Mi a lineáris rezgés?

Lineáris rezgés: a rendszerben lévő komponensek rugalmassága Hooke törvényének van alávetve, és a mozgás során keletkező csillapító erő arányos az általánosított sebesség első egyenletével (az általánosított koordináták időderiváltjával).

koncepció

A lineáris rendszer általában egy valós rendszer rezgésének absztrakt modellje. A lineáris rezgőrendszer a szuperpozíció elvét alkalmazza, azaz ha a rendszer válasza y1 az x1 bemenet hatására, és y2 az x2 bemenet hatására, akkor a rendszer válasza az x1 és x2 bemenet hatására y1+y2.

A szuperpozíció elve alapján egy tetszőleges bemenet felbontható infinitezimális impulzusok sorozatának összegére, így megkapható a rendszer teljes válasza. Egy periodikus gerjesztés harmonikus komponenseinek összege Fourier-transzformációval harmonikus komponensek sorozatává bontható, és az egyes harmonikus komponensek hatása a rendszerre külön vizsgálható. Ezért az állandó paraméterekkel rendelkező lineáris rendszerek válaszjellemzői impulzusválasszal vagy frekvenciaválasszal írhatók le.

Az impulzusválasz a rendszernek az egységimpulzusra adott válaszára utal, amely jellemzi a rendszer válaszjellemzőit az időtartományban. A frekvenciaválasz a rendszernek az egységharmonikus bemenetre adott válaszjellemzőjére utal. A kettő közötti megfelelést a Fourier-transzformáció határozza meg.

osztályozás

A lineáris rezgés egy szabadságfokú rendszerű lineáris rezgésre és több szabadságfokú rendszerű lineáris rezgésre osztható.

(1) Az egy szabadságfokú rendszer lineáris rezgése olyan lineáris rezgés, amelynek helyzete általánosított koordinátával határozható meg. Ez a legegyszerűbb rezgés, amelyből a rezgés számos alapfogalma és jellemzője levezethető. Magában foglalja az egyszerű harmonikus rezgést, a szabad rezgést, a csillapodási rezgést és a kényszerített rezgést.

Egyszerű harmonikus rezgés: egy test alternáló mozgása az egyensúlyi helyzetének közelében egy szinuszos törvény szerint, az elmozdulásával arányos helyreállító erő hatására.

Csillapított rezgés: olyan rezgés, amelynek amplitúdóját folyamatosan csökkenti a súrlódás és a dielektromos ellenállás, vagy más energiafogyasztás.

Kényszerített rezgés: egy rendszer rezgése állandó gerjesztés alatt.

(2) A több szabadságfokú rendszer lineáris rezgése az n≥2 szabadságfokú lineáris rendszer rezgése. Egy n szabadságfokú rendszer n természetes frekvenciával és n fő módussal rendelkezik. A rendszer bármely rezgési konfigurációja a fő módusok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért a fő módus szuperpozíciós módszerét széles körben alkalmazzák a több szabadságfokú rendszerek dinamikus válaszanalízisében. Ily módon a rendszer természetes rezgési jellemzőinek mérése és elemzése a rendszer dinamikus tervezésének rutinszerű lépésévé válik. A több szabadságfokú rendszerek dinamikus jellemzői frekvenciajellemzőkkel is leírhatók. Mivel minden bemenet és kimenet között frekvenciajellemző függvény van, egy frekvenciajellemző mátrixot konstruálnak. A frekvenciajellemző és a fő módus között határozott kapcsolat van. A több szabadságfokú rendszer amplitúdó-frekvencia jelleggörbéje eltér az egy szabadságfokú rendszerétől.

Egyetlen szabadságfokú rendszer lineáris rezgése

Egy lineáris rezgés, amelyben egy rendszer helyzete általánosított koordinátával meghatározható. Ez a legegyszerűbb és legalapvetőbb rezgés, amelyből a rezgés számos alapfogalma és jellemzője levezethető. Magában foglalja az egyszerű harmonikus rezgést, a csillapított rezgést és a kényszerített rezgést.

Harmonikus rezgés

Az elmozdulással arányos helyreállító erő hatására a tárgy szinuszos alakban alternál az egyensúlyi helyzete közelében (1. ÁBRA). X az elmozdulást, t pedig az időt jelöli. Ennek a rezgésnek a matematikai kifejezése:

(1)Ahol A az x elmozdulás maximális értéke, amelyet amplitúdónak nevezünk, és a rezgés intenzitását jelöli; Omega n a rezgés amplitúdója, a másodpercenkénti szögnövekedés, amelyet szögfrekvenciának vagy körfrekvenciának nevezünk; Ezt nevezzük kezdeti fázisnak. f=n/2 kifejezéssel kifejezve a másodpercenkénti rezgések számát frekvenciának nevezzük; ennek inverze, T=1/f, az az idő, amely egy ciklus lefutásához szükséges, és ezt nevezzük periódusidőnek. Az A amplitúdó, f frekvencia (vagy szögfrekvencia n), a kezdeti fázis, amelyet egyszerű harmonikus rezgésnek nevezünk, három elemből áll.

1. ÁBRA: egyszerű harmonikus rezgési görbe

Amint a 2. ábrán látható, egy egyszerű harmonikus oszcillátort egy lineáris rugó által összekötött koncentrált m tömeg alkot. Amikor a rezgési elmozdulást az egyensúlyi helyzetből számítjuk ki, a rezgési egyenlet a következő:

Ahol a rugó merevsége. A fenti egyenlet általános megoldása (1).A és az x0 kezdeti helyzettel, valamint a t=0 időpontbeli kezdeti sebességgel határozható meg:

De az omega n-t csak magának a rendszernek az m és k jellemzői határozzák meg, függetlenül a további kezdeti feltételektől, ezért az omega n-t természetes frekvenciának is nevezik.

2. ÁBRA Egyetlen szabadságfokú rendszer

Egy egyszerű harmonikus oszcillátor esetében a mozgási energiájának és a potenciális energiájának összege állandó, azaz a rendszer teljes mechanikai energiája megmarad. A rezgés során a mozgási energia és a potenciális energia folyamatosan átalakul egymásba.

A csillapító rezgés

Olyan rezgés, amelynek amplitúdóját folyamatosan csillapítja a súrlódás és a dielektromos ellenállás vagy más energiafogyasztás. Mikrorezgés esetén a sebesség általában nem túl nagy, és a közeg ellenállása arányos a sebesség első hatványával, ami a következőképpen írható fel: ahol c a csillapítási együttható. Ezért az egy szabadságfokú, lineáris csillapítású rezgési egyenlet a következőképpen írható fel:

(2)Ahol m =c/2m a csillapítási paraméter, és. A (2) képlet általános megoldása felírható:

(3)Az omega n és a PI közötti numerikus összefüggés a következő három esetre osztható:

N > (kis csillapítás esetén) részecske által keltett csillapított rezgés, a rezgési egyenlet:

Amplitúdója idővel csökken az egyenletben látható exponenciális törvény szerint, ahogy azt a 3. ábrán a szaggatott vonal mutatja. Szigorúan véve ez a rezgés aperiodikus, de a csúcsfrekvenciája a következőképpen definiálható:

Ezt amplitúdócsökkenési sebességnek nevezzük, ahol a rezgés periódusideje. Az amplitúdócsökkenési sebesség természetes logaritmusát logaritmus mínusz (amplitúdó) sebességnek nevezzük. Nyilvánvaló, hogy = ebben az esetben egyenlő 2/1-gyel. Közvetlenül a kísérleti teszt delta és alapján a fenti képlettel kiszámítható a c.

Ekkor a (2) egyenlet megoldása felírható:

A kezdeti sebesség irányával együtt három nem rezgéses esetre osztható, ahogy az a 4. ábrán látható.

N < (nagy csillapítás esetén), a (2) egyenlet megoldását a (3) egyenlet mutatja. Ezen a ponton a rendszer már nem rezeg.

Kényszerített rezgés

Egy rendszer rezgése állandó gerjesztés alatt. A rezgésanalízis főként a rendszer gerjesztésre adott válaszát vizsgálja. A periodikus gerjesztés egy tipikus szabályos gerjesztés. Mivel a periodikus gerjesztés mindig több harmonikus gerjesztés összegére bontható, a szuperpozíció elve szerint csak a rendszernek az egyes harmonikus gerjesztésekre adott válaszára van szükség. Harmonikus gerjesztés hatására az egyetlen szabadságfokú csillapított rendszer mozgásegyenlete a következőképpen írható fel:

A válasz két rész összege. Az egyik rész a csillapított rezgés válasza, amely idővel gyorsan csökken. A kényszerített rezgés egy másik részének válasza a következőképpen írható fel:

3. ÁBRA csillapított rezgésgörbe

4. ÁBRA: Három kezdeti feltétel görbéi kritikus csillapítással

Írja be a

H /F0 = h(), az állandósult válasz amplitúdójának és a gerjesztési amplitúdónak aránya, amely az amplitúdó-frekvencia karakterisztikát vagy erősítésfüggvényt jellemzi; Bitek az állandósult állapotú válaszhoz és a fázis ösztönzéséhez, a fázisfrekvencia karakterisztikájának jellemzésére. A köztük lévő kapcsolatot és a gerjesztési frekvenciát az 5. és 6. ábra mutatja.

Amint az az amplitúdó-frekvencia görbéből (5. ábra) látható, kis csillapítás esetén az amplitúdó-frekvencia görbének egyetlen csúcsa van. Minél kisebb a csillapítás, annál meredekebb a csúcs; A csúcsnak megfelelő frekvenciát a rendszer rezonanciafrekvenciájának nevezzük. Kis csillapítás esetén a rezonanciafrekvencia nem sokban különbözik a sajátfrekvenciától. Amikor a gerjesztési frekvencia közel van a sajátfrekvenciához, az amplitúdó meredeken megnő. Ezt a jelenséget rezonanciának nevezzük. Rezonancia esetén a rendszer erősítése maximális, azaz a kényszerített rezgés a legintenzívebb. Ezért általában mindig törekedni kell a rezonancia elkerülésére, kivéve, ha egyes műszerek és berendezések rezonanciát használnak a nagy rezgés eléréséhez.

5. ÁBRA amplitúdó-frekvencia görbe

A fázisfrekvencia görbéből (6. ábra) látható, hogy a csillapítás mértékétől függetlenül, omega nulla fáziskülönbség bitek = PI / 2 esetén ez a karakterisztika hatékonyan használható a rezonancia mérésére.

Az állandó gerjesztés mellett a rendszerek néha instacionárius gerjesztéssel is találkoznak. Ez nagyjából két típusra osztható: az egyik a hirtelen becsapódás. A második az önkényesség tartós hatása. Instacionárius gerjesztés esetén a rendszer válasza is instacionárius.

Az impulzusválasz módszer egy hatékony eszköz a nem stacionárius rezgés elemzésére. A rendszer dinamikus jellemzőit a rendszer egységimpulzus bemenetének tranziens válaszával írja le. Az egységimpulzus delta függvényként fejezhető ki. A mérnöki tudományokban a delta függvényt gyakran a következőképpen definiálják:

Ahol a 0- a t-tengelyen azt a pontot jelöli, amely balról közelíti meg a nullát; a 0 plusz pedig azt a pontot jelöli, amely jobbról tart a 0-hoz.

6. ÁBRA fázisfrekvencia görbe

7. ÁBRA Bármely bemenet impulzuselemek sorozatának összegeként tekinthető

A rendszer megfelel az egységimpulzus által t=0 időpontban generált h(t) válasznak, amelyet impulzusválaszfüggvénynek nevezünk. Feltételezve, hogy a rendszer az impulzus előtt álló, h(t)=0 t<0 esetén. Ismerve a rendszer impulzusválaszfüggvényét, meghatározhatjuk a rendszer válaszát bármely x(t) bemenetre. Ezen a ponton az x(t)-t impulzuselemek sorozatának összegeként képzelhetjük el (7. ÁBRA). A rendszer válasza:

A szuperpozíció elve alapján az x(t)-hez tartozó rendszer teljes válasza:

Ezt az integrált konvolúciós integrálnak vagy szuperpozíciós integrálnak nevezzük.

Több szabadságfokú rendszer lineáris rezgése

n≥2 szabadságfokú lineáris rendszer rezgése.

A 8. ábra két egyszerű rezonáns alrendszert mutat, amelyeket egy csatolórugó köt össze. Mivel ez egy két szabadságfokú rendszer, két független koordinátára van szükség a helyzetének meghatározásához. Ebben a rendszerben két természetes frekvencia van:

Minden frekvencia egy rezgési módnak felel meg. A harmonikus oszcillátorok azonos frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajtanak végre, szinkronban áthaladva az egyensúlyi helyzeten, és szinkronban elérve a szélső helyzetet. Az omega-1-nek megfelelő fő rezgésben x1 egyenlő x2-vel; Az omega-2, omega-1-nek megfelelő fő rezgésben. A fő rezgésben az egyes tömegek elmozdulási aránya egy bizonyos összefüggést tart fenn, és egy bizonyos módust alkot, amelyet fő módusnak vagy természetes módusnak nevezünk. A fő módusok között a tömeg és a merevség ortogonalitása létezik, ami tükrözi az egyes rezgések függetlenségét. A természetes frekvencia és a fő módus a több szabadságfokú rendszer inherens rezgési jellemzőit képviseli.

8. ÁBRA Több szabadságfokú rendszer

Egy n szabadságfokú rendszer n természetes frekvenciával és n fő módussal rendelkezik. A rendszer bármely rezgési konfigurációja a fő módusok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért a fő módus szuperpozíciós módszerét széles körben alkalmazzák a több szabadságfokú rendszerek dinamikus válaszanalízisében. Ily módon a rendszer természetes rezgési jellemzőinek mérése és elemzése a rendszer dinamikus tervezésének rutinszerű lépésévé válik.

A több szabadságfokú rendszerek dinamikus jellemzői frekvenciakarakterisztikákkal is leírhatók. Mivel minden bemenet és kimenet között frekvenciakarakterisztika függvény található, egy frekvenciakarakterisztika mátrixot konstruálunk. A több szabadságfokú rendszer amplitúdó-frekvencia karakterisztika görbéje eltér az egy szabadságfokú rendszerétől.

Az elasztomer rezeg

A fenti több szabadságfokú rendszer az elasztomer közelítő mechanikai modellje. Egy elasztomer végtelen számú szabadságfokkal rendelkezik. Van mennyiségi különbség, de nincs lényegi különbség a kettő között. Bármely elasztomernek végtelen számú természetes frekvenciája és végtelen számú megfelelő módusa van, és a tömeg- és merevségi módok között ortogonalitás van. Az elasztomer bármely rezgési konfigurációja a fő módusok lineáris szuperpozíciójaként is ábrázolható. Ezért az elasztomer dinamikus válaszanalíziséhez a fő módus szuperpozíciós módszere továbbra is alkalmazható (lásd az elasztomer lineáris rezgése).

Vegyük egy húr rezgését. Tegyük fel, hogy egy vékony, egységnyi hosszúságú m tömegű, l hosszúságú húr mindkét végén meg van feszítve, és a feszültség T. Ekkor a húr természetes frekvenciáját a következő egyenlet határozza meg:

F =na/2l (n = 1,2,3…).

Ahol a transzverzális hullám terjedési sebessége a húr irányában. A húrok természetes frekvenciái az alapfrekvencia többszörösei 2l felett. Ez az egész számú többszörösség kellemes harmonikus struktúrát eredményez. Általánosságban elmondható, hogy az elasztomer természetes frekvenciái között nincs ilyen egész számú többszörös kapcsolat.

A feszített húr első három rezgési módját a 9. ábra mutatja. A fő rezgési módusgörbén néhány csomópont található. A fő rezgésben a csomópontok nem rezegnek. A 10. ábra a kerület mentén megtámasztott kör alakú lemez számos tipikus rezgési módját mutatja, néhány csomópontvonallal, amelyek körökből és átmérőkből állnak.

Az elasztomer rezgési probléma pontos megfogalmazása a parciális differenciálegyenletek határérték-problémájaként foglalható össze. Azonban a pontos megoldás csak a legegyszerűbb esetek némelyikében található meg, ezért a komplex elasztomer rezgési probléma közelítő megoldásához kell folyamodnunk. A különböző közelítő megoldások lényege, hogy a végtelent végessé cserélik, azaz a végtag nélküli több szabadságfokú rendszert (folytonos rendszer) véges több szabadságfokú rendszerré (diszkrét rendszerré) diszkretizálják. A mérnöki analízisben kétféle diszkretizációs módszer létezik: a végeselemes módszer és a modális szintézis módszer.

9. ÁBRA: A karakterlánc módja

10. ÁBRA Kör alakú lemez üzemmódja

A végeselemes módszer egy összetett szerkezet, amely egy összetett szerkezetet véges számú elemre absztrahál, és véges számú csomópontban köti össze őket. Minden egység egy elasztomer; az elem eloszlási elmozdulását a csomópont elmozdulásának interpolációs függvénye fejezi ki. Ezután az egyes elemek eloszlási paramétereit egy bizonyos formátumban koncentrálják az egyes csomópontokra, és megkapják a diszkrét rendszer mechanikai modelljét.

A modális szintézis egy összetett szerkezet több egyszerűbb alszerkezetre bontása. Az egyes alszerkezetek rezgési jellemzőinek megértése alapján az alszerkezetet a határfelület koordinációs feltételeinek megfelelően egy általános szerkezetté szintetizálják, és az általános szerkezet rezgési morfológiáját az egyes alszerkezetek rezgési morfológiájának felhasználásával kapják meg.

A két módszer különböző és rokon, így referenciaként is használhatók. A modális szintézis módszer hatékonyan kombinálható a kísérleti mérésekkel, így elméleti és kísérleti elemzési módszert alkotva nagy rendszerek rezgésére.