाच्या प्रमाणात शक्ती पुनर्संचयित करण्याच्या कृती अंतर्गत, वस्तू त्याच्या समतोल स्थितीच्या जवळ साइनसॉइडल पद्धतीने परस्पर बदलते (FIG. 1).X हे विस्थापन दर्शवते आणि t वेळ दर्शवते.या कंपनाची गणितीय अभिव्यक्ती आहे:

(१)जेथे A हे विस्थापन x चे कमाल मूल्य आहे, ज्याला मोठेपणा म्हणतात, आणि कंपनाची तीव्रता दर्शवते; ओमेगा n हे प्रति सेकंद कंपनाचे मोठेपणा कोन वाढ आहे, ज्याला कोनीय वारंवारता किंवा वर्तुळाकार वारंवारता म्हणतात; हे याला प्रारंभिक टप्पा म्हणतात. f= n/2 च्या दृष्टीने, प्रति सेकंद दोलनांच्या संख्येला वारंवारता म्हणतात; याचा व्यस्त, T=1/f, एका चक्राला दोलन करण्यासाठी लागणारा वेळ आहे, आणि त्याला म्हणतात कालावधी.Amplitude A, वारंवारता f (किंवा कोनीय वारंवारता n), प्रारंभिक टप्पा, साधे हार्मोनिक कंपन तीन घटक म्हणून ओळखले जाते.

अंजीर.1 साधे हार्मोनिक कंपन वक्र

अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे.2, रेखीय स्प्रिंगद्वारे जोडलेल्या एकाग्र वस्तुमान m द्वारे एक साधा हार्मोनिक ऑसीलेटर तयार होतो. जेव्हा कंपन विस्थापन समतोल स्थितीवरून मोजले जाते, तेव्हा कंपन समीकरण आहे:

स्प्रिंगचा कडकपणा कोठे आहे. वरील समीकरणाचे सर्वसाधारण समाधान (1) आहे. A आणि प्रारंभिक स्थिती x0 आणि t=0 वर प्रारंभिक वेग द्वारे निर्धारित केले जाऊ शकते:

परंतु ओमेगा एन हे केवळ m आणि k प्रणालीच्या वैशिष्ट्यांद्वारे निर्धारित केले जाते, अतिरिक्त प्रारंभिक परिस्थितींपासून स्वतंत्र, म्हणून ओमेगा n ला नैसर्गिक वारंवारता म्हणून देखील ओळखले जाते.

अंजीर.2 एकल डिग्री स्वातंत्र्य प्रणाली

साध्या हार्मोनिक ऑसिलेटरसाठी, त्याची गतीज ऊर्जा आणि संभाव्य उर्जा यांची बेरीज स्थिर असते, म्हणजेच प्रणालीची एकूण यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित केली जाते. कंपनाच्या प्रक्रियेत, गतीज ऊर्जा आणि संभाव्य ऊर्जा सतत एकमेकांमध्ये रूपांतरित होतात.

ओलसर कंपन

एक कंपन ज्याचे मोठेपणा घर्षण आणि डायलेक्ट्रिक प्रतिरोध किंवा इतर उर्जेच्या वापरामुळे सतत कमी होत असते. सूक्ष्म कंपनासाठी, वेग सामान्यतः फार मोठा नसतो आणि मध्यम प्रतिकार पहिल्या शक्तीच्या वेगाच्या प्रमाणात असतो, ज्याला c म्हणून लिहिता येते. डॅम्पिंग गुणांक. म्हणून, रेखीय डॅम्पिंगसह एक अंश स्वातंत्र्याचे कंपन समीकरण असे लिहिले जाऊ शकते:

(२)जेथे, m =c/2m ला डॅम्पिंग पॅरामीटर म्हणतात, आणि. सूत्र (2) चे सामान्य समाधान लिहिले जाऊ शकते:

(३)ओमेगा एन आणि पीआय मधील संख्यात्मक संबंध खालील तीन प्रकरणांमध्ये विभागले जाऊ शकतात:

N > (लहान ओलसरपणाच्या बाबतीत) कणाने क्षीण कंपन निर्माण केले, कंपन समीकरण आहे:

अंजीर मधील ठिपक्या ओळीत दर्शविल्याप्रमाणे समीकरणात दर्शविलेल्या घातांक नियमानुसार त्याचे मोठेपणा वेळेनुसार कमी होते.3. काटेकोरपणे सांगायचे तर, हे कंपन aperiodic आहे, परंतु त्याच्या शिखराची वारंवारता खालीलप्रमाणे परिभाषित केली जाऊ शकते:

मोठेपणा कमी होण्याचा दर म्हणतात, जेथे कंपनाचा कालावधी असतो. मोठेपणा कमी होण्याच्या दराच्या नैसर्गिक लॉगरिथमला लॉगरिथम वजा (मोठेपणा) दर म्हणतात. अर्थात, =, या प्रकरणात, 2/1 च्या बरोबरीचे आहे. थेट प्रायोगिक चाचणी डेल्टा आणि, वरील सूत्र वापरून गणना केली जाऊ शकते c.

यावेळी, समीकरण (2) चे समाधान लिहिले जाऊ शकते:

सुरुवातीच्या वेगाच्या दिशेसह, अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे ते कंपन नसलेल्या तीन प्रकरणांमध्ये विभागले जाऊ शकते.4.

N < (मोठ्या डॅम्पिंगच्या बाबतीत), समीकरण (2) चे समाधान समीकरण (3) मध्ये दर्शविले आहे. या टप्प्यावर, प्रणाली यापुढे कंपन करत नाही.

सक्तीचे कंपन

सतत उत्तेजना अंतर्गत प्रणालीचे कंपन. कंपन विश्लेषण प्रामुख्याने उत्तेजनासाठी प्रणालीच्या प्रतिसादाची तपासणी करते. नियतकालिक उत्तेजना ही एक सामान्य नियमित उत्तेजना असते. कारण नियतकालिक उत्तेजना नेहमी अनेक हार्मोनिक उत्तेजनांच्या बेरीजमध्ये विघटित केली जाऊ शकते, सुपरपोझिशन तत्त्वानुसार, फक्त प्रत्येक हार्मोनिक उत्तेजनासाठी सिस्टमचा प्रतिसाद आवश्यक आहे. हार्मोनिक उत्तेजनाच्या क्रियेच्या अंतर्गत, एका डिग्रीच्या स्वातंत्र्य ओलसर प्रणालीच्या गतीचे विभेदक समीकरण लिहिले जाऊ शकते:

प्रतिसाद ही दोन भागांची बेरीज आहे.एक भाग म्हणजे ओलसर कंपनाचा प्रतिसाद, जो कालांतराने झपाट्याने नष्ट होतो. सक्तीच्या कंपनाच्या दुसऱ्या भागाचा प्रतिसाद लिहिला जाऊ शकतो:

अंजीर.3 ओलसर कंपन वक्र

अंजीर.गंभीर डॅम्पिंगसह तीन प्रारंभिक स्थितींचे 4 वक्र

मध्ये टाइप करा

H/F0= h (), हे स्थिर प्रतिसाद मोठेपणा ते उत्तेजना मोठेपणाचे गुणोत्तर आहे, मोठेपणा-फ्रिक्वेंसी वैशिष्ट्यांचे वैशिष्ट्य किंवा लाभ कार्य;स्थिर स्थितीच्या प्रतिसादासाठी बिट्स आणि टप्प्याचे प्रोत्साहन, फेज वारंवारता वैशिष्ट्यांचे वैशिष्ट्य. त्यांच्यातील संबंध आणि उत्तेजनाची वारंवारता अंजीर मध्ये दर्शविली आहे.5 आणि अंजीर.6.

मोठेपणा-वारंवारता वक्र (FIG. 5) वरून पाहिले जाऊ शकते, लहान डॅम्पिंगच्या बाबतीत, मोठेपणा-वारंवारता वक्र एकच शिखर आहे. जितके लहान ओलसर तितके उंच शिखर; शिखराशी संबंधित वारंवारता याला सिस्टीमची रेझोनंट फ्रिक्वेन्सी म्हणतात. छोट्या डॅम्पिंगच्या बाबतीत, रेझोनान्स फ्रिक्वेंसी नैसर्गिक फ्रिक्वेंसीपेक्षा फारशी वेगळी नसते. जेव्हा उत्तेजनाची वारंवारता नैसर्गिक वारंवारतेच्या जवळ असते, तेव्हा मोठेपणा झपाट्याने वाढते.या घटनेला रेझोनान्स म्हणतात. रेझोनान्सच्या वेळी, सिस्टमचा फायदा जास्तीत जास्त केला जातो, म्हणजेच सक्तीचे कंपन सर्वात तीव्र असते. म्हणून, सर्वसाधारणपणे, नेहमी अनुनाद टाळण्याचा प्रयत्न करा, जोपर्यंत काही साधने आणि उपकरणे मोठ्या प्रमाणात रेझोनान्सचा वापर करत नाहीत. कंपन

अंजीर.5 मोठेपणा वारंवारता वक्र

फेज फ्रिक्वेंसी वक्र (आकृती 6) वरून पाहिले जाऊ शकते, ओमेगा शून्य फेज फरक बिट = PI / 2 मध्ये, ओमेगाच्या आकाराकडे दुर्लक्ष करून, रेझोनान्स मोजण्यासाठी हे वैशिष्ट्य प्रभावीपणे वापरले जाऊ शकते.

स्थिर उत्तेजना व्यतिरिक्त, प्रणालींना कधीकधी अस्थिर उत्तेजना येते. ती ढोबळपणे दोन प्रकारांमध्ये विभागली जाऊ शकते: एक म्हणजे अचानक होणारा परिणाम. दुसरा म्हणजे अनियंत्रितपणाचा चिरस्थायी प्रभाव. अस्थिर उत्तेजना अंतर्गत, प्रणालीचा प्रतिसाद देखील अस्थिर असतो.

अस्थिर कंपनाचे विश्लेषण करण्यासाठी एक शक्तिशाली साधन म्हणजे आवेग प्रतिसाद पद्धत. ते सिस्टमच्या युनिट आवेग इनपुटच्या क्षणिक प्रतिसादासह सिस्टमच्या गतिशील वैशिष्ट्यांचे वर्णन करते. युनिट आवेग डेल्टा कार्य म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकते. अभियांत्रिकीमध्ये, डेल्टा फंक्शनची अनेकदा व्याख्या केली जाते:

जेथे 0- डावीकडून शून्याकडे जाणारा टी-अक्षावरील बिंदू दर्शवितो; 0 अधिक म्हणजे उजवीकडून 0 वर जाणारा बिंदू.

अंजीर.6 फेज वारंवारता वक्र

अंजीर.7 कोणतेही इनपुट आवेग घटकांच्या मालिकेची बेरीज म्हणून मानले जाऊ शकते

प्रणाली t=0 वर युनिट आवेग द्वारे व्युत्पन्न केलेल्या h(t) प्रतिसादाशी संबंधित आहे, ज्याला आवेग प्रतिसाद कार्य म्हणतात. प्रणाली नाडीच्या आधी स्थिर आहे असे गृहीत धरून, t<0 साठी h(t)=0. जाणून घेणे सिस्टमचे आवेग प्रतिसाद कार्य, आम्ही कोणत्याही इनपुट x(t) ला प्रणालीचा प्रतिसाद शोधू शकतो. या टप्प्यावर, तुम्ही x(t) चा विचार आवेग घटकांच्या मालिकेची बेरीज म्हणून करू शकता (FIG. 7) .प्रणालीचा प्रतिसाद आहे:

सुपरपोझिशन तत्त्वावर आधारित, x(t) शी संबंधित प्रणालीचा एकूण प्रतिसाद आहे:

या इंटिग्रलला कॉन्व्होल्यूशन इंटिग्रल किंवा सुपरपोझिशन इंटिग्रल म्हणतात.

बहु-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणालीचे रेखीय कंपन

n≥2 अंश स्वातंत्र्यासह रेखीय प्रणालीचे कंपन.

आकृती 8 कपलिंग स्प्रिंगद्वारे जोडलेली दोन सोपी रेझोनंट उपप्रणाली दर्शविते. कारण ही दोन-डिग्री-ऑफ-स्वातंत्र्य प्रणाली आहे, तिचे स्थान निश्चित करण्यासाठी दोन स्वतंत्र समन्वय आवश्यक आहेत. या प्रणालीमध्ये दोन नैसर्गिक वारंवारता आहेत:

प्रत्येक वारंवारता कंपनाच्या मोडशी संबंधित असते. हार्मोनिक ऑसिलेटर समान वारंवारतेचे हार्मोनिक दोलन पार पाडतात, समकालिकपणे समतोल स्थितीतून जातात आणि समकालिकपणे अत्यंत स्थितीत पोहोचतात. ओमेगा वनशी संबंधित मुख्य कंपनामध्ये, x1 x2 च्या बरोबरीचे असते; ओमेगा ओमेगा टू, ओमेगा ओमेगा वन शी संबंधित मुख्य कंपन. मुख्य कंपनामध्ये, प्रत्येक वस्तुमानाचे विस्थापन गुणोत्तर एक विशिष्ट संबंध ठेवते आणि एक विशिष्ट मोड तयार करते, ज्याला मुख्य मोड किंवा नैसर्गिक मोड म्हणतात. वस्तुमान आणि ऑर्थोगोनॅलिटी मुख्य मोडमध्ये कडकपणा अस्तित्त्वात असतो, जो प्रत्येक कंपनाचे स्वातंत्र्य प्रतिबिंबित करतो. नैसर्गिक वारंवारता आणि मुख्य मोड स्वातंत्र्य प्रणालीच्या बहु-डिग्रीच्या अंतर्निहित कंपन वैशिष्ट्यांचे प्रतिनिधित्व करतात.

अंजीर.8 स्वातंत्र्याच्या एकाधिक अंशांसह प्रणाली

स्वातंत्र्याच्या n अंशांच्या प्रणालीमध्ये n नैसर्गिक फ्रिक्वेन्सी आणि n मुख्य मोड असतात. सिस्टीमचे कोणतेही कंपन कॉन्फिगरेशन हे प्रमुख मोड्सचे एक रेषीय संयोजन म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. म्हणून, मुख्य मोड सुपरपोझिशन पद्धत बहुविधांच्या डायनॅमिक प्रतिसाद विश्लेषणामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. -dof प्रणाली. अशा प्रकारे, प्रणालीच्या नैसर्गिक कंपन वैशिष्ट्यांचे मोजमाप आणि विश्लेषण ही प्रणालीच्या डायनॅमिक डिझाइनमध्ये एक नियमित पायरी बनते.

मल्टी-डॉफ सिस्टम्सच्या डायनॅमिक वैशिष्ट्यांचे वर्णन वारंवारता वैशिष्ट्यांद्वारे देखील केले जाऊ शकते. प्रत्येक इनपुट आणि आउटपुटमध्ये वारंवारता वैशिष्ट्यपूर्ण कार्य असल्याने, एक वारंवारता वैशिष्ट्यपूर्ण मॅट्रिक्स तयार केले जाते. बहु-स्वातंत्र्य प्रणालीचे मोठेपणा-वारंवारता वैशिष्ट्यपूर्ण वक्र भिन्न असते. एकल-स्वातंत्र्य प्रणालीपासून.

इलास्टोमर कंपन करतो

वरील बहु-पदवी स्वातंत्र्य प्रणाली हे इलास्टोमरचे अंदाजे यांत्रिक मॉडेल आहे. इलास्टोमरमध्ये अमर्याद प्रमाणात स्वातंत्र्य असते. दोन्हीमध्ये परिमाणवाचक फरक असतो परंतु आवश्यक फरक नसतो. कोणत्याही इलास्टोमरमध्ये अनंत संख्येने नैसर्गिक फ्रिक्वेन्सी असतात आणि अनंत संख्येने संबंधित मोड, आणि वस्तुमान आणि कडकपणाच्या पद्धतींमध्ये ऑर्थोगोनॅलिटी आहे. इलास्टोमरचे कोणतेही कंपनात्मक कॉन्फिगरेशन हे मुख्य मोड्सचे एक रेषीय सुपरपोझिशन म्हणून देखील प्रस्तुत केले जाऊ शकते. म्हणून, इलास्टोमरच्या डायनॅमिक प्रतिसाद विश्लेषणासाठी, सुपरपोझिशन पद्धत मुख्य मोड अजूनही लागू आहे (इलास्टोमरचे रेखीय कंपन पहा).

स्ट्रिंगचे कंपन घ्या. समजू या की प्रति युनिट लांबी, लांब l वस्तुमानाची एक पातळ स्ट्रिंग दोन्ही टोकांना ताणलेली आहे आणि ताण T आहे. यावेळी, स्ट्रिंगची नैसर्गिक वारंवारता खालीलप्रमाणे निर्धारित केली जाते. समीकरण:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

कुठे, स्ट्रिंगच्या दिशेने ट्रान्सव्हर्स वेव्हचा प्रसार वेग आहे. स्ट्रिंगची नैसर्गिक फ्रिक्वेन्सी 2l पेक्षा जास्त मूलभूत फ्रिक्वेन्सीच्या पटीत असते. या पूर्णांक गुणाकारामुळे एक आनंददायी हार्मोनिक रचना असते. सर्वसाधारणपणे, तेथे कोणतेही नाही इलास्टोमरच्या नैसर्गिक फ्रिक्वेन्सींमधील अशा पूर्णांक बहुविध संबंध.

ताणलेल्या स्ट्रिंगचे पहिले तीन मोड अंजीर मध्ये दर्शविले आहेत.9. मुख्य मोड वक्र वर काही नोड्स आहेत. मुख्य कंपनात, नोड्स कंपन होत नाहीत. FIG.10 वर्तुळे आणि व्यासांनी बनलेल्या काही नोडल रेषा असलेल्या परिघाने समर्थित वर्तुळाकार प्लेटचे अनेक विशिष्ट मोड दर्शविते.

इलॅस्टोमर कंपन समस्येचे अचूक सूत्रीकरण आंशिक विभेदक समीकरणांची सीमा मूल्य समस्या म्हणून निष्कर्ष काढले जाऊ शकते. तथापि, अचूक समाधान फक्त काही सोप्या प्रकरणांमध्ये शोधले जाऊ शकते, म्हणून आम्हाला जटिल इलॅस्टोमरसाठी अंदाजे समाधानाचा अवलंब करावा लागेल. कंपन समस्या. निरनिराळ्या अंदाजे उपायांचे सार म्हणजे अमर्याद ते मर्यादित बदलणे, म्हणजे, स्वातंत्र्य प्रणालीच्या (अखंड प्रणाली) अवयव-रहित बहु-पदवी स्वातंत्र्य प्रणालीच्या मर्यादित मल्टी-डिग्रीमध्ये (डिस्क्रिट सिस्टम) वेगळे करणे. .अभियांत्रिकी विश्लेषणामध्ये मोठ्या प्रमाणावर दोन प्रकारच्या विवेक पद्धती वापरल्या जातात: मर्यादित घटक पद्धत आणि मोडल संश्लेषण पद्धत.

अंजीर.स्ट्रिंगचा 9 मोड

अंजीर.गोलाकार प्लेटचा 10 मोड

मर्यादित घटक पद्धत ही एक संमिश्र रचना आहे जी एका जटिल संरचनेचे घटकांच्या मर्यादित संख्येमध्ये अमूर्त करते आणि त्यांना मर्यादित संख्येच्या नोड्सशी जोडते. प्रत्येक युनिट एक इलास्टोमर आहे; घटकांचे वितरण विस्थापन नोड विस्थापनाच्या इंटरपोलेशन फंक्शनद्वारे व्यक्त केले जाते. नंतर प्रत्येक घटकाचे वितरण पॅरामीटर्स प्रत्येक नोडवर एका विशिष्ट स्वरूपात केंद्रित केले जातात आणि स्वतंत्र प्रणालीचे यांत्रिक मॉडेल प्राप्त केले जाते.

मोडल सिंथेसिस म्हणजे जटिल संरचनेचे अनेक सोप्या उपसंरचनांमध्ये विघटन करणे. प्रत्येक उपसंरचनाची कंपन वैशिष्ट्ये समजून घेण्याच्या आधारावर, इंटरफेसवरील समन्वय परिस्थितीनुसार आणि सामान्य कंपन आकारविज्ञानानुसार सबस्ट्रक्चरचे सामान्य संरचनेत संश्लेषण केले जाते. प्रत्येक सबस्ट्रक्चरचे कंपन मॉर्फोलॉजी वापरून रचना प्राप्त केली जाते.

दोन पद्धती भिन्न आणि संबंधित आहेत, आणि संदर्भ म्हणून वापरल्या जाऊ शकतात.मोडल संश्लेषण पद्धत प्रभावीपणे प्रायोगिक मापनासह एकत्रित केली जाऊ शकते ज्यामुळे मोठ्या प्रणालींच्या कंपनासाठी सैद्धांतिक आणि प्रायोगिक विश्लेषण पद्धत तयार केली जाऊ शकते.