Bibrazio linealaSistemako osagaien elastikotasuna Hooke-ren legearen menpe dago, eta mugimenduan zehar sortutako moteltze-indarra abiadura orokortuaren lehenengo ekuazioarekiko proportzionala da (koordenatu orokortuen denbora-deribatua).
kontzeptua
Sistema lineala normalean sistema erreal baten bibrazioaren eredu abstraktua da. Bibrazio linealaren sistemak gainjartze printzipioa aplikatzen du, hau da, sistemaren erantzuna y1 bada x1 sarreraren ekintzaren pean, eta y2 x2 sarreraren ekintzaren pean, orduan sistemaren erantzuna x1 eta x2 sarreren ekintzaren pean y1+y2 da.
Superposizio printzipioan oinarrituta, sarrera arbitrario bat bulkada infinitesimalen serie baten baturan deskonposa daiteke, eta gero sistemaren erantzun osoa lor daiteke. Kitzikapen periodiko baten osagai harmonikoen batura osagai harmonikoen serie batean zabaldu daiteke Fourier transformatuaren bidez, eta osagai harmoniko bakoitzak sisteman duen eragina bereizita ikertu daiteke. Beraz, parametro konstanteak dituzten sistema linealen erantzun ezaugarriak bulkada-erantzunaren edo maiztasun-erantzunaren bidez deskriba daitezke.
Bulkada-erantzuna sistemak unitate-bulkadari ematen dion erantzuna da, eta horrek sistemaren erantzun-ezaugarriak denbora-domeinuan ezaugarritzen ditu. Maiztasun-erantzuna sistemak unitate-harmonikoaren sarrerari ematen dion erantzun-ezaugarria da. Bien arteko korrespondentzia Fourier transformatuak zehazten du.
sailkapena
Bibrazio lineala askatasun-gradu bakarreko sistemen bibrazio linealean eta askatasun-gradu anitzeko sistemen bibrazio linealean bana daiteke.
(1) askatasun-gradu bakarreko sistema baten bibrazio lineala koordenatu orokortu baten bidez zehaztu daitekeen posizioa duen bibrazio lineala da. Bibrazioaren oinarrizko kontzeptu eta ezaugarri asko erator daitezkeen bibrazio sinpleena da. Bibrazio harmoniko sinplea, bibrazio askea, ahultze-bibrazioa eta bibrazio behartua barne hartzen ditu.
Bibrazio harmoniko sinplea: objektu batek bere oreka-posizioaren inguruan duen mugimendu sinusoidal baten arabera, bere desplazamenduarekiko proportzionala den leheneratze-indar baten eraginpean.
Bibrazio moteldua: marruskaduraren eta erresistentzia dielektrikoaren edo bestelako energia-kontsumoaren ondorioz anplitudea etengabe ahultzen den bibrazioa.
Bibrazio behartua: sistema baten bibrazioa kitzikapen konstantepean.
(2) askatasun-gradu anitzeko sistemaren bibrazio lineala n≥2 askatasun-gradu dituen sistema linealaren bibrazioa da. n askatasun-graduko sistema batek n maiztasun natural eta n modu nagusi ditu. Sistemaren edozein bibrazio-konfigurazio modu nagusien konbinazio lineal gisa irudika daiteke. Beraz, modu nagusiaren gainjartze-metodoa asko erabiltzen da dof anitzeko sistemen erantzun dinamikoaren analisian. Horrela, sistemaren bibrazio naturalaren ezaugarrien neurketa eta analisia ohiko urrats bihurtzen da sistemaren diseinu dinamikoan. Dof anitzeko sistemen ezaugarri dinamikoak maiztasun-ezaugarrien bidez ere deskriba daitezke. Sarrera eta irteera bakoitzaren artean maiztasun-ezaugarri funtzio bat dagoenez, maiztasun-ezaugarrien matrizea eraikitzen da. Erlazio zehatza dago maiztasun-ezaugarriaren eta modu nagusiaren artean. Askatasun anitzeko sistemaren anplitude-maiztasun ezaugarrien kurba askatasun bakarreko sistemaren kurbatik desberdina da.
Askatasun-gradu bakarreko sistema baten bibrazio lineala
Bibrazio lineala, non sistema baten posizioa koordenatu orokortu baten bidez zehaztu daitekeen. Bibrazio sinpleena eta oinarrizkoena da, eta bibrazioaren oinarrizko kontzeptu eta ezaugarri asko erator daitezke. Bibrazio harmoniko sinplea, bibrazio moteldua eta bibrazio behartua barne hartzen ditu.
Bibrazio harmonikoa
Desplazamenduarekiko proportzionala den leheneratze-indarraren ekintzaren pean, objektua modu sinusoidalean mugitzen da bere oreka-posiziotik gertu (1. IRUDIA). X-k desplazamendua adierazten du eta t-k denbora. Bibrazio honen adierazpen matematikoa hau da:
(1)Non A desplazamenduaren x balio maximoa den, anplitudea deritzona, eta bibrazioaren intentsitatea adierazten duena; Omega n bibrazioaren segundoko anplitude-angeluaren gehikuntza da, maiztasun angeluarra edo maiztasun zirkularra deritzona; hasierako fasea deritzo horri. f = n/2-ren arabera, segundoko oszilazio kopuruari maiztasuna deritzo; alderantzizkoa, T = 1/f, ziklo bat oszilatzeko behar den denbora da, eta horri periodoa deritzo. A anplitudea, f maiztasuna (edo n maiztasun angeluarra), hasierako fasea, hiru elementuko bibrazio harmoniko sinple gisa ezagutzen da.
1. IRUDIA: Bibrazio harmoniko sinplearen kurba
2. IRUDIAN erakusten den bezala, osziladore harmoniko sinple bat sortzen da m masa kontzentratuarekin, malguki lineal batez lotuta. Bibrazio-desplazamendua oreka-posiziotik kalkulatzen denean, bibrazio-ekuazioa hau da:
Non da malgukiaren zurruntasuna. Goiko ekuazioaren soluzio orokorra (1) da.A eta hasierako x0 posizioaren eta hasierako abiaduraren bidez zehaztu daiteke t=0-n:
Baina omega n sistemaren beraren m eta k ezaugarriek bakarrik zehazten dute, hasierako baldintza gehigarrietatik independenteki, beraz, omega n maiztasun naturala bezala ere ezagutzen da.
2. IRUDIA: askatasun-gradu bakarreko sistema
Osziladore harmoniko sinple batentzat, bere energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura konstantea da, hau da, sistemaren energia mekaniko osoa kontserbatzen da. Bibrazio-prozesuan, energia zinetikoa eta energia potentziala etengabe eraldatzen dira elkarrengan.
Bibrazio moteltzailea.
Marruskaduraren eta erresistentzia dielektrikoaren edo bestelako energia-kontsumoaren bidez anplitudea etengabe ahultzen den bibrazioa. Mikrobibraziorako, abiadura ez da normalean oso handia, eta erresistentzia ertaina abiadurarekiko proportzionala da lehenengo potentziarekin, eta hau honela idatz daiteke: c moteltze-koefizientea da. Beraz, askatasun-gradu bateko bibrazio-ekuazioa moteltze linealarekin honela idatz daiteke:
(2)Non m =c/2m moteltze-parametroa den, eta. (2) formularen soluzio orokorra honela idatz daiteke:
(3)Omega n eta PI arteko zenbakizko erlazioa hiru kasu hauetan bana daiteke:
N > (amortiguazio txikiaren kasuan) partikulak sortutako ahultze-bibrazioa bada, bibrazio-ekuazioa hau da:
Bere anplitudea denborarekin gutxitzen da ekuazioan erakusten den lege esponentzialaren arabera, 3. irudiko marra puntuatuan agertzen den bezala. Zehazki esanda, bibrazio hau aperiodikoa da, baina bere gailurraren maiztasuna honela defini daiteke:
Anplitudearen murrizketa-tasa deitzen zaio, non bibrazioaren periodoa den. Anplitudearen murrizketa-tasaren logaritmo naturalari logaritmoa ken (anplitudea) tasa deitzen zaio. Jakina, =, kasu honetan, 2/1-ren berdina da. Zuzenean delta esperimentalaren bidez eta, goiko formula erabiliz c kalkula daiteke.
Une honetan, (2) ekuazioaren soluzioa honela idatz daiteke:
Hasierako abiaduraren norabidearekin batera, hiru kasu ez-bibratzailetan bana daiteke, 4. irudian erakusten den bezala.
N < (amortiguazio handiaren kasuan), (2) ekuazioaren soluzioa (3) ekuazioan ageri da. Puntu honetan, sistemak ez du gehiago bibratzen.
Bibrazio behartua
Sistema baten bibrazioa kitzikapen konstantepean. Bibrazio-analisiak batez ere sistemak kitzikapenarekiko duen erantzuna aztertzen du. Kitzikapen periodikoa kitzikapen erregular tipikoa da. Kitzikapen periodikoa beti hainbat kitzikapen harmonikoren baturan deskonposa daitekeenez, gainjartze-printzipioaren arabera, sistemak kitzikapen harmoniko bakoitzerako duen erantzuna baino ez da behar. Kitzikapen harmonikoaren eraginpean, askatasun-gradu bakarreko sistema moteldu baten mugimendu-ekuazio diferentziala idatz daiteke:
Erantzuna bi zatiren batura da. Zati bat bibrazio motelduaren erantzuna da, denborarekin azkar gutxitzen dena. Bibrazio behartuaren beste zati baten erantzuna honela idatz daiteke:
3. IRUDIA: bibrazio-kurba moteldua
4. IRUDIA. Hasierako hiru baldintzen kurbak, amortiguazio kritikoarekin
Idatzi
H /F0= h (), erantzun egonkorreko anplitudearen eta kitzikapen-anplitudearen arteko erlazioa da, anplitude-maiztasun ezaugarriak edo irabazi-funtzioa karakterizatzen dituena; Egoera egonkorreko erantzunerako eta fasearen pizgarrirako bitak, fase-maiztasun ezaugarrien karakterizazioa. Horien eta kitzikapen-maiztasunaren arteko erlazioa 5. eta 6. irudietan ageri da.
Anplitude-maiztasun kurban ikus daitekeen bezala (5. IRUDIA), amortiguazio txikiaren kasuan, anplitude-maiztasun kurbak gailur bakarra du. Zenbat eta txikiagoa izan amortiguazioa, orduan eta aldapatsuagoa izango da gailurra; Gailurrari dagokion maiztasunari sistemaren erresonantzia-maiztasuna deritzo. Amortiguazio txikiaren kasuan, erresonantzia-maiztasuna ez da oso desberdina maiztasun naturalarekiko. Kitzikapen-maiztasuna maiztasun naturalaren antzekoa denean, anplitudea nabarmen handitzen da. Fenomeno horri erresonantzia deritzo. Erresonantzian, sistemaren irabazia maximizatzen da, hau da, bibrazio behartua da intentsitate handiena duena. Beraz, oro har, beti saiatu erresonantzia saihesten, tresna eta ekipamendu batzuek erresonantzia erabiltzen ez badute bibrazio handia lortzeko.
5. IRUDIA Anplitude-maiztasun kurba
Fase-maiztasunaren kurban ikus daitekeenez (6. irudia), amortiguazioaren tamaina edozein dela ere, omega zero fase-diferentzia bitetan = PI / 2, ezaugarri hau eraginkortasunez erabil daiteke erresonantzia neurtzeko.
Kitzikapen egonkorraz gain, sistemek batzuetan kitzikapen ezegonkorra izaten dute. Bi motatan bana daiteke, gutxi gorabehera: bata bat-bateko inpaktua da. Bigarrena arbitrariotasunaren efektu iraunkorra da. Kitzikapen ezegonkorraren pean, sistemaren erantzuna ere ezegonkorra da.
Bibrazio ezegonkorra aztertzeko tresna indartsua bulkada-erantzunaren metodoa da. Sistemaren ezaugarri dinamikoak deskribatzen ditu sistemaren unitate-bulkada sarreraren erantzun iragankorrarekin. Unitate-bulkada delta funtzio gisa adieraz daiteke. Ingeniaritzan, delta funtzioa honela definitzen da askotan:
Non 0--k t ardatzean ezkerretik zerora husten den puntua adierazten duen; 0 plus eskuinetik 0ra husten den puntua.
6. IRUDIA Fase-maiztasunaren kurba
7. IRUDIA Edozein sarrera elementu bulkada-serie baten baturatzat har daiteke
Sistemak t=0-an unitate-bulkadak sortutako h(t) erantzunari dagokio, eta horri bulkada-erantzun funtzioa deritzo. Sistema geldirik dagoela pultsuaren aurretik suposatuz, h(t)=0 da t<0 denean. Sistemaren bulkada-erantzun funtzioa ezagututa, sistemaren erantzuna x(t) edozein sarrerari aurki dezakegu. Puntu honetan, x(t) bulkada-elementuen serie baten batura gisa pentsa dezakezu (7. IRUDIA). Sistemaren erantzuna hau da:
Superposizio printzipioan oinarrituta, x(t)-ri dagokion sistemaren erantzun osoa hau da:
Integral horri konboluzio-integrala edo gainjartze-integrala deitzen zaio.
Askatasun-gradu anitzeko sistema baten bibrazio lineala
n≥2 askatasun graduko sistema lineal baten bibrazioa.
8. irudiak bi azpisistema erresonante sinple erakusten ditu, akoplamendu-malguki batez konektatuta. Bi askatasun-graduko sistema denez, bi koordenatu independente behar dira bere posizioa zehazteko. Bi maiztasun natural daude sistema honetan:
Maiztasun bakoitza bibrazio modu bati dagokio. Osziladore harmonikoek maiztasun bereko oszilazio harmonikoak egiten dituzte, oreka posiziotik sinkronizatuta igaroz eta muturreko posiziora sinkronizatuta iritsiz. Omega bat-i dagokion bibrazio nagusian, x1 x2-ren berdina da; omega omega bi-ri dagokion bibrazio nagusian, omega omega bat. Bibrazio nagusian, masa bakoitzaren desplazamendu-erlazioak erlazio jakin bat mantentzen du eta modu jakin bat osatzen du, modu nagusia edo modu naturala deitzen dena. Masaren eta zurruntasunaren ortogonalitatea dago modu nagusien artean, eta horrek bibrazio bakoitzaren independentzia islatzen du. Maiztasun naturalak eta modu nagusiak askatasun-gradu anitzeko sistemaren bibrazio-ezaugarri intrintsekoak adierazten dituzte.
8. IRUDIA askatasun-gradu anitz dituen sistema
n askatasun-graduko sistema batek n maiztasun natural eta n modu nagusi ditu. Sistemaren edozein bibrazio-konfigurazio modu nagusien konbinazio lineal gisa irudika daiteke. Beraz, modu nagusiaren gainjartze-metodoa asko erabiltzen da dof anitzeko sistemen erantzun dinamikoaren analisian. Horrela, sistemaren bibrazio naturalaren ezaugarrien neurketa eta analisia ohiko urrats bihurtzen da sistemaren diseinu dinamikoan.
Dof anitzeko sistemen ezaugarri dinamikoak maiztasun-ezaugarrien bidez ere deskriba daitezke. Sarrera eta irteera bakoitzaren artean maiztasun-ezaugarri funtzio bat dagoenez, maiztasun-ezaugarrien matrizea eraikitzen da. Askatasun anitzeko sistemaren anplitude-maiztasun ezaugarrien kurba askatasun bakarreko sistemaren kurbatik desberdina da.
Elastomeroak bibratzen du
Goiko askatasun-gradu anitzeko sistema elastomeroaren eredu mekaniko hurbildua da. Elastomero batek askatasun-gradu kopuru infinitua du. Bien artean alde kuantitatibo bat dago, baina ez dago alde esentzialik. Edozein elastomerok maiztasun natural kopuru infinitua eta dagokien modu kopuru infinitua ditu, eta ortogonalitatea dago masa eta zurruntasun moduen artean. Elastomeroaren edozein bibrazio-konfigurazio modu nagusien gainjartze lineal gisa ere irudika daiteke. Beraz, elastomeroaren erantzun dinamikoaren analisirako, modu nagusiaren gainjartze-metodoa oraindik aplikagarria da (ikus elastomeroaren bibrazio lineala).
Hartu soka baten bibrazioa. Demagun luzera-unitateko m masa duen soka mehe bat, l luzekoa, bi muturretatik tentsioan dagoela, eta tentsioa T dela. Une horretan, sokaren maiztasun naturala ekuazio honen bidez zehazten da:
F = na/2l (n= 1,2,3…).
Non, zeharkako uhinaren hedapen-abiadura den sokaren norabidean. Soken maiztasun naturalak 2l-ren gaineko oinarrizko maiztasunaren multiploak dira. Anizkoitztasun oso honek egitura harmoniko atsegina sortzen du. Oro har, ez dago halako anizkoitztasun oso erlaziorik elastomeroaren maiztasun naturalen artean.
Tentsioan jarritako sokaren lehen hiru moduak 9. IRUDIAN ageri dira. Modu nagusiaren kurban nodo batzuk daude. Bibrazio nagusian, nodoek ez dute bibratzen. 10. IRUDIAK zirkunferentzialki euskarritutako plaka zirkularraren hainbat modu tipiko erakusten ditu, zirkulu eta diametroz osatutako nodo-lerro batzuekin.
Elastomeroen bibrazio-arazoaren formulazio zehatza ekuazio deribatu partzialen muga-balioen problema gisa ondoriozta daiteke. Hala ere, soluzio zehatza kasu sinpleenetan bakarrik aurki daiteke, beraz, elastomeroen bibrazio-arazo konplexuaren soluzio hurbildura jo behar dugu. Soluzio hurbildu desberdinen funtsa infinitua finitu bihurtzea da, hau da, gorputz-adarrik gabeko askatasun-gradu anitzeko sistema (sistema jarraitua) askatasun-gradu anitzeko sistema finitu batean (sistema diskretoa) diskretizatzea. Ingeniaritza-analisian asko erabiltzen diren bi diskretizazio-metodo mota daude: elementu finituen metodoa eta sintesi modalaren metodoa.
9. IRUDIA. Kate modua
10. IRUDIA Plaka zirkularraren modua
Elementu finituen metodoa egitura konposatu bat da, egitura konplexu bat elementu kopuru finitu batean abstraktu eta nodo kopuru finitu batean lotzen duena. Unitate bakoitza elastomero bat da; elementuaren banaketa-desplazamendua nodoen desplazamenduaren interpolazio-funtzioaren bidez adierazten da. Ondoren, elementu bakoitzaren banaketa-parametroak nodo bakoitzean kontzentratzen dira formatu jakin batean, eta sistema diskretuaren eredu mekanikoa lortzen da.
Sintesi modala egitura konplexu bat hainbat azpiegitura sinpleagotan deskonposatzea da. Azpiegitura bakoitzaren bibrazio-ezaugarriak ulertzean oinarrituta, azpiegitura interfazearen koordinazio-baldintzen arabera egitura orokor batean sintetizatzen da, eta egitura orokorraren bibrazio-morfologia azpiegitura bakoitzaren bibrazio-morfologia erabiliz lortzen da.
Bi metodoak desberdinak eta erlazionatuak dira, eta erreferentzia gisa erabil daitezke. Sintesi modalaren metodoa neurketa esperimentalarekin ere modu eraginkorrean konbina daiteke sistema handien bibraziorako analisi teoriko eta esperimentalaren metodo bat osatzeko.
Argitaratze data: 2020ko apirilaren 3a
