Čo je lineárna vibrácia?

Lineárne vibrácie: elasticita komponentov v systéme podlieha hookeovmu zákonu a tlmiaca sila generovaná počas pohybu je úmerná prvej rovnici zovšeobecnenej rýchlosti (časová derivácia zovšeobecnených súradníc).

koncepcie

Lineárny systém je zvyčajne abstraktný model vibrácií reálneho systému. Systém lineárnych vibrácií uplatňuje princíp superpozície, to znamená, ak odozva systému je y1 pri pôsobení vstupu x1 a y2 pri pôsobení vstupu x2, potom odozva systému pri pôsobení vstupu x1 a x2 je y1+y2.

Na základe princípu superpozície je možné ľubovoľný vstup rozložiť na súčet série nekonečne malých impulzov a potom získať celkovú odozvu systému. Súčet harmonických zložiek periodického budenia možno rozšíriť na sériu harmonických zložiek Fourierovou transformáciou a vplyv každej harmonickej zložky na systém možno skúmať oddelene. Charakteristiky odozvy lineárnych systémov s konštantnými parametrami možno preto opísať impulznou odozvou alebo frekvenčnou odozvou.

Impulzná odozva sa vzťahuje na odozvu systému na jednotkový impulz, ktorý charakterizuje charakteristiky odozvy systému v časovej oblasti. Frekvenčná odozva sa vzťahuje na charakteristiku odozvy systému na jednotkový harmonický vstup. Zhoda medzi týmito dvoma je určená Fourierovou transformáciou.

klasifikácia

Lineárne vibrácie možno rozdeliť na lineárne vibrácie systému s jedným stupňom voľnosti a lineárne vibrácie systému s viacerými stupňami voľnosti.

(1) lineárna vibrácia systému s jedným stupňom voľnosti je lineárna vibrácia, ktorej polohu možno určiť zovšeobecnenou súradnicou. Ide o najjednoduchšiu vibráciu, z ktorej možno odvodiť mnoho základných pojmov a charakteristík vibrácií. harmonické vibrácie, voľné vibrácie, útlmové vibrácie a vynútené vibrácie.

Jednoduché harmonické kmitanie: vratný pohyb objektu v blízkosti jeho rovnovážnej polohy podľa sínusového zákona pri pôsobení vratnej sily úmernej jeho posunutiu.

Tlmené vibrácie: vibrácie, ktorých amplitúda je neustále tlmená prítomnosťou trenia a dielektrického odporu alebo inej spotreby energie.

Vynútené vibrácie: vibrácie systému pri konštantnom budení.

(2) lineárna vibrácia systému s viacerými stupňami voľnosti je vibrácia lineárneho systému s n≥2 stupňami voľnosti. Systém s n stupňami voľnosti má n vlastných frekvencií a n hlavných režimov. Akákoľvek konfigurácia vibrácií Systém môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia hlavných režimov. Preto je metóda superpozície hlavného režimu široko používaná v dynamickej analýze odozvy systémov s viacerými stupňami stupňom stupňom stupňom hlučnosti. systém sa stáva rutinným krokom v dynamickom návrhu systému. Dynamické charakteristiky viacstupňových systémov možno opísať aj frekvenčnými charakteristikami. Keďže medzi každým vstupom a výstupom existuje funkcia frekvenčnej charakteristiky, vytvorí sa matica frekvenčnej charakteristiky. je jednoznačný vzťah medzi frekvenčnou charakteristikou a hlavným režimom. Amplitúdová-frekvenčná charakteristika systému s viacerými voľnosťami je odlišná od krivky systému s jednou voľnosťou.

Lineárne vibrácie systému jedného stupňa voľnosti

Lineárne vibrácie, pri ktorých môže byť poloha systému určená zovšeobecnenou súradnicou. Ide o najjednoduchšie a najzákladnejšie vibrácie, z ktorých možno odvodiť mnoho základných konceptov a charakteristík vibrácií. Zahŕňa jednoduché harmonické vibrácie, tlmené vibrácie a vynútené vibrácie. .

Harmonické vibrácie

Pri pôsobení vratnej sily úmernej posunutiu sa objekt pohybuje sínusovým spôsobom v blízkosti svojej rovnovážnej polohy (obr. 1). X predstavuje posunutie a t predstavuje čas.Matematické vyjadrenie tejto vibrácie je:

(1)kde A je maximálna hodnota posunutia x, ktorá sa nazýva amplitúda a predstavuje intenzitu vibrácií; Omega n je amplitúda Uhlový prírastok vibrácií za sekundu, ktorý sa nazýva uhlová frekvencia alebo kruhová frekvencia; sa nazýva počiatočná fáza. Z hľadiska f= n/2 sa počet kmitov za sekundu nazýva frekvencia; Inverzná k tomu, T=1/f, je čas potrebný na rozkmitanie jedného cyklu, a to je tzv. perióda.Amplitúda A, frekvencia f (alebo uhlová frekvencia n), počiatočná fáza, známa ako jednoduchá harmonická vibrácia troch prvkov.

Obr.1 jednoduchá harmonická vibračná krivka

Ako je znázornené na obr.2 je jednoduchý harmonický oscilátor tvorený sústredenou hmotou m spojenou lineárnou pružinou. Keď sa vibračný posun počíta z rovnovážnej polohy, vibračná rovnica je:

Kde je tuhosť pružiny. Všeobecné riešenie vyššie uvedenej rovnice je (1).A a môže byť určené počiatočnou polohou x0 a počiatočnou rýchlosťou pri t=0:

Ale omega n je určená iba charakteristikami samotného systému ma k, nezávisle od dodatočných počiatočných podmienok, takže omega n je tiež známa ako prirodzená frekvencia.

Obr.2 systém jedného stupňa voľnosti

Pre jednoduchý harmonický oscilátor je súčet jeho kinetickej energie a potenciálnej energie konštantný, to znamená, že celková mechanická energia systému je zachovaná. V procese vibrácií sa kinetická energia a potenciálna energia neustále navzájom premieňajú.

Tlmiace vibrácie

Vibrácie, ktorých amplitúda je neustále tlmená trením a dielektrickým odporom alebo inou spotrebou energie. Pre mikrovibrácie nie je rýchlosť vo všeobecnosti príliš veľká a stredný odpor je úmerný rýchlosti k prvému výkonu, čo možno zapísať ako c je koeficient tlmenia. Preto vibračnú rovnicu jedného stupňa voľnosti s lineárnym tlmením možno zapísať ako:

(2)Kde m =c/2m sa nazýva parameter tlmenia a. Všeobecné riešenie vzorca (2) možno napísať:

(3)Číselný vzťah medzi omega n a PI možno rozdeliť do nasledujúcich troch prípadov:

N > (v prípade malého tlmenia) častice produkované útlmom vibrácií, rovnica vibrácií je:

Jeho amplitúda klesá s časom podľa exponenciálneho zákona znázorneného v rovnici, ako je znázornené bodkovanou čiarou na obr.3. Presne povedané, táto vibrácia je aperiodická, ale frekvenciu jej vrcholu možno definovať ako:

Nazýva sa miera zníženia amplitúdy, kde je perióda vibrácií. Prirodzený logaritmus rýchlosti zníženia amplitúdy sa nazýva rýchlosť logaritmu mínus (amplitúda). Je zrejmé, že = sa v tomto prípade rovná 2/1. Priamo cez experimentálny test delta a pomocou vyššie uvedeného vzorca možno vypočítať c.

V tejto chvíli možno riešenie rovnice (2) napísať:

Spolu so smerom počiatočnej rýchlosti môže byť rozdelená do troch nevibračných prípadov, ako je znázornené na obr.4.

N < (v prípade veľkého tlmenia) je riešenie rovnice (2) znázornené v rovnici (3). V tomto bode už systém nevibruje.

Nútené vibrácie

Vibrácie systému pri konštantnom budení. Analýza vibrácií skúma hlavne odozvu systému na budenie. Periodické budenie je typické pravidelné budenie. Keďže periodické budenie možno vždy rozložiť na súčet niekoľkých harmonických budení, podľa princípu superpozície iba vyžaduje sa odozva systému na každé harmonické budenie. Pôsobením harmonického budenia možno napísať diferenciálnu pohybovú rovnicu systému s tlmením jedného stupňa voľnosti:

Odpoveď je súčtom dvoch častí.Jedna časť je odozva tlmenej vibrácie, ktorá sa s časom rýchlo znižuje. Odozva inej časti vynútenej vibrácie môže byť napísaná:

Obr.3 krivka tlmenia vibrácií

Obr.4 krivky troch počiatočných podmienok s kritickým tlmením

Zadajte

H /F0= h (), je pomer amplitúdy ustálenej odozvy k amplitúde budenia, charakterizujúci amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky alebo funkciu zosilnenia;Bity pre ustálenú odozvu a stimuláciu fázy, charakterizáciu fázových frekvenčných charakteristík. Vzťah medzi nimi a budiaca frekvencia je znázornená na obr.5 a obr.6.

Ako je možné vidieť z krivky amplitúdy-frekvencie (obr. 5), v prípade malého tlmenia má krivka amplitúdy-frekvencie jeden vrchol. Čím menšie je tlmenie, tým je vrchol strmší. Frekvencia zodpovedajúca vrcholu je nazývaná rezonančná frekvencia systému.V prípade malého tlmenia sa rezonančná frekvencia príliš nelíši od vlastnej frekvencie.Keď je budiaca frekvencia blízka vlastnej frekvencii, amplitúda sa prudko zvyšuje.Tento jav sa nazýva rezonancia. Pri rezonancii je zisk systému maximalizovaný, to znamená, že vynútené vibrácie sú najintenzívnejšie. Preto sa vo všeobecnosti vždy snažte rezonancii vyhnúť, pokiaľ niektoré prístroje a zariadenia na použitie rezonancie nedosiahnu veľké vibrácie.

Obr.5 amplitúdová frekvenčná krivka

Z krivky fázovej frekvencie (obrázok 6) je možné vidieť, bez ohľadu na veľkosť tlmenia, v bitoch s nulovým fázovým rozdielom omega = PI / 2, túto charakteristiku možno efektívne použiť pri meraní rezonancie.

Okrem stáleho budenia sa systémy niekedy stretávajú s nestabilným budením. Možno ho rozdeliť zhruba na dva typy: jedným je náhly náraz. Druhým je trvalý účinok svojvôle. Pri nestabilnom budení je odozva systému tiež nestabilná.

Výkonným nástrojom na analýzu nestabilných vibrácií je metóda impulznej odozvy. Opisuje dynamické charakteristiky systému s prechodovou odozvou jednotkového impulzného vstupu systému. Jednotkový impulz môže byť vyjadrený ako delta funkcia. V strojárstve delta funkcia je často definovaná ako:

Kde 0- predstavuje bod na osi t, ktorý sa zľava približuje k nule; 0 plus je bod, ktorý smeruje k 0 sprava.

Obr.6 fázová frekvenčná krivka

Obr.7 akýkoľvek vstup možno považovať za súčet série impulzných prvkov

Systém zodpovedá odozve h(t) generovanej jednotkovým impulzom pri t=0, čo sa nazýva funkcia impulznej odozvy. Za predpokladu, že systém je pred impulzom nehybný, h(t)=0 pre t<0. funkcia impulznej odozvy systému, môžeme nájsť odozvu systému na ľubovoľný vstup x(t). V tomto bode si môžete x(t) predstaviť ako súčet série impulzných prvkov (obr. Odpoveď systému je:

Na základe princípu superpozície, celková odozva systému zodpovedajúca x(t) je:

Tento integrál sa nazýva konvolučný integrál alebo superpozičný integrál.

Lineárne vibrácie systému s viacerými stupňami voľnosti

Vibrácie lineárneho systému s n≥2 stupňami voľnosti.

Obrázok 8 zobrazuje dva jednoduché rezonančné podsystémy spojené spojovacou pružinou. Pretože ide o systém s dvoma stupňami voľnosti, na určenie jeho polohy sú potrebné dve nezávislé súradnice. V tomto systéme sú dve vlastné frekvencie:

Každá frekvencia zodpovedá módu vibrácie. Harmonické oscilátory vykonávajú harmonické kmity rovnakej frekvencie, pričom synchrónne prechádzajú cez rovnovážnu polohu a synchrónne dosahujú krajnú polohu. V hlavnej vibrácii zodpovedajúcej omega jedna sa x1 rovná x2; hlavná vibrácia zodpovedajúca omega omega dva, omega omega jedna. V hlavnej vibrácii si pomer posunutia každej hmoty zachováva určitý vzťah a vytvára určitý režim, ktorý sa nazýva hlavný režim alebo prirodzený režim. Ortogonalita hmoty a medzi hlavnými režimami existuje tuhosť, ktorá odráža nezávislosť každej vibrácie. Prirodzená frekvencia a hlavný režim predstavujú vlastné charakteristiky vibrácií systému viacerých stupňov voľnosti.

Obr.8 systém s viacerými stupňami voľnosti

Systém s n stupňami voľnosti má n vlastných frekvencií a n hlavných režimov. Akákoľvek konfigurácia vibrácií systému môže byť reprezentovaná ako lineárna kombinácia hlavných režimov. Preto je metóda superpozície hlavného režimu široko používaná pri analýze dynamickej odozvy -dof systémy. Týmto spôsobom sa meranie a analýza charakteristík prirodzených vibrácií systému stáva rutinným krokom v dynamickom návrhu systému.

Dynamické charakteristiky multi-dof systémov možno opísať aj frekvenčnými charakteristikami. Keďže medzi každým vstupom a výstupom existuje funkcia frekvenčnej charakteristiky, vytvorí sa matica frekvenčnej charakteristiky. Amplitúdová a frekvenčná charakteristika systému s viacerými voľnosťami je odlišná od systému jedinej slobody.

Elastomér vibruje

Vyššie uvedený systém s viacerými stupňami voľnosti je približný mechanický model elastoméru. Elastomér má nekonečný počet stupňov voľnosti. Existuje kvantitatívny rozdiel, ale nie je medzi nimi žiadny podstatný rozdiel. Každý elastomér má nekonečný počet vlastných frekvencií a nekonečný počet zodpovedajúcich režimov a medzi režimami hmotnosti a tuhosti existuje ortogonalita. Akákoľvek vibračná konfigurácia elastoméru môže byť tiež reprezentovaná ako lineárna superpozícia hlavných režimov. Preto sa pre analýzu dynamickej odozvy elastoméru používa metóda superpozície hlavného režimu je stále použiteľný (pozri lineárne vibrácie elastoméru).

Vezmime si vibráciu struny. Povedzme, že tenká struna s hmotnosťou m na jednotku dĺžky, dlhá l, je napnutá na oboch koncoch a napätie je T. V tomto čase je prirodzená frekvencia struny určená nasledujúcim rovnica:

F = na/2 1 (n = 1,2,3...).

Kde je rýchlosť šírenia priečnej vlny v smere struny. Vlastné frekvencie strún sú násobkami základnej frekvencie nad 2 l. Táto celočíselná násobnosť vedie k príjemnej harmonickej štruktúre. Vo všeobecnosti neexistuje taký celočíselný viacnásobný vzťah medzi vlastnými frekvenciami elastoméru.

Prvé tri režimy napnutej struny sú znázornené na obr.9. Na krivke hlavného režimu je niekoľko uzlov. Pri hlavnej vibrácii uzly nevibrujú. OBR.10 znázorňuje niekoľko typických tvarov obvodovo podoprenej kruhovej dosky s niektorými uzlovými líniami zloženými z kružníc a priemerov.

Presnú formuláciu problému vibrácií elastoméru možno uzavrieť ako okrajový problém parciálnych diferenciálnych rovníc. Presné riešenie však možno nájsť len v niektorých najjednoduchších prípadoch, takže sa musíme uchýliť k približnému riešeniu komplexného elastoméru. vibračný problém.Podstatou rôznych približných riešení je zmena nekonečného na konečný, čiže diskretizácia systému viacerých stupňov voľnosti bez končatín (spojitý systém) na konečný systém viacerých stupňov voľnosti (diskrétny systém) V inžinierskej analýze sa široko používajú dva druhy diskretizačných metód: metóda konečných prvkov a metóda modálnej syntézy.

Obr.9 režim struny

Obr.10 režim kruhovej dosky

Metóda konečných prvkov je zložená štruktúra, ktorá abstrahuje zložitú štruktúru na konečný počet prvkov a spája ich v konečnom počte uzlov. Každá jednotka je elastomér; Distribučné posunutie prvku je vyjadrené interpolačnou funkciou posunutia uzla. distribučné parametre každého prvku sú sústredené do každého uzla v určitom formáte a získa sa mechanický model diskrétneho systému.

Modálna syntéza je rozklad komplexnej štruktúry na niekoľko jednoduchších subštruktúr. Na základe pochopenia vibračných charakteristík každej subštruktúry sa subštruktúra syntetizuje do všeobecnej štruktúry podľa koordinačných podmienok na rozhraní a morfológie vibrácií všeobecnej štruktúra sa získa použitím morfológie vibrácií každej podštruktúry.

Tieto dve metódy sú odlišné a príbuzné a môžu sa použiť ako referenčné. Metódu modálnej syntézy možno tiež efektívne kombinovať s experimentálnym meraním na vytvorenie teoretickej a experimentálnej metódy analýzy vibrácií veľkých systémov.