Lineær vibrasjon: Elastisiteten til komponentene i systemet er underlagt Hookes lov, og dempningskraften som genereres under bevegelsen er proporsjonal med den første ligningen for den generaliserte hastigheten (tidsderivat av de generaliserte koordinatene).
konsept
Et lineært system er vanligvis en abstrakt modell av vibrasjonen i et virkelig system. Det lineære vibrasjonssystemet anvender superposisjonsprinsippet, det vil si at hvis systemets respons er y1 under påvirkning av inngang x1, og y2 under påvirkning av inngang x2, så er systemets respons under påvirkning av inngang x1 og x2 y1+y2.
Basert på superposisjonsprinsippet kan en vilkårlig inngang dekomponeres til summen av en serie infinitesimale impulser, og deretter kan systemets totale respons oppnås. Summen av de harmoniske komponentene i en periodisk eksitasjon kan utvides til en serie harmoniske komponenter ved hjelp av Fourier-transformasjon, og effekten av hver harmoniske komponent på systemet kan undersøkes separat. Derfor kan responsegenskapene til lineære systemer med konstante parametere beskrives ved impulsrespons eller frekvensrespons.
Impulsrespons refererer til systemets respons på enhetsimpulsen, som karakteriserer systemets responskarakteristikker i tidsdomenet. Frekvensrespons refererer til systemets responskarakteristikk på enhetens harmoniske inngang. Korrespondansen mellom de to bestemmes av Fourier-transformasjonen.
klassifikasjon
Lineær vibrasjon kan deles inn i lineær vibrasjon i et system med én frihetsgrad og lineær vibrasjon i et system med flere frihetsgrader.
(1) lineær vibrasjon i et system med én frihetsgrad er en lineær vibrasjon hvis posisjon kan bestemmes av en generalisert koordinat. Det er den enkleste vibrasjonen som mange grunnleggende konsepter og egenskaper ved vibrasjon kan utledes fra. Den inkluderer enkel harmonisk vibrasjon, fri vibrasjon, dempningsvibrasjon og tvungen vibrasjon.
Enkel harmonisk vibrasjon: den frem- og tilbakegående bevegelsen til et objekt i nærheten av dets likevektsposisjon i henhold til en sinusformet lov under påvirkning av en gjenopprettende kraft proporsjonal med dets forskyvning.
Dempet vibrasjon: vibrasjon hvis amplitude kontinuerlig dempes av friksjon og dielektrisk motstand eller annet energiforbruk.
Tvungen vibrasjon: vibrasjon i et system under konstant eksitasjon.
(2) Den lineære vibrasjonen til flerfrihetsgradssystemet er vibrasjonen til det lineære systemet med n≥2 frihetsgrader. Et system med n frihetsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedmoduser. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av systemet kan representeres som en lineær kombinasjon av hovedmodusene. Derfor er hovedmodus-superposisjonsmetoden mye brukt i dynamisk responsanalyse av flerfrihetsgrader. På denne måten blir måling og analyse av systemets naturlige vibrasjonsegenskaper et rutinemessig trinn i systemets dynamiske design. De dynamiske egenskapene til flerfrihetsgrader kan også beskrives av frekvenskarakteristikker. Siden det er en frekvenskarakteristikkfunksjon mellom hver inngang og utgang, konstrueres en frekvenskarakteristikkmatrise. Det er en klar sammenheng mellom frekvenskarakteristikken og hovedmodusen. Amplitude-frekvenskarakteristikkkurven til flerfrihetssystemet er forskjellig fra den til enkeltfrihetssystemet.
Lineær vibrasjon i et system med én frihetsgrad
En lineær vibrasjon der posisjonen til et system kan bestemmes av en generalisert koordinat. Det er den enkleste og mest grunnleggende vibrasjonen som mange grunnleggende konsepter og egenskaper ved vibrasjon kan utledes fra. Den inkluderer enkel harmonisk vibrasjon, dempet vibrasjon og tvungen vibrasjon.
Harmonisk vibrasjon
Under påvirkning av en gjenopprettende kraft proporsjonal med forskyvningen, beveger objektet seg frem og tilbake på en sinusformet måte nær sin likevektsposisjon (FIG. 1). X representerer forskyvningen og t representerer tiden. Det matematiske uttrykket for denne vibrasjonen er:
(1)Hvor A er den maksimale verdien av forskyvningen x, som kalles amplituden, og representerer vibrasjonens intensitet; Omega n er amplituden Vinkeløkningen av vibrasjonen per sekund, som kalles vinkelfrekvensen, eller sirkulærfrekvensen; Dette kalles startfasen. Når det gjelder f = n/2, kalles antall oscillasjoner per sekund frekvensen; Det inverse av dette, T = 1/f, er tiden det tar å oscillere én syklus, og det kalles perioden. Amplitude A, frekvens f (eller vinkelfrekvens n), startfasen, kjent som enkel harmonisk vibrasjon med tre elementer.
FIG. 1 enkel harmonisk vibrasjonskurve
Som vist i FIG. 2, dannes en enkel harmonisk oscillator av den konsentrerte massen m forbundet med en lineær fjær. Når vibrasjonsforskyvningen beregnes fra likevektsposisjonen, er vibrasjonsligningen:
Hvor er fjærens stivhet. Den generelle løsningen på ligningen ovenfor er (1).A og kan bestemmes av startposisjonen x0 og starthastigheten ved t=0:
Men omega n bestemmes bare av egenskapene til selve systemet m og k, uavhengig av de ekstra startbetingelsene, så omega n er også kjent som den naturlige frekvensen.
FIG. 2 system med én frihetsgrad
For en enkel harmonisk oscillator er summen av dens kinetiske energi og potensielle energi konstant, det vil si at systemets totale mekaniske energi er bevart. I vibrasjonsprosessen transformeres kinetisk energi og potensiell energi konstant til hverandre.
Dempingsvibrasjonen
En vibrasjon hvis amplitude kontinuerlig dempes av friksjon og dielektrisk motstand eller annet energiforbruk. For mikrovibrasjon er hastigheten generelt ikke veldig stor, og mediummotstanden er proporsjonal med hastigheten opphøyd i første potens, som kan skrives som c er dempningskoeffisienten. Derfor kan vibrasjonsligningen for én frihetsgrad med lineær demping skrives som:
(2)Hvor m = c/2m kalles dempningsparameteren, og Den generelle løsningen av formel (2) kan skrives:
(3)Det numeriske forholdet mellom omega n og PI kan deles inn i følgende tre tilfeller:
N > (ved liten demping) partikkelprodusert dempningsvibrasjon, er vibrasjonsligningen:
Amplituden avtar med tiden i henhold til den eksponensielle loven vist i ligningen, som vist i den stiplede linjen i FIG. 3. Strengt tatt er denne vibrasjonen aperiodisk, men frekvensen av toppen kan defineres som:
Kalles amplitudereduksjonsraten, hvor er vibrasjonsperioden. Den naturlige logaritmen til amplitudereduksjonsraten kalles logaritmen minus (amplitude)raten. Det er åpenbart at = , i dette tilfellet, er lik 2/1. Direkte gjennom den eksperimentelle testdeltaen og , ved hjelp av formelen ovenfor, kan c beregnes.
På dette tidspunktet kan løsningen av ligning (2) skrives:
Sammen med retningen på starthastigheten kan den deles inn i tre ikke-vibrasjonstilfeller som vist i FIG. 4.
N < (ved stor demping), løsningen på ligning (2) vises i ligning (3). På dette tidspunktet vibrerer ikke lenger systemet.
Tvungen vibrasjon
Vibrasjon i et system under konstant eksitasjon. Vibrasjonsanalyse undersøker hovedsakelig systemets respons på eksitasjon. Periodisk eksitasjon er en typisk regelmessig eksitasjon. Siden periodisk eksitasjon alltid kan dekomponeres til summen av flere harmoniske eksitasjoner, kreves det i henhold til superposisjonsprinsippet bare systemets respons på hver harmonisk eksitasjon. Under påvirkning av harmonisk eksitasjon kan differensialligningen for bevegelse for et system med én frihetsgradsdemping skrives:
Responsen er summen av to deler. Den ene delen er responsen til den dempede vibrasjonen, som avtar raskt over tid. Responsen til den andre delen av den tvungne vibrasjonen kan skrives:
FIG. 3 dempet vibrasjonskurve
FIG. 4 kurver av tre startbetingelser med kritisk demping
Skriv inn
H/F0= h(), er forholdet mellom stabil responsamplitude og eksitasjonsamplitude, som karakteriserer amplitude-frekvenskarakteristikker, eller forsterkningsfunksjon; Biter for stabil respons og faseinsentiv, karakterisering av fasefrekvenskarakteristikker. Forholdet mellom dem og eksitasjonsfrekvensen er vist i FIG. 5 og FIG. 6.
Som det fremgår av amplitude-frekvens-kurven (FIG. 5), har amplitude-frekvens-kurven én topp ved liten demping. Jo mindre dempingen er, desto brattere er toppen. Frekvensen som tilsvarer toppen kalles systemets resonansfrekvens. Ved liten demping er ikke resonansfrekvensen mye forskjellig fra den naturlige frekvensen. Når eksitasjonsfrekvensen er nær den naturlige frekvensen, øker amplituden kraftig. Dette fenomenet kalles resonans. Ved resonans er systemets forsterkning maksimert, det vil si at den tvungne vibrasjonen er mest intens. Derfor bør man generelt alltid strebe etter å unngå resonans, med mindre noen instrumenter og utstyr bruker resonans for å oppnå stor vibrasjon.
FIG. 5 amplitudefrekvenskurve
Kan sees fra fasefrekvenskurven (figur 6), uavhengig av dempningsstørrelsen, i omega null faseforskjellsbiter = PI / 2, kan denne egenskapen effektivt brukes til å måle resonans.
I tillegg til jevn eksitasjon, møter systemer noen ganger ustabil eksitasjon. Den kan grovt sett deles inn i to typer: den ene er den plutselige påvirkningen. Den andre er den varige effekten av vilkårlighet. Under ustabil eksitasjon er systemets respons også ustabil.
Et kraftig verktøy for å analysere ustabil vibrasjon er impulsresponsmetoden. Den beskriver systemets dynamiske egenskaper med den transiente responsen til enhetens impulsinngang. Enhetsimpulsen kan uttrykkes som en deltafunksjon. I ingeniørfag defineres deltafunksjonen ofte som:
Der 0- representerer punktet på t-aksen som nærmer seg null fra venstre; 0 pluss er punktet som går mot 0 fra høyre.
FIG. 6 fasefrekvenskurve
FIG. 7 Enhver inngang kan betraktes som summen av en serie impulselementer
Systemet tilsvarer responsen h(t) generert av enhetsimpulsen ved t=0, som kalles impulsresponsfunksjonen. Forutsatt at systemet er stasjonært før pulsen, er h(t)=0 for t<0. Når vi kjenner systemets impulsresponsfunksjon, kan vi finne systemets respons på en hvilken som helst inngang x(t). På dette tidspunktet kan du tenke på x(t) som summen av en serie impulselementer (FIG. 7). Systemets respons er:
Basert på superposisjonsprinsippet er den totale responsen til systemet som tilsvarer x(t):
Dette integralet kalles et konvolusjonsintegral eller et superposisjonsintegral.
Lineær vibrasjon i et system med flere frihetsgrader
Vibrasjon i et lineært system med n≥2 frihetsgrader.
Figur 8 viser to enkle resonante delsystemer koblet sammen med en koblingsfjær. Fordi det er et system med to frihetsgrader, er det nødvendig med to uavhengige koordinater for å bestemme posisjonen. Det er to naturlige frekvenser i dette systemet:
Hver frekvens tilsvarer en vibrasjonsmodus. De harmoniske oscillatorene utfører harmoniske oscillasjoner med samme frekvens, og passerer synkront gjennom likevektsposisjonen og når synkront den ekstreme posisjonen. I hovedvibrasjonen som tilsvarer omega en, er x1 lik x2; i hovedvibrasjonen som tilsvarer omega omega to, omega omega en. I hovedvibrasjonen holder forskyvningsforholdet til hver masse et visst forhold og danner en viss modus, som kalles hovedmodus eller naturlig modus. Ortogonaliteten mellom masse og stivhet eksisterer blant hovedmodusene, noe som gjenspeiler uavhengigheten til hver vibrasjon. Naturfrekvensen og hovedmodusen representerer de iboende vibrasjonsegenskapene til flerfrihetsgradssystemet.
FIG. 8 system med flere frihetsgrader
Et system med n frihetsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedmoduser. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av systemet kan representeres som en lineær kombinasjon av hovedmodusene. Derfor er hovedmodus-superposisjonsmetoden mye brukt i dynamisk responsanalyse av multi-DOF-systemer. På denne måten blir måling og analyse av systemets naturlige vibrasjonsegenskaper et rutinemessig trinn i systemets dynamiske design.
De dynamiske egenskapene til flerdofsystemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristikker. Siden det er en frekvenskarakteristikkfunksjon mellom hver inngang og utgang, konstrueres en frekvenskarakteristikkmatrise. Amplitude-frekvenskarakteristikkkurven til flerfrihetssystemet er forskjellig fra den til enkeltfrihetssystemet.
Elastomeren vibrerer
Ovennevnte flerfrihetsgradssystem er en omtrentlig mekanisk modell av elastomer. En elastomer har et uendelig antall frihetsgrader. Det er en kvantitativ forskjell, men ingen vesentlig forskjell mellom de to. Enhver elastomer har et uendelig antall naturlige frekvenser og et uendelig antall tilsvarende moduser, og det er ortogonalitet mellom modusene for masse og stivhet. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av elastomeren kan også representeres som en lineær superposisjon av hovedmodusene. Derfor, for dynamisk responsanalyse av elastomer, er superposisjonsmetoden for hovedmodus fortsatt anvendelig (se lineær vibrasjon av elastomer).
Ta vibrasjonen til en streng. La oss si at en tynn streng med masse m per lengdeenhet, lang l, er strammet i begge ender, og spenningen er T. På dette tidspunktet bestemmes strengens naturlige frekvens av følgende ligning:
F = na/2l (n = 1,2,3…).
Hvor er forplantningshastigheten til den transversale bølgen langs strengens retning. Strengenes naturlige frekvenser er multipler av grunnfrekvensen over 2l. Denne heltallsmultiplisiteten fører til en behagelig harmonisk struktur. Generelt finnes det ingen slik heltallsmultiplikasjonsrelasjon mellom elastomerens naturlige frekvenser.
De tre første modusene til den stramme strengen er vist i FIG. 9. Det er noen noder på hovedmoduskurven. I hovedvibrasjonen vibrerer ikke nodene. FIG. 10 viser flere typiske modi for den omkretsmessig støttede sirkulære platen med noen nodelinjer bestående av sirkler og diametre.
Den nøyaktige formuleringen av elastomervibrasjonsproblemet kan konkluderes som randverdiproblemet for partielle differensialligninger. Imidlertid kan den nøyaktige løsningen bare finnes i noen av de enkleste tilfellene, så vi må ty til den omtrentlige løsningen for det komplekse elastomervibrasjonsproblemet. Essensen av ulike omtrentlige løsninger er å endre det uendelige til det endelige, det vil si å diskretisere det lemløse flerfrihetsgradssystemet (kontinuerlig system) til et endelig flerfrihetsgradssystem (diskret system). Det finnes to typer diskretiseringsmetoder som er mye brukt i ingeniøranalyse: endelig elementmetode og modal syntesemetode.
FIG. 9 strengmodus
FIG. 10 modus for sirkulær plate
Endelig elementmetode er en sammensatt struktur som abstraherer en kompleks struktur til et endelig antall elementer og forbinder dem ved et endelig antall noder. Hver enhet er en elastomer; Fordelingsforskyvningen av elementet uttrykkes ved interpolasjonsfunksjonen til nodeforskyvningen. Deretter konsentreres fordelingsparametrene til hvert element til hver node i et bestemt format, og den mekaniske modellen av det diskrete systemet oppnås.
Modal syntese er dekomponeringen av en kompleks struktur i flere enklere understrukturer. Basert på forståelsen av vibrasjonsegenskapene til hver understruktur, syntetiseres understrukturen til en generell struktur i henhold til koordinasjonsbetingelsene på grensesnittet, og vibrasjonsmorfologien til den generelle strukturen oppnås ved å bruke vibrasjonsmorfologien til hver understruktur.
De to metodene er forskjellige og beslektede, og kan brukes som referanse. Modalsyntesemetoden kan også effektivt kombineres med eksperimentell måling for å danne en teoretisk og eksperimentell analysemetode for vibrasjon i store systemer.
Publisert: 03.04.2020
