रेषीय कंपन म्हणजे काय?

रेषीय कंपनप्रणालीतील घटकांची लवचिकता हुकच्या नियमाच्या अधीन आहे आणि गती दरम्यान निर्माण होणारे अवमंदन बल सामान्यीकृत वेगाच्या पहिल्या समीकरणाच्या (सामान्यीकृत निर्देशांकांचे कालसापेक्ष अवकलज) समानुपाती असते.

संकल्पना

रेषीय प्रणाली सामान्यतः वास्तविक प्रणालीच्या कंपनाचे एक अमूर्त मॉडेल असते. रेषीय कंपन प्रणाली अध्यारोपण तत्त्व लागू करते, म्हणजेच, जर इनपुट x1 च्या क्रियेखाली प्रणालीचा प्रतिसाद y1 असेल आणि इनपुट x2 च्या क्रियेखाली y2 असेल, तर इनपुट x1 आणि x2 च्या क्रियेखाली प्रणालीचा प्रतिसाद y1+y2 असतो.

अध्यारोपण तत्त्वाच्या आधारावर, कोणत्याही इनपुटचे अतिसूक्ष्म आवेगांच्या मालिकेच्या बेरजेमध्ये विघटन केले जाऊ शकते आणि त्यानंतर प्रणालीचा एकूण प्रतिसाद मिळवता येतो. नियतकालिक उत्तेजनाच्या हार्मोनिक घटकांच्या बेरजेचा फूरियर रूपांतराद्वारे हार्मोनिक घटकांच्या मालिकेत विस्तार केला जाऊ शकतो आणि प्रणालीवरील प्रत्येक हार्मोनिक घटकाचा परिणाम स्वतंत्रपणे तपासला जाऊ शकतो. त्यामुळे, स्थिर पॅरामीटर्स असलेल्या रेषीय प्रणालींची प्रतिसाद वैशिष्ट्ये आवेग प्रतिसाद किंवा वारंवारता प्रतिसादाद्वारे वर्णन केली जाऊ शकतात.

आवेग प्रतिसाद म्हणजे एकक आवेगाला दिलेला प्रणालीचा प्रतिसाद, जो काल क्षेत्रात प्रणालीच्या प्रतिसादाची वैशिष्ट्ये दर्शवतो. वारंवारता प्रतिसाद म्हणजे एकक हार्मोनिक आदानाला दिलेला प्रणालीचा प्रतिसाद होय. या दोन्हींमधील संबंध फूरियर रूपांतरणाद्वारे निश्चित केला जातो.

वर्गीकरण

रेषीय कंपनाचे विभाजन एकल-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे रेषीय कंपन आणि बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे रेषीय कंपन असे केले जाऊ शकते.

(1) एकल-स्वातंत्र्य-अंशाच्या प्रणालीचे रेषीय कंपन म्हणजे असे रेषीय कंपन, ज्याचे स्थान सामान्यीकृत निर्देशांकाद्वारे निश्चित केले जाऊ शकते. हे सर्वात सोपे कंपन आहे, ज्यातून कंपनाच्या अनेक मूलभूत संकल्पना आणि वैशिष्ट्ये मिळवता येतात. यामध्ये साधे आवर्ती कंपन, मुक्त कंपन, क्षीणन कंपन आणि सक्तीचे कंपन यांचा समावेश होतो.

साधे आवर्ती कंपन: एखाद्या वस्तूची तिच्या समतोल स्थितीच्या जवळपास, तिच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात असलेल्या पुनरस्थापन बलाच्या प्रभावाखाली, साइनोसायडल नियमानुसार होणारी प्रत्यावर्ती गती.

अवमंदित कंपन: असे कंपन ज्याचा आयाम घर्षण आणि पराविद्युत रोध किंवा इतर ऊर्जा वापरामुळे सतत क्षीण होत जातो.

सक्तीचे कंपन: सततच्या उत्तेजनाखाली प्रणालीचे कंपन.

(२) बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे रेषीय कंपन म्हणजे n≥२ स्वातंत्र्य-अंश असलेल्या रेषीय प्रणालीचे कंपन होय. n स्वातंत्र्य-अंश असलेल्या प्रणालीमध्ये n नैसर्गिक वारंवारता आणि n मुख्य पद्धती असतात. प्रणालीची कोणतीही कंपन रचना मुख्य पद्धतींच्या रेषीय संयोजनाच्या रूपात दर्शविली जाऊ शकते. म्हणून, बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालींच्या गतिशील प्रतिसाद विश्लेषणात मुख्य पद्धती अध्यारोपण पद्धत मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. अशा प्रकारे, प्रणालीच्या नैसर्गिक कंपन वैशिष्ट्यांचे मापन आणि विश्लेषण हे प्रणालीच्या गतिशील अभिकल्पामध्ये एक नियमित पायरी बनते. बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालींची गतिशील वैशिष्ट्ये वारंवारता वैशिष्ट्यांद्वारे देखील वर्णन केली जाऊ शकतात. प्रत्येक इनपुट आणि आउटपुटमध्ये एक वारंवारता वैशिष्ट्य कार्य असल्यामुळे, एक वारंवारता वैशिष्ट्य मॅट्रिक्स तयार केला जातो. वारंवारता वैशिष्ट्य आणि मुख्य पद्धतीमध्ये एक निश्चित संबंध असतो. बहु-स्वातंत्र्य प्रणालीचा आयाम-वारंवारता वैशिष्ट्य वक्र हा एकल-स्वातंत्र्य प्रणालीपेक्षा वेगळा असतो.

एकल स्वातंत्र्य अंश प्रणालीचे रेषीय कंपन

एक रेषीय कंपन ज्यामध्ये प्रणालीची स्थिती सामान्यीकृत निर्देशांकाद्वारे निश्चित केली जाऊ शकते. हे सर्वात सोपे आणि मूलभूत कंपन आहे, ज्यातून कंपनाच्या अनेक मूलभूत संकल्पना आणि वैशिष्ट्ये मिळवता येतात. यामध्ये साधे हार्मोनिक कंपन, अवमंदित कंपन आणि सक्तीचे कंपन यांचा समावेश होतो.

हार्मोनिक कंपन

विस्थापनाच्या प्रमाणात असलेल्या प्रत्यानयन बलाच्या प्रभावाखाली, वस्तू तिच्या समतोल स्थितीजवळ साइनोसायडल पद्धतीने पुढे-मागे होते (आकृती १). येथे X हे विस्थापन आणि t हा वेळ दर्शवतो. या कंपनाची गणितीय अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे आहे:

(1)येथे A हे विस्थापन x चे कमाल मूल्य आहे, ज्याला आयाम म्हणतात आणि ते कंपनाची तीव्रता दर्शवते; ओमेगा n हे प्रति सेकंद कंपनाच्या आयामातील कोनीय वाढ आहे, ज्याला कोनीय वारंवारता किंवा वर्तुळाकार वारंवारता म्हणतात; याला आरंभिक कला म्हणतात. f= n/2 च्या संदर्भात, प्रति सेकंद दोलनांच्या संख्येला वारंवारता म्हणतात; याचा व्यस्त, T=1/f, हा एक चक्र दोलन करण्यास लागणारा वेळ आहे आणि त्याला आवर्तकाल म्हणतात. आयाम A, वारंवारता f (किंवा कोनीय वारंवारता n), आरंभिक कला हे तीन घटक आहेत जे साधे हार्मोनिक कंपन म्हणून ओळखले जातात.

आकृती १ साधे हार्मोनिक कंपन वक्र

आकृती २ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे, एका रेषीय स्प्रिंगने जोडलेल्या केंद्रित वस्तुमान m ने एक साधे हार्मोनिक दोलक तयार होते. जेव्हा समतोल स्थितीपासून कंपनाचे विस्थापन मोजले जाते, तेव्हा कंपनाचे समीकरण खालीलप्रमाणे असते:

स्प्रिंगची ताठरता कुठे आहे. वरील समीकरणाचे सामान्य समाधान (1) आहे. A आणि t=0 वरील प्रारंभिक स्थिती x0 आणि प्रारंभिक वेगावरून निर्धारित केले जाऊ शकते:

परंतु ओमेगा एन हा केवळ सिस्टमच्या स्वतःच्या वैशिष्ट्यांवरून म्हणजेच एम आणि के वरून निर्धारित केला जातो, अतिरिक्त प्रारंभिक परिस्थितींवर अवलंबून नसतो, म्हणून ओमेगा एन ला नैसर्गिक वारंवारता म्हणूनही ओळखले जाते.

आकृती २ एकल स्वातंत्र्य अंश प्रणाली

साध्या हार्मोनिक दोलकासाठी, त्याच्या गतिज ऊर्जा आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज स्थिर असते, म्हणजेच प्रणालीची एकूण यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित राहते. कंपनाच्या प्रक्रियेत, गतिज ऊर्जा आणि स्थितिज ऊर्जा सतत एकमेकांमध्ये रूपांतरित होत असतात.

कंपन कमी करणे

एक कंपन ज्याचा आयाम घर्षण आणि पराविद्युत रोध किंवा इतर ऊर्जा वापरामुळे सतत क्षीण होतो. सूक्ष्म कंपनासाठी, वेग सामान्यतः खूप मोठा नसतो, आणि माध्यमाचा रोध वेगाच्या पहिल्या घाताच्या प्रमाणात असतो, जे असे लिहिता येते की c हा अवमंदन गुणांक आहे. म्हणून, रेषीय अवमंदनासह एका स्वातंत्र्य अंशाचे कंपन समीकरण असे लिहिता येते:

(2)येथे, m = c/2m याला डॅम्पिंग पॅरामीटर म्हणतात, आणि सूत्र (2) चे सामान्य समाधान खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

(3)ओमेगा n आणि पाय (PI) यांच्यातील संख्यात्मक संबंध खालील तीन प्रकारांमध्ये विभागला जाऊ शकतो:

N > (अल्प अवमंदनाच्या बाबतीत) कणामुळे निर्माण होणारे क्षीण कंपन, कंपनाचे समीकरण आहे:

आकृती ३ मध्ये तुटक रेषेने दाखवल्याप्रमाणे, समीकरणात दर्शविलेल्या घातांकीय नियमानुसार त्याचा आयाम वेळेनुसार कमी होतो. तंतोतंत सांगायचे झाल्यास, हे कंपन अनावर्ती आहे, परंतु त्याच्या शिखराची वारंवारता खालीलप्रमाणे परिभाषित केली जाऊ शकते:

याला आयाम घट दर म्हणतात, जिथे हा कंपनाचा आवर्तकाल आहे. आयाम घट दराच्या नैसर्गिक लॉगरिथमला लॉगरिथम वजा (आयाम) दर म्हणतात. साहजिकच, =, या प्रकरणात, 2/1 च्या बरोबर आहे. थेट प्रायोगिक चाचणी डेल्टाद्वारे आणि, वरील सूत्राचा वापर करून c ची गणना केली जाऊ शकते.

यावेळी, समीकरण (2) चे उकल खालीलप्रमाणे लिहिता येते:

सुरुवातीच्या वेगाच्या दिशेसह, आकृती 4 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे त्याचे तीन कंपनरहित प्रकरणांमध्ये विभाजन केले जाऊ शकते.

N < (मोठ्या डॅम्पिंगच्या बाबतीत), समीकरण (2) चे निराकरण समीकरण (3) मध्ये दाखवले आहे. या टप्प्यावर, प्रणाली कंपन करत नाही.

सक्तीचे कंपन

स्थिर उत्तेजनाखालील प्रणालीचे कंपन. कंपन विश्लेषण मुख्यत्वे उत्तेजनेला प्रणालीच्या प्रतिसादाचा अभ्यास करते. नियतकालिक उत्तेजना ही एक वैशिष्ट्यपूर्ण नियमित उत्तेजना आहे. नियतकालिक उत्तेजनेचे नेहमीच अनेक हार्मोनिक उत्तेजनांच्या बेरजेमध्ये विघटन करता येत असल्यामुळे, अध्यारोपण तत्त्वानुसार, केवळ प्रत्येक हार्मोनिक उत्तेजनेला प्रणालीचा प्रतिसाद आवश्यक असतो. हार्मोनिक उत्तेजनेच्या प्रभावाखाली, एकल स्वातंत्र्य कोटीच्या अवमंदित प्रणालीच्या गतीचे अवकल समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

प्रतिसाद हा दोन भागांची बेरीज आहे. एक भाग म्हणजे अवमंदित कंपनाचा प्रतिसाद, जो वेळेनुसार वेगाने कमी होतो. प्रयुक्त कंपनाच्या दुसऱ्या भागाचा प्रतिसाद खालीलप्रमाणे लिहिता येतो:

आकृती ३ मंद कंपन वक्र

आकृती ४ क्रांतिक अवमंदनासह तीन प्रारंभिक परिस्थितींचे वक्र

टाइप करा

H /F0= h (), हे स्थिर प्रतिसाद अॅम्प्लिट्यूड आणि उत्तेजन अॅम्प्लिट्यूड यांचे गुणोत्तर आहे, जे अॅम्प्लिट्यूड-फ्रिक्वेन्सी वैशिष्ट्ये किंवा गेन फंक्शन दर्शवते; स्थिर स्थिती प्रतिसादासाठीचे बिट्स आणि फेजची प्रेरणा, फेज फ्रिक्वेन्सी वैशिष्ट्यांचे वर्णन करतात. त्यांच्यातील आणि उत्तेजन फ्रिक्वेन्सीमधील संबंध आकृती ५ आणि आकृती ६ मध्ये दर्शविला आहे.

आयाम-वारंवारता वक्रावरून (आकृती ५) पाहिल्याप्रमाणे, कमी अवमंदनाच्या बाबतीत, आयाम-वारंवारता वक्राला एकच शिखर असते. अवमंदन जितके कमी, तितके शिखर अधिक तीव्र असते; शिखराशी संबंधित वारंवारतेला प्रणालीची अनुनाद वारंवारता म्हणतात. कमी अवमंदनाच्या बाबतीत, अनुनाद वारंवारता नैसर्गिक वारंवारतेपेक्षा फार वेगळी नसते. जेव्हा उत्तेजन वारंवारता नैसर्गिक वारंवारतेच्या जवळ असते, तेव्हा आयाम वेगाने वाढतो. या घटनेला अनुनाद म्हणतात. अनुनादाच्या वेळी, प्रणालीचा लाभ (गेन) कमाल असतो, म्हणजेच, प्रेरित कंपन सर्वात तीव्र असते. म्हणून, सर्वसाधारणपणे, नेहमी अनुनाद टाळण्याचा प्रयत्न केला जातो, अपवाद फक्त काही उपकरणे आणि साधनांचा, जी मोठे कंपन मिळवण्यासाठी अनुनादाचा वापर करतात.

आकृती ५ आयाम वारंवारता वक्र

फेज फ्रिक्वेन्सी वक्रावरून (आकृती 6) असे दिसून येते की, डॅम्पिंगच्या प्रमाणाची पर्वा न करता, ओमेगा शून्य फेज फरक बिट्स = PI / 2 असल्याने, या वैशिष्ट्याचा उपयोग रेझोनन्स मोजण्यासाठी प्रभावीपणे केला जाऊ शकतो.

स्थिर उत्तेजनेव्यतिरिक्त, प्रणालींना कधीकधी अस्थिर उत्तेजनेचा सामना करावा लागतो. याचे ढोबळमानाने दोन प्रकारांमध्ये वर्गीकरण करता येते: एक म्हणजे अचानक होणारा आघात आणि दुसरा म्हणजे अनिश्चिततेचा दीर्घकाळ टिकणारा परिणाम. अस्थिर उत्तेजनेखाली, प्रणालीचा प्रतिसाद देखील अस्थिर असतो.

अस्थिर कंपनांचे विश्लेषण करण्यासाठी आवेग प्रतिसाद पद्धत हे एक शक्तिशाली साधन आहे. ही पद्धत प्रणालीच्या एकक आवेग आदानाच्या क्षणिक प्रतिसादाद्वारे प्रणालीची गतिमान वैशिष्ट्ये वर्णन करते. एकक आवेग डेल्टा फंक्शन म्हणून व्यक्त केला जाऊ शकतो. अभियांत्रिकीमध्ये, डेल्टा फंक्शनची व्याख्या अनेकदा अशी केली जाते:

येथे 0- हा t-अक्षावरील असा बिंदू आहे जो डावीकडून शून्याकडे जातो; 0+ हा उजवीकडून शून्याकडे जाणारा बिंदू आहे.

आकृती ६ फेज फ्रिक्वेन्सी वक्र

आकृती ७ नुसार, कोणताही इनपुट हा आवेग घटकांच्या मालिकेची बेरीज म्हणून मानला जाऊ शकतो.

ही प्रणाली t=0 वर एकक आवेगाद्वारे निर्माण झालेल्या प्रतिसाद h(t) शी संबंधित आहे, ज्याला आवेग प्रतिसाद कार्य (इम्पल्स रिस्पॉन्स फंक्शन) म्हणतात. आवेगापूर्वी प्रणाली स्थिर आहे असे गृहीत धरल्यास, t<0 साठी h(t)=0 असते. प्रणालीचे आवेग प्रतिसाद कार्य माहित असल्यास, आपण कोणत्याही इनपुट x(t) साठी प्रणालीचा प्रतिसाद शोधू शकतो. या टप्प्यावर, आपण x(t) ला आवेग घटकांच्या मालिकेची बेरीज म्हणून समजू शकता (आकृती ७). प्रणालीचा प्रतिसाद खालीलप्रमाणे आहे:

अध्यारोपण तत्त्वानुसार, x(t) शी संबंधित प्रणालीचा एकूण प्रतिसाद खालीलप्रमाणे आहे:

या समाकलनाला संवलन समाकलन किंवा अध्यारोपण समाकलन म्हणतात.

बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे रेषीय कंपन

n≥2 स्वातंत्र्य कोटी असलेल्या रेषीय प्रणालीचे कंपन.

आकृती ८ मध्ये एका कपलिंग स्प्रिंगने जोडलेल्या दोन साध्या अनुनादी उपप्रणाली दर्शविल्या आहेत. ही दोन-स्वातंत्र्य-अंशांची प्रणाली असल्यामुळे, तिचे स्थान निश्चित करण्यासाठी दोन स्वतंत्र निर्देशांकांची आवश्यकता असते. या प्रणालीमध्ये दोन नैसर्गिक वारंवारता आहेत:

प्रत्येक वारंवारता कंपनाच्या एका पद्धतीशी संबंधित असते. हार्मोनिक ऑसिलेटर एकाच वारंवारतेची हार्मोनिक दोलने करतात, जी एकाच वेळी समतोल स्थितीमधून जातात आणि एकाच वेळी कमाल स्थितीपर्यंत पोहोचतात. ओमेगा एकशी संबंधित मुख्य कंपनामध्ये, x1 हे x2 च्या समान असते; ओमेगा ओमेगा दोनशी संबंधित मुख्य कंपनामध्ये, ओमेगा ओमेगा एकच्या समान असते. मुख्य कंपनामध्ये, प्रत्येक वस्तुमानाचे विस्थापन गुणोत्तर एक विशिष्ट संबंध राखते आणि एक विशिष्ट पद्धत तयार करते, ज्याला मुख्य पद्धत किंवा नैसर्गिक पद्धत म्हणतात. मुख्य पद्धतींमध्ये वस्तुमान आणि ताठरतेची लंबता अस्तित्वात असते, जी प्रत्येक कंपनाचे स्वातंत्र्य दर्शवते. नैसर्गिक वारंवारता आणि मुख्य पद्धत बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीची अंगभूत कंपन वैशिष्ट्ये दर्शवतात.

आकृती ८: अनेक स्वातंत्र्य अंशांसह प्रणाली

n स्वातंत्र्य अंशांच्या प्रणालीमध्ये n नैसर्गिक वारंवारता आणि n मुख्य कंपन पद्धती असतात. प्रणालीच्या कोणत्याही कंपन संरचनेला मुख्य कंपन पद्धतींच्या रेषीय संयोजनाच्या रूपात दर्शवता येते. त्यामुळे, बहु-स्वातंत्र्य अंश प्रणालींच्या गतिकीय प्रतिसाद विश्लेषणात मुख्य कंपन पद्धती अध्यारोपण पद्धतीचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो. अशा प्रकारे, प्रणालीच्या नैसर्गिक कंपन वैशिष्ट्यांचे मापन आणि विश्लेषण हे प्रणालीच्या गतिकीय अभिकल्पामधील एक नियमित टप्पा बनते.

बहु-स्वातंत्र्य प्रणालींची गतिमान वैशिष्ट्ये वारंवारता वैशिष्ट्यांद्वारे देखील वर्णन केली जाऊ शकतात. प्रत्येक इनपुट आणि आउटपुटमध्ये एक वारंवारता वैशिष्ट्य कार्य असल्यामुळे, एक वारंवारता वैशिष्ट्य मॅट्रिक्स तयार केला जातो. बहु-स्वातंत्र्य प्रणालीचा आयाम-वारंवारता वैशिष्ट्य वक्र हा एकल-स्वातंत्र्य प्रणालीच्या वक्रापेक्षा वेगळा असतो.

इलास्टोमर कंपन करतो

वरील बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणाली ही इलास्टोमरचे एक अंदाजित यांत्रिक मॉडेल आहे. इलास्टोमरला अनंत स्वातंत्र्य-अंश असतात. या दोन्हींमध्ये संख्यात्मक फरक आहे, परंतु कोणताही मूलभूत फरक नाही. कोणत्याही इलास्टोमरला अनंत नैसर्गिक वारंवारता आणि अनंत संबंधित मोड्स असतात, आणि वस्तुमान व ताठरतेच्या मोड्समध्ये लंबत्व असते. इलास्टोमरची कोणतीही कंपन रचना मुख्य मोड्सच्या रेषीय अध्यारोपणाद्वारे देखील दर्शविली जाऊ शकते. म्हणून, इलास्टोमरच्या गतिशील प्रतिसादाच्या विश्लेषणासाठी, मुख्य मोडची अध्यारोपण पद्धत अजूनही लागू आहे (इलास्टोमरचे रेषीय कंपन पहा).

तारेच्या कंपनाचे उदाहरण घेऊया. समजा, प्रति एकक लांबी m वस्तुमान आणि l लांबी असलेली एक पातळ तार दोन्ही टोकांना ताणलेली आहे आणि ताण T आहे. यावेळी, तारेची नैसर्गिक वारंवारता खालील समीकरणाने निश्चित केली जाते:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

येथे, हा तारेच्या दिशेने असलेल्या अनुप्रस्थ तरंगाचा प्रसार वेग आहे. तारांच्या नैसर्गिक वारंवारता या मूलभूत वारंवारतेच्या २l भागाकाराच्या पटीत असतात. या पूर्णांक पटीमुळे एक सुखद सुसंवादी रचना निर्माण होते. सर्वसाधारणपणे, इलास्टोमरच्या नैसर्गिक वारंवारतांमध्ये असे कोणतेही पूर्णांक पटीचे नाते नसते.

ताणलेल्या तारेचे पहिले तीन मोड आकृती ९ मध्ये दाखवले आहेत. मुख्य मोड वक्रावर काही नोड्स आहेत. मुख्य कंपनामध्ये, नोड्स कंपन करत नाहीत. आकृती १० मध्ये परिघीय आधार असलेल्या गोलाकार प्लेटचे अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण मोड दाखवले आहेत, ज्यात वर्तुळे आणि व्यासांनी बनलेल्या काही नोडल रेषा आहेत.

इलास्टोमर कंपनाच्या समस्येचे अचूक सूत्र हे आंशिक अवकल समीकरणांची सीमा मूल्य समस्या म्हणून मांडता येते. तथापि, अचूक उपाय केवळ काही सोप्या प्रकरणांमध्येच मिळू शकतो, म्हणून जटिल इलास्टोमर कंपनाच्या समस्येसाठी आपल्याला अंदाजित उपायाचा आधार घ्यावा लागतो. विविध अंदाजित उपायांचे सार म्हणजे अनंताला मर्यादित करणे, म्हणजेच, अवयवरहित बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीचे (सलग प्रणाली) एका मर्यादित बहु-स्वातंत्र्य-अंश प्रणालीमध्ये (असतत प्रणाली) विविक्तकरण करणे. अभियांत्रिकी विश्लेषणात विविक्तकरणाच्या दोन पद्धती मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जातात: ससीम घटक पद्धत आणि मोडल संश्लेषण पद्धत.

आकृती ९ स्ट्रिंगचा मोड

आकृती १० वर्तुळाकार प्लेटची पद्धत

फायनाईट एलिमेंट पद्धत ही एक संयुक्त रचना आहे, जी एका जटिल संरचनेला मर्यादित संख्येच्या घटकांमध्ये रूपांतरित करते आणि त्यांना मर्यादित संख्येच्या नोड्सवर जोडते. प्रत्येक घटक एक इलास्टोमर असतो; घटकाचे वितरण विस्थापन हे नोड विस्थापनाच्या इंटरपोलेशन फंक्शनद्वारे व्यक्त केले जाते. त्यानंतर प्रत्येक घटकाचे वितरण पॅरामीटर्स एका विशिष्ट स्वरूपात प्रत्येक नोडवर केंद्रित केले जातात आणि डिस्क्रीट सिस्टीमचे यांत्रिक मॉडेल मिळवले जाते.

मोडल संश्लेषण म्हणजे एका जटिल संरचनेचे अनेक सोप्या उपसंरचनांमध्ये विघटन होय. प्रत्येक उपसंरचनेच्या कंपन वैशिष्ट्यांच्या आकलनाच्या आधारावर, आंतरपृष्ठावरील समन्वय अटींनुसार उपसंरचनेचे एका सामान्य संरचनेत संश्लेषण केले जाते आणि प्रत्येक उपसंरचनेच्या कंपन आकारविज्ञानाचा वापर करून त्या सामान्य संरचनेचे कंपन आकारविज्ञान मिळवले जाते.

या दोन पद्धती भिन्न आणि संबंधित असून, त्यांचा संदर्भ म्हणून वापर केला जाऊ शकतो. मोठ्या प्रणालींच्या कंपनासाठी एक सैद्धांतिक आणि प्रायोगिक विश्लेषण पद्धत तयार करण्याकरिता, मोडल संश्लेषण पद्धतीला प्रायोगिक मापनासोबत प्रभावीपणे एकत्रित देखील केले जाऊ शकते.