Čo je to lineárne vibrovanie?

Lineárne vibrácie: elasticita komponentov v systéme podlieha Hookeovmu zákonu a tlmiaca sila generovaná počas pohybu je úmerná prvej rovnici zovšeobecnenej rýchlosti (časová derivácia zovšeobecnených súradníc).

koncept

Lineárny systém je zvyčajne abstraktný model vibrácií reálneho systému. Lineárny vibračný systém uplatňuje princíp superpozície, to znamená, že ak je odozva systému y1 pri pôsobení vstupu x1 a y2 pri pôsobení vstupu x2, potom je odozva systému pri pôsobení vstupu x1 a x2 y1+y2.

Na základe princípu superpozície možno ľubovoľný vstup rozložiť na súčet série nekonečne malých impulzov a potom získať celkovú odozvu systému. Súčet harmonických zložiek periodického budenia možno rozložiť na sériu harmonických zložiek pomocou Fourierovej transformácie a vplyv každej harmonickej zložky na systém možno skúmať samostatne. Preto možno charakteristiky odozvy lineárnych systémov s konštantnými parametrami opísať impulznou odozvou alebo frekvenčnou odozvou.

Impulzná odozva sa vzťahuje na odozvu systému na jednotkový impulz, ktorý charakterizuje charakteristiky odozvy systému v časovej doméne. Frekvenčná odozva sa vzťahuje na charakteristiku odozvy systému na jednotkový harmonický vstup. Korešpondencia medzi nimi je určená Fourierovou transformáciou.

klasifikácia

Lineárne vibrácie možno rozdeliť na lineárne vibrácie systému s jedným stupňom voľnosti a lineárne vibrácie systému s viacerými stupňami voľnosti.

(1) Lineárne vibrácie systému s jedným stupňom voľnosti sú lineárne vibrácie, ktorých polohu možno určiť zovšeobecnenou súradnicou. Ide o najjednoduchšie vibrácie, z ktorých možno odvodiť mnoho základných konceptov a charakteristík vibrácií. Zahŕňajú jednoduché harmonické vibrácie, voľné vibrácie, útlmové vibrácie a vynútené vibrácie.

Jednoduchá harmonická vibrácia: vratný pohyb objektu v blízkosti jeho rovnovážnej polohy podľa sínusového zákona pod pôsobením vratnej sily úmernej jeho posunutiu.

Tlmené vibrácie: vibrácie, ktorých amplitúda je neustále tlmená v dôsledku trenia a dielektrického odporu alebo inej spotreby energie.

Vynútené vibrácie: vibrácie systému pri konštantnom budení.

(2) Lineárne vibrácie systému s viacerými stupňami voľnosti sú vibráciami lineárneho systému s n ≥ 2 stupňami voľnosti. Systém s n stupňami voľnosti má n vlastných frekvencií a n hlavných módov. Akúkoľvek konfiguráciu vibrácií systému možno reprezentovať ako lineárnu kombináciu hlavných módov. Preto sa metóda superpozície hlavných módov široko používa pri analýze dynamickej odozvy systémov s viacerými stupňami voľnosti. Týmto spôsobom sa meranie a analýza charakteristík vlastných vibrácií systému stáva rutinným krokom v dynamickom návrhu systému. Dynamické charakteristiky systémov s viacerými stupňami voľnosti možno opísať aj frekvenčnými charakteristikami. Keďže medzi každým vstupom a výstupom existuje frekvenčná charakteristická funkcia, zostaví sa matica frekvenčných charakteristík. Existuje jednoznačný vzťah medzi frekvenčnou charakteristikou a hlavným módom. Krivka amplitúdovo-frekvenčnej charakteristiky systému s viacerými stupňami voľnosti sa líši od krivky systému s jednou voľnosťou.

Lineárne vibrácie systému s jedným stupňom voľnosti

Lineárne vibrovanie, pri ktorom možno polohu systému určiť zovšeobecnenou súradnicou. Je to najjednoduchšie a najzákladnejšie vibrovanie, z ktorého možno odvodiť mnoho základných konceptov a charakteristík vibrovania. Zahŕňa jednoduché harmonické vibrovanie, tlmené vibrovanie a vynútené vibrovanie.

Harmonické vibrácie

Pod pôsobením vratnej sily úmernej posunutiu sa objekt pohybuje sínusoidne v blízkosti svojej rovnovážnej polohy (obr. 1). X predstavuje posunutie a t predstavuje čas. Matematický výraz tejto vibrácie je:

(1)Kde A je maximálna hodnota posunutia x, ktorá sa nazýva amplitúda a predstavuje intenzitu vibrácií; omega n je uhlový prírastok amplitúdy vibrácií za sekundu, ktorý sa nazýva uhlová frekvencia alebo kruhová frekvencia; toto sa nazýva počiatočná fáza. V zmysle f = n/2 sa počet kmitov za sekundu nazýva frekvencia; inverzia tejto hodnoty, T = 1/f, je čas potrebný na osciláciu jedného cyklu a nazýva sa perióda. Amplitúda A, frekvencia f (alebo uhlová frekvencia n), počiatočná fáza, známa ako jednoduchá harmonická vibrácia s tromi prvkami.

OBR. 1 jednoduchá harmonická vibračná krivka

Ako je znázornené na obr. 2, jednoduchý harmonický oscilátor je tvorený koncentrovanou hmotou m spojenou lineárnou pružinou. Keď sa vibračné posunutie vypočíta z rovnovážnej polohy, vibračná rovnica je:

Kde je tuhosť pružiny. Všeobecné riešenie vyššie uvedenej rovnice je (1). A a možno ju určiť počiatočnou polohou x0 a počiatočnou rýchlosťou pri t=0:

Ale omega n je určená iba charakteristikami samotného systému m a k, nezávisle od dodatočných počiatočných podmienok, takže omega n je tiež známa ako prirodzená frekvencia.

OBR. 2 systém s jedným stupňom voľnosti

Pre jednoduchý harmonický oscilátor je súčet jeho kinetickej energie a potenciálnej energie konštantný, to znamená, že celková mechanická energia systému je zachovaná. V procese vibrácie sa kinetická energia a potenciálna energia neustále transformujú jedna na druhú.

Tlmiace vibrácie

Vibrácia, ktorej amplitúda je neustále tlmená trením a dielektrickým odporom alebo inou spotrebou energie. Pri mikrovibráciách nie je rýchlosť vo všeobecnosti veľmi veľká a odpor média je úmerný rýchlosti na prvú mocninu, čo možno zapísať ako c je koeficient tlmenia. Preto možno vibračnú rovnicu s jedným stupňom voľnosti a lineárnym tlmením zapísať ako:

(2)Kde m = c/2m sa nazýva parameter tlmenia a. Všeobecné riešenie vzorca (2) možno zapísať ako:

(3)Numerický vzťah medzi omega-n a pí možno rozdeliť do nasledujúcich troch prípadov:

N > (v prípade malého tlmenia) útlm vibrácií spôsobený časticami, vibračná rovnica je:

Jeho amplitúda sa s časom znižuje podľa exponenciálneho zákona znázorneného v rovnici, ako je znázornené bodkovanou čiarou na obr. 3. Presne povedané, táto vibrácia je aperiodická, ale frekvenciu jej vrcholu možno definovať ako:

Nazýva sa miera redukcie amplitúdy, kde je perióda vibrácií. Prirodzený logaritmus miery redukcie amplitúdy sa nazýva logaritmus mínus (amplitúdová) miera. Je zrejmé, že v tomto prípade = sa rovná 2/1. Priamo cez experimentálnu testovaciu deltu a pomocou vyššie uvedeného vzorca možno vypočítať c.

V tomto momente možno riešenie rovnice (2) zapísať ako:

Spolu so smerom počiatočnej rýchlosti ju možno rozdeliť na tri nevibračné prípady, ako je znázornené na obr. 4.

N < (v prípade veľkého tlmenia), riešenie rovnice (2) je znázornené v rovnici (3). V tomto bode systém už nevibruje.

Nútené vibrácie

Vibrácie systému pri konštantnom budení. Analýza vibrácií skúma hlavne odozvu systému na budenie. Periodické budenie je typické pravidelné budenie. Keďže periodické budenie možno vždy rozložiť na súčet niekoľkých harmonických budení, podľa princípu superpozície je potrebná iba odozva systému na každé harmonické budenie. Pri pôsobení harmonického budenia možno zapísať diferenciálnu rovnicu pohybu systému s tlmením jedného stupňa voľnosti:

Odozva je súčtom dvoch častí. Jedna časť je odozva tlmených vibrácií, ktoré s časom rýchlo klesajú. Odozvu druhej časti vynútených vibrácií možno zapísať:

OBR. 3 krivka tlmených vibrácií

OBR. 4 krivky troch počiatočných podmienok s kritickým tlmením

Zadajte

H /F0= h (), je pomer amplitúdy ustálenej odozvy k amplitúde excitácie, charakterizujúci amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky alebo funkciu zosilnenia; Bity pre ustálenú odozvu a fázovú stimuláciu, charakterizácia fázovo-frekvenčných charakteristík. Vzťah medzi nimi a budiacou frekvenciou je znázornený na obr. 5 a obr. 6.

Ako je vidieť z krivky amplitúdovo-frekvenčného signálu (obr. 5), v prípade malého tlmenia má krivka amplitúdovo-frekvenčného signálu jeden vrchol. Čím menšie je tlmenie, tým strmší je vrchol. Frekvencia zodpovedajúca vrcholu sa nazýva rezonančná frekvencia systému. V prípade malého tlmenia sa rezonančná frekvencia príliš nelíši od vlastnej frekvencie. Keď je budiaca frekvencia blízka vlastnej frekvencii, amplitúda prudko rastie. Tento jav sa nazýva rezonancia. Pri rezonancii je zisk systému maximálny, to znamená, že vynútené vibrácie sú najintenzívnejšie. Preto sa vo všeobecnosti vždy snažte vyhnúť rezonancii, pokiaľ niektoré nástroje a zariadenia nepoužívajú rezonanciu na dosiahnutie veľkých vibrácií.

OBR. 5 krivka amplitúdovej frekvencie

Z krivky fázovej frekvencie (obrázok 6) je zrejmé, že bez ohľadu na veľkosť tlmenia, v omega nulovom fázovom rozdiele bitov = PI / 2, možno túto charakteristiku efektívne využiť pri meraní rezonancie.

Okrem ustáleného budenia sa systémy niekedy stretávajú s nestacionárnym budením. Dá sa zhruba rozdeliť na dva typy: prvým je náhly náraz. Druhým je trvalý účinok svojvoľnosti. Pri nestacionárnom budení je aj odozva systému nestacionárna.

Výkonným nástrojom na analýzu nestacionárnych vibrácií je metóda impulznej odozvy. Opisuje dynamické charakteristiky systému s prechodovou odozvou jednotkového impulzného vstupu systému. Jednotkový impulz možno vyjadriť ako delta funkciu. V inžinierstve sa delta funkcia často definuje ako:

Kde 0- predstavuje bod na osi t, ktorý sa blíži k nule zľava; 0 plus je bod, ktorý sa blíži k 0 sprava.

OBR. 6 Krivka fázovej frekvencie

OBR. 7 akýkoľvek vstup možno považovať za súčet série impulzných prvkov

Systém zodpovedá odozve h(t) generovanej jednotkovým impulzom v čase t=0, ktorá sa nazýva funkcia impulznej odozvy. Za predpokladu, že systém je pred impulzom stacionárny, h(t)=0 pre t<0. Keď poznáme funkciu impulznej odozvy systému, môžeme nájsť odozvu systému na akýkoľvek vstup x(t). V tomto bode si môžeme predstaviť x(t) ako súčet série impulzných prvkov (obr. 7). Odozva systému je:

Na základe princípu superpozície je celková odozva systému zodpovedajúca x(t):

Tento integrál sa nazýva konvolučný integrál alebo superpozičný integrál.

Lineárne vibrácie systému s viacerými stupňami voľnosti

Vibrovanie lineárneho systému s n ≥ 2 stupňami voľnosti.

Obrázok 8 zobrazuje dva jednoduché rezonančné subsystémy spojené spojovacou pružinou. Keďže ide o systém s dvoma stupňami voľnosti, na určenie jeho polohy sú potrebné dve nezávislé súradnice. V tomto systéme existujú dve vlastné frekvencie:

Každá frekvencia zodpovedá jednému vibračnému módu. Harmonické oscilátory vykonávajú harmonické kmity rovnakej frekvencie, pričom synchrónne prechádzajú rovnovážnou polohou a synchrónne dosahujú extrémnu polohu. V hlavnej vibrácii zodpovedajúcej omega 1 sa x1 rovná x2; v hlavnej vibrácii zodpovedajúcej omega omega 2 sa omega omega 1 rovná. V hlavnej vibrácii si pomer posunutia každej hmoty zachováva určitý vzťah a tvorí určitý mód, ktorý sa nazýva hlavný mód alebo prirodzený mód. Medzi hlavnými módmi existuje ortogonalita hmoty a tuhosti, čo odráža nezávislosť každej vibrácie. Vlastná frekvencia a hlavný mód predstavujú inherentné vibračné charakteristiky systému s viacerými stupňami voľnosti.

OBR. 8 systém s viacerými stupňami voľnosti

Systém s n stupňami voľnosti má n vlastných frekvencií a n hlavných módov. Akúkoľvek konfiguráciu vibrácií systému možno reprezentovať ako lineárnu kombináciu hlavných módov. Preto sa metóda superpozície hlavných módov široko používa v analýze dynamickej odozvy systémov s viacerými stupňami voľnosti. Týmto spôsobom sa meranie a analýza vlastných vibračných charakteristík systému stáva rutinným krokom v dynamickom návrhu systému.

Dynamické charakteristiky systémov s viacerými stupňami voľnosti možno opísať aj frekvenčnými charakteristikami. Keďže medzi každým vstupom a výstupom existuje frekvenčná charakteristická funkcia, zostrojí sa matica frekvenčných charakteristík. Krivka amplitúdovo-frekvenčnej charakteristiky systému s viacerými stupňami voľnosti sa líši od krivky systému s jednou voľnosťou.

Elastomér vibruje

Vyššie uvedený systém s viacerými stupňami voľnosti je približným mechanickým modelom elastoméru. Elastomér má nekonečný počet stupňov voľnosti. Medzi nimi existuje kvantitatívny rozdiel, ale nie podstatný. Akýkoľvek elastomér má nekonečný počet vlastných frekvencií a nekonečný počet zodpovedajúcich módov a medzi módmi hmotnosti a tuhosti existuje ortogonalita. Akúkoľvek vibračnú konfiguráciu elastoméru možno tiež znázorniť ako lineárnu superpozíciu hlavných módov. Preto je pre analýzu dynamickej odozvy elastoméru stále použiteľná metóda superpozície hlavného módu (pozri lineárne vibrácie elastoméru).

Vezmime si vibráciu struny. Povedzme, že tenká struna s hmotnosťou m na jednotku dĺžky a dĺžkou l je napnutá na oboch koncoch a napätie je T. V tomto čase je vlastná frekvencia struny určená nasledujúcou rovnicou:

F = na/2 l (n = 1, 2, 3…).

Kde je rýchlosť šírenia priečnej vlny pozdĺž smeru struny. Vlastné frekvencie strún sú násobkami základnej frekvencie v rozmedzí 2l. Táto celočíselná násobnosť vedie k príjemnej harmonickej štruktúre. Vo všeobecnosti neexistuje takýto celočíselný násobný vzťah medzi vlastnými frekvenciami elastoméru.

Prvé tri módy napnutej struny sú znázornené na obr. 9. Na krivke hlavného módu sú niektoré uzly. Pri hlavnom vibrovaní uzly nevibrujú. Obr. 10 znázorňuje niekoľko typických módov obvodovo podopretej kruhovej dosky s niektorými uzlovými čiarami zloženými z kružníc a priemerov.

Presnú formuláciu problému vibrácií elastoméru možno zhrnúť ako okrajovú úlohu parciálnych diferenciálnych rovníc. Presné riešenie však možno nájsť iba v niektorých najjednoduchších prípadoch, takže sa musíme uchýliť k približnému riešeniu komplexného problému vibrácií elastoméru. Podstatou rôznych približných riešení je zmena nekonečna na konečné, teda diskretizácia viacstupňového systému bez končatín (spojitý systém) na konečný viacstupňový systém (diskrétny systém). V inžinierskej analýze sa bežne používajú dva druhy diskretizačných metód: metóda konečných prvkov a metóda modálnej syntézy.

OBR. 9 režim reťazca

Obr. 10 režim kruhovej dosky

Metóda konečných prvkov je zložená štruktúra, ktorá rozdeľuje komplexnú štruktúru na konečný počet prvkov a spája ich v konečnom počte uzlov. Každá jednotka je elastomér; rozloženie posunutia prvku je vyjadrené interpolačnou funkciou posunutia uzla. Potom sú rozdeľovacie parametre každého prvku koncentrované do každého uzla v určitom formáte a získa sa mechanický model diskrétneho systému.

Modálna syntéza je rozklad zložitej štruktúry na niekoľko jednoduchších podštruktúr. Na základe pochopenia vibračných charakteristík každej podštruktúry sa podštruktúra syntetizuje do všeobecnej štruktúry podľa koordinačných podmienok na rozhraní a vibračná morfológia všeobecnej štruktúry sa získa pomocou vibračnej morfológie každej podštruktúry.

Tieto dve metódy sú odlišné a súvisiace a možno ich použiť ako referenciu. Metódu modálnej syntézy možno tiež efektívne kombinovať s experimentálnym meraním, čím sa vytvorí teoretická a experimentálna metóda analýzy vibrácií veľkých systémov.