Zer da bibrazio lineala?

Bibrazio lineala: sistemako osagaien elastikotasuna Hooke-ren legearen menpe dago, eta mugimenduan sortutako moteltze-indarra abiadura orokortuaren lehen ekuazioarekiko proportzionala da (koordenatu orokortuen denbora-deribatua).

kontzeptua

Sistema lineala sistema errealaren bibrazioaren eredu abstraktua izan ohi da.Bibrazio sistema linealak gainjartze-printzipioa aplikatzen du, hau da, sistemaren erantzuna x1 sarreraren eraginez y1 bada, eta x2 sarreraren eraginpean y2, orduan x1 eta x2 sarreraren eraginpean sistemaren erantzuna y1+y2 da.

Gainjartze-printzipioaren arabera, sarrera arbitrario bat bulkada infinitesimalen baturan deskonposa daiteke, eta gero sistemaren erantzun osoa lor daiteke. Kitzikazio periodiko baten osagai harmonikoen batura hedatu daiteke. Fourier transformatuaren osagai harmonikoen serieak, eta osagai harmoniko bakoitzak sisteman duen eragina bereizita iker daitezke.Horregatik, parametro konstanteak dituzten sistema linealen erantzun-ezaugarriak bulkada-erantzunaren edo maiztasunaren erantzunaren bidez deskriba daitezke.

Inpultso-erantzuna sistemak unitate-bulkadari ematen dion erantzunari egiten dio erreferentzia, eta horrek sistemaren erantzun-ezaugarriak ezaugarritzen ditu denbora-eremuan.Maiztasun-erantzuna sistemak unitate-sarrera harmonikoarekiko duen erantzun-ezaugarriari egiten dio erreferentzia.Bien arteko korrespondentzia zehazten da. Fourier transformatuaren bidez.

sailkapena

Bibrazio lineala askatasun-gradu bakarreko sistemaren bibrazio lineala eta askatasun-gradu anitzeko sistemaren bibrazio linealetan bana daiteke.

(1) Askatasun-gradu bakarreko sistema baten bibrazio lineala bibrazio lineal bat da, zeinaren posizioa koordenatu orokortu baten bidez zehaztu daitekeen. Bibrazio sinpleena da, bertatik bibrazioaren oinarrizko kontzeptu eta ezaugarri asko atera daitezkeen. bibrazio harmonikoa, bibrazio askea, atenuazio bibrazioa eta bibrazio behartua.

Bibrazio harmoniko sinplea: bere oreka-posizioaren inguruan objektu baten higidura aldakorra, lege sinusoidal baten arabera, bere desplazamenduarekiko proportzionala den indar berreskuratzaile baten eraginez.

Bibrazio moteldua: marruskadura eta erresistentzia dielektrikoaren edo beste energia-kontsumoaren ondorioz etengabe arintzen den bibrazioa.

Bibrazio behartua: sistema baten bibrazioa etengabeko kitzikapenean.

(2) Askatasun-gradu anitzeko sistemaren bibrazio lineala n≥2 askatasun graduko sistema linealaren bibrazioa da. N askatasun graduko sistema batek n maiztasun natural eta n modu nagusi ditu. Edozein bibrazio-konfigurazio ditu. sistemaren modu nagusien konbinazio lineal gisa irudika daiteke. Hori dela eta, modu nagusiaren gainjartze-metodoa oso erabilia da multi-dof sistemen erantzun dinamikoaren analisian. Modu honetan, bibrazio-ezaugarri naturalak neurtu eta aztertzen dira. sistema sistemaren diseinu dinamikoan ohiko urratsa bihurtzen da.Dof anitzeko sistemen ezaugarri dinamikoak maiztasun-ezaugarrien bidez ere deskriba daitezke.Sarrera eta irteera bakoitzaren artean maiztasun-ezaugarri funtzio bat dagoenez, maiztasun-ezaugarrien matrize bat eraikitzen da. maiztasun-ezaugarriaren eta modu nagusiaren arteko erlazio zehatza da.Askatasun anitzeko sistemaren anplitude-maiztasun ezaugarri-kurba askatasun bakarreko sistemaren desberdina da.

Askatasun-gradu bakarreko sistema baten bibrazio lineala

Bibrazio lineala, non sistema baten posizioa koordenatu orokortu baten bidez zehaztu daitekeen. Bibrazio sinpleena eta oinarrizkoena da, bertatik bibrazioaren oinarrizko kontzeptu eta ezaugarri asko atera daitezkeen. Bibrazio harmoniko sinplea, bibrazio moteldua eta bibrazio behartua barne hartzen ditu. .

Bibrazio harmonikoa

Desplazamenduarekiko proportzionala den indarra berreskuratzearen eraginez, objektuak oreka-posiziotik hurbil modu sinusoidalean egiten du bira (1. IRUDIA).X-k desplazamendua adierazten du eta t-k denbora.Bibrazio honen adierazpen matematikoa hau da:

(1)Non A desplazamenduaren x balio maximoa den, anplitudea deitzen dena, eta bibrazioaren intentsitatea adierazten duena;Omega n bibrazioaren anplitudea segundoko angeluaren gehikuntza da, hau da, maiztasun angeluarra edo maiztasun zirkularra deitzen dena; hasierako fasea deritzo.f= n/2-ri dagokionez, segundoko oszilazio kopuruari maiztasuna deitzen zaio;Honen alderantzizkoa, T=1/f, ziklo bat oszilatzeko behar duen denbora da, eta horri deitzen zaio. periodoa.A anplitudea, f maiztasuna (edo n maiztasun angeluarra), hasierako fasea, hiru elementu bibrazio harmoniko soil gisa ezagutzen dena.

IRUDIA.1 bibrazio harmoniko kurba sinplea

FIG.ean ikusten den bezala.2, osziladore harmoniko sinple bat malguki lineal baten bidez loturiko m masa kontzentratuaren bidez eratzen da. Bibrazio-desplazamendua oreka-posiziotik kalkulatzen denean, bibrazio-ekuazioa hau da:

Non dago malgukiaren zurruntasuna.Goiko ekuazioaren soluzio orokorra (1) da.A eta x0 hasierako posizioaren eta t=0-ko hasierako abiaduraren arabera zehaztu daiteke:

Baina omega n sistemaren beraren ezaugarriek m eta k bakarrik zehazten dute, hasierako baldintza osagarrietatik independentea, beraz, omega n maiztasun naturala bezala ere ezagutzen da.

IRUDIA.2 askatasun gradu bakarreko sistema

Osziladore harmoniko sinple baterako, bere energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura konstantea da, hau da, sistemaren energia mekaniko osoa kontserbatzen da.Bibrazio prozesuan, energia zinetikoa eta energia potentziala etengabe eraldatzen dira elkarren artean.

Bibrazio moteltzailea

Marruskadura eta erresistentzia dielektrikoaren edo beste energia-kontsumoaren ondorioz anplitudea etengabe atenuatzen den bibrazio bat. Mikro-bibraziorako, abiadura ez da, oro har, oso handia, eta erresistentzia ertaina lehen potentziaren abiaduraren proportzionala da, hau c gisa idatz daiteke. moteltze-koefizientea.Beraz, moteltze linealarekin askatasun gradu bateko bibrazio-ekuazioa honela idatz daiteke:

(2)Non, m =c/2m moteltze-parametroa deritzo, eta.(2) formularen soluzio orokorra idatz daiteke:

(3)Omega n eta PIren arteko zenbakizko erlazioa hiru kasu hauetan bana daiteke:

N > (moteltze txikiaren kasuan) partikulak eragindako atenuazio-bibrazioa, bibrazio-ekuazioa hau da:

Bere anplitudea denborarekin murrizten da ekuazioan ageri den lege esponentzialaren arabera, FIG.3. Zorrotz esanda, bibrazio hau aperiodikoa da, baina bere gailurraren maiztasuna honela defini daiteke:

Anplitudearen murrizketa-tasa deritzo, non bibrazio-periodoa den.Anplitude-murrizketa-tasaren logaritmo naturalari ken (anplitudea) tasa logaritmoa deitzen zaio.Jakina, =, kasu honetan, 2/1-ren berdina da.Zuzenean zehar proba esperimentala delta eta, goiko formula erabiliz c kalkula daiteke.

Une honetan, (2) ekuazioaren soluzioa idatz daiteke:

Hasierako abiaduraren norabidearekin batera, bibraziorik gabeko hiru kasutan bana daiteke FIG.4.

N < (moteltze handiaren kasuan), (2) ekuazioaren soluzioa (3) ekuazioan agertzen da.Une honetan, sistemak ez du dardara egiten.

Bibrazio behartua

Kitzikapen etengabeko sistema baten dardara.Bibrazioen analisiak sistemak kitzikapenarekiko duen erantzuna ikertzen du batez ere.Estzitazio periodikoa ohiko kitzikapen erregularra da.Eskuzio periodikoa beti deskonposa daitekeenez hainbat kitzikapen harmonikoren baturan, gainezarpen printzipioaren arabera, soilik. kitzikapen harmoniko bakoitzaren aurrean sistemak duen erantzuna eskatzen da.Eskuzio harmonikoaren eraginez, askatasun gradu bakarreko sistema moteldu baten higidura-ekuazio diferentziala idatz daiteke:

Erantzuna bi zatiren batura da.Zati bat bibrazio motelduaren erantzuna da, denborarekin azkar gainditzen dena.Bibrazio behartuaren beste zati baten erantzuna idatz daiteke:

IRUDIA.3 bibrazio kurba moteldua

IRUDIA.Hasierako hiru baldintzen 4 kurba moteltze kritikoarekin

Idatzi

H /F0= h (), erantzun egonkorreko anplitudearen eta kitzikapenaren anplitudearen arteko erlazioa da, anplitude-maiztasunaren ezaugarriak edo irabazi-funtzioa ezaugarritzen dituena; Egoera egonkorreko erantzuna eta fasearen pizgarriaren bitak, fasearen maiztasunaren ezaugarrien ezaugarriak. Horien arteko erlazioa eta kitzikapen maiztasuna FIG.5 eta FIG.6.

Anplitude-maiztasunaren kurbak (5. IRUDIA) ikus daitekeenez, moteltze txikiaren kasuan, anplitude-maiztasunaren kurbak gailur bakarra du. sistemaren erresonantzia-maiztasuna deitzen zaio.Moteltze txikiaren kasuan, erresonantzia-maiztasuna ez da maiztasun naturalaren oso desberdina.Eszitazio-maiztasuna maiztasun naturaletik hurbil dagoenean, anplitudea nabarmen handitzen da.Fenomeno honi erresonantzia deitzen zaio.Erresonantzian, sistemaren irabazia maximizatzen da, hau da, bibrazio behartua da biziena.Hori dela eta, oro har, beti ahalegindu erresonantzia saihesten, tresna eta ekipo batzuek erresonantzia handia lortzeko erabiltzen ez badute behintzat. dardara.

IRUDIA.5 anplitude-maiztasunaren kurba

Fase-maiztasunaren kurbatik (6. irudia) ikus daiteke, moteltzearen tamaina edozein dela ere, omega zero fase-diferentzia bitetan = PI / 2, ezaugarri hau eraginkortasunez erabil daiteke erresonantzia neurtzeko.

Kitzikapen egonkorraz gain, sistemek batzuetan kitzikapen ezegonkorra topatzen dute.Gutxi gorabehera, bi motatan bana daiteke: bat-bateko inpaktua da.Bigarrena arbitrariotasunaren efektu iraunkorra.Kitzikazio ezegonkorpean, sistemaren erantzuna ere ezegonkorra da.

Bibrazio ezegonkorra aztertzeko tresna indartsua bulkada-erantzun metodoa da. Sistemaren ezaugarri dinamikoak deskribatzen ditu sistemaren unitate-bulkada-sarreraren erantzun iragankorrarekin. Unitate-bulkada delta funtzio gisa adieraz daiteke. Ingeniaritzan, delta. funtzioa honela definitu ohi da:

Non 0-k ezkerretik zerora hurbiltzen den t ardatzeko puntua adierazten du;0 plus eskuinetik 0ra doan puntua da.

IRUDIA.6 faseko maiztasunaren kurba

IRUDIA.7 edozein sarrera bulkada-elementu batzuen batura gisa har daiteke

Sistema t=0-an bulkada unitarioak sortutako h(t) erantzunari dagokio, hau da, bulkada-erantzun funtzioa deritzona.Sistema pultsuaren aurretik geldirik dagoela suposatuz, h(t)=0 t<0-rako. sistemaren bulkada-erantzunaren funtzioa, sistemaren erantzuna aurki dezakegu x(t) edozein sarrerari.Une honetan, x(t) bulkada-elementu batzuen batura dela pentsa dezakezu (7. IRUDIA) .Sistemaren erantzuna hau da:

Gainjartze-printzipioan oinarrituta, x(t)-ri dagokion sistemaren erantzun osoa hau da:

Integral honi konboluzio integrala edo gainjartze integrala deitzen zaio.

Askatasun-gradu anitzeko sistema baten bibrazio lineala

n≥2 askatasun graduko sistema lineal baten bibrazioa.

8. Irudian, akoplamendu-malguki batek loturiko bi erresonantzia azpisistema soil ikusten dira.Bi graduko askatasun-sistema denez, bi koordenatu independente behar dira bere posizioa zehazteko.Sistema honetan bi maiztasun natural daude:

Frekuentzia bakoitzari bibrazio-modu bati dagokio.Osziladore harmonikoek maiztasun bereko oszilazio harmonikoak egiten dituzte, oreka-posiziotik sinkronoki igaroz eta muturreko posiziora sinkronoki iritsiz.Omega bati dagokion bibrazio nagusian, x1 x2-ren berdina da;In omega omega biari dagokion bibrazio nagusia, omega omega bat.Bibrazio nagusian, masa bakoitzaren desplazamendu-erlazioak erlazio jakin bat mantentzen du eta modu jakin bat osatzen du, modu nagusia edo modu naturala deritzona.Masaren ortogonalitatea eta zurruntasuna modu nagusien artean dago, eta horrek bibrazio bakoitzaren independentzia islatzen du. Maiztasun naturalak eta modu nagusiak askatasun maila anitzeko sistemaren berezko bibrazio-ezaugarriak adierazten dituzte.

IRUDIA.Askatasun maila anitz dituen 8 sistema

N askatasun graduko sistema batek n maiztasun natural eta n modu nagusi ditu. Sistemaren edozein bibrazio-konfigurazio modu nagusien konbinazio lineal gisa irudika daiteke. Hori dela eta, modu nagusiaren gainjartze-metodoa asko erabiltzen da erantzun dinamikoaren analisian. -dof sistemak.Horrela, sistemaren bibrazio-ezaugarri naturalak neurtzea eta aztertzea sistemaren diseinu dinamikoan ohiko urratsa bihurtzen da.

Multi-dof sistemen ezaugarri dinamikoak maiztasun-ezaugarrien bidez ere deskriba daitezke. Sarrera eta irteera bakoitzaren artean maiztasun-ezaugarri funtzio bat dagoenez, maiztasun-ezaugarri-matrize bat eraikitzen da.Askatasun anitzeko sistemaren anplitude-maiztasunaren ezaugarri-kurba desberdina da. askatasun bakarreko sistematik.

Elastomeroak dar-dar egiten du

Goiko askatasun-maila anitzeko sistema elastomeroaren gutxi gorabeherako eredu mekaniko bat da. dagozkion modu kopuru infinitu bat, eta masa eta zurruntasun moduen artean ortogonalitatea dago.Elastomeroaren edozein bibrazio-konfigurazio modu nagusien gainjartze lineal gisa ere irudika daiteke.Hori dela eta, elastomeroaren erantzun dinamikoa aztertzeko, gainjartze metodoa modu nagusia oraindik aplikagarria da (ikus elastomeroaren bibrazio lineala).

Hartu sokaren bibrazioa.Eman dezagun luzera unitateko m masako soka mehe bat, l luzea, bi muturretan tenkatzen dela, eta tentsioa T dela.Une honetan, sokaren maiztasun naturala honako hauen arabera zehazten da. ekuazioa:

F =na/2l (n= 1,2,3...).

Non, zeharkako uhinaren hedapen-abiadura da sokaren norabidean zehar. Soken maiztasun naturalak 2l baino gehiagoko oinarrizko maiztasunaren multiploak izaten dira. Aniztasun oso honek egitura harmoniko atsegina dakar. Oro har, ez dago elastomeroaren maiztasun naturalen arteko erlazio anizkoitza oso hori.

Tentatutako sokaren lehen hiru moduak FIG.9. Modu nagusiko kurban nodo batzuk daude.Bibrazio nagusian, nodoek ez dute bibratzen.IRUDIA.10. irudiak zirkunferentziaz lagundutako plaka zirkularren hainbat modu tipiko erakusten ditu zirkuluz eta diametroz osatutako nodo-lerro batzuekin.

Elastomeroaren bibrazio-problemaren formulazio zehatza ekuazio diferentzial partzialen muga-balioaren problema gisa ondoriozta daiteke. Hala ere, soluzio zehatza kasu errazenetako batzuetan bakarrik aurki daiteke, beraz, elastomero konplexuaren gutxi gorabeherako soluziora jo behar dugu. bibrazio-arazoa.Gutxi gorabeherako hainbat soluzioren funtsa infinitua finitura aldatzea da, hau da, gorputz-adarrik gabeko askatasun-gradu anitzeko sistema (sistema jarraitua) askatasun-gradu anitzeko sistema finitu batean (sistema diskretua) aldatzea da. .Ingeniaritza-analisian oso erabiliak diren diskretizazio-metodoak bi mota daude: elementu finituen metodoa eta sintesi modalaren metodoa.

IRUDIA.9 kate modua

IRUDIA.10 plaka zirkular modua

Elementu finituen metodoa egitura konposatu bat da, egitura konplexu bat elementu kopuru finitu batean abstraitzen duena eta nodo kopuru finitu batean lotzen dituena. Elementu bakoitzaren banaketa-parametroak nodo bakoitzean formatu jakin batean kontzentratzen dira, eta sistema diskretuaren eredu mekanikoa lortzen da.

Sintesi modala egitura konplexu bat hainbat azpiegitura sinpleagotan deskonposatzea da. Azpiegitura bakoitzaren bibrazio-ezaugarriak ulertzean oinarrituz, azpiegitura egitura orokor batean sintetizatzen da interfazeko koordinazio-baldintzen arabera, eta orokorreko bibrazio-morfologiaren arabera. egitura azpiegitura bakoitzaren bibrazio-morfologia erabiliz lortzen da.

Bi metodoak desberdinak eta erlazionatuta daude, eta erreferentzia gisa erabil daitezke. Sintesi modalaren metodoa neurketa esperimentalarekin ere eraginkortasunez konbina daiteke sistema handien bibraziorako analisi metodo teoriko eta esperimental bat osatzeko.