Vad är linjär vibration?

Linjär vibration: Elasticiteten hos komponenterna i systemet är föremål för Hookes lag, och dämpningskraften som genereras under rörelsen är proportionell mot den första ekvationen för den generaliserade hastigheten (tidsderivatan av de generaliserade koordinaterna).

begrepp

Ett linjärt system är vanligtvis en abstrakt modell av vibrationen i ett verkligt system. Det linjära vibrationssystemet tillämpar superpositionsprincipen, det vill säga om systemets respons är y1 under inverkan av ingången x1, och y2 under inverkan av ingången x2, så är systemets respons under inverkan av ingångarna x1 och x2 y1+y2.

Baserat på superpositionsprincipen kan en godtycklig ingång delas upp i summan av en serie infinitesimala impulser, och sedan kan systemets totala respons erhållas. Summan av de harmoniska komponenterna i en periodisk excitation kan expanderas till en serie harmoniska komponenter genom Fouriertransform, och effekten av varje harmonisk komponent på systemet kan undersökas separat. Därför kan responsegenskaperna hos linjära system med konstanta parametrar beskrivas med impulsrespons eller frekvensrespons.

Impulsrespons avser systemets svar på enhetsimpulsen, vilket karakteriserar systemets svarskarakteristika i tidsdomänen. Frekvensrespons avser systemets svarskarakteristik på enhetens harmoniska ingång. Korrespondensen mellan de två bestäms av Fouriertransformen.

klassificering

Linjär vibration kan delas in i linjär vibration i system med en frihetsgrad och linjär vibration i system med flera frihetsgrader.

(1) linjär vibration i ett system med en frihetsgrad är en linjär vibration vars position kan bestämmas med en generaliserad koordinat. Det är den enklaste vibrationen från vilken många grundläggande begrepp och egenskaper hos vibration kan härledas. Den inkluderar enkel harmonisk vibration, fri vibration, dämpningsvibration och forcerad vibration.

Enkel harmonisk vibration: den fram- och återgående rörelsen hos ett objekt i närheten av dess jämviktsläge enligt en sinusformad lag under inverkan av en återställande kraft som är proportionell mot dess förskjutning.

Dämpad vibration: vibration vars amplitud kontinuerligt dämpas av friktion och dielektriskt motstånd eller annan energiförbrukning.

Forcerad vibration: vibration i ett system under konstant excitation.

(2) Den linjära vibrationen i flerfrihetsgradssystemet är vibrationen i det linjära systemet med n≥2 frihetsgrader. Ett system med n frihetsgrader har n naturliga frekvenser och n huvudmoder. Vilken vibrationskonfiguration som helst i systemet kan representeras som en linjär kombination av huvudmoderna. Därför används huvudmodsuperpositionsmetoden i stor utsträckning vid dynamisk responsanalys av flerfrihetsgradssystem. På detta sätt blir mätning och analys av systemets naturliga vibrationsegenskaper ett rutinmässigt steg i systemets dynamiska design. De dynamiska egenskaperna hos flerfrihetsgradssystem kan också beskrivas med frekvenskarakteristika. Eftersom det finns en frekvenskarakteristikfunktion mellan varje ingång och utgång konstrueras en frekvenskarakteristikmatris. Det finns ett definitivt samband mellan frekvenskarakteristiken och huvudmoden. Amplitud-frekvenskarakteristikkurvan för flerfrihetssystemet skiljer sig från den för enfrihetssystemet.

Linjär vibration i ett system med en frihetsgrad

En linjär vibration där ett systems position kan bestämmas med en generaliserad koordinat. Det är den enklaste och mest grundläggande vibrationen från vilken många grundläggande begrepp och egenskaper hos vibration kan härledas. Den inkluderar enkel harmonisk vibration, dämpad vibration och forcerad vibration.

Harmonisk vibration

Under inverkan av en återställande kraft proportionell mot förskjutningen rör sig objektet fram och tillbaka på ett sinusformat sätt nära sitt jämviktsläge (FIG. 1). X representerar förskjutningen och t representerar tiden. Det matematiska uttrycket för denna vibration är:

(1)Där A är det maximala värdet på förskjutningen x, vilket kallas amplituden och representerar vibrationens intensitet; Omega n är amplituden Vinkelökningen av vibrationen per sekund, vilket kallas vinkelfrekvensen eller den cirkulära frekvensen; Detta kallas initialfasen. I termer av f = n/2 kallas antalet oscillationer per sekund frekvensen; Inversen av detta, T = 1/f, är den tid det tar att oscillera en cykel, och det kallas perioden. Amplitud A, frekvensen f (eller vinkelfrekvensen n), den initiala fasen, känd som enkel harmonisk vibration med tre element.

FIG. 1 enkel harmonisk vibrationskurva

Som visas i FIG. 2 bildas en enkel harmonisk oscillator av den koncentrerade massan m, som är sammankopplad med en linjär fjäder. När vibrationsförskjutningen beräknas från jämviktsläget är vibrationsekvationen:

Där är fjäderns styvhet. Den allmänna lösningen till ovanstående ekvation är (1).A och kan bestämmas av initialpositionen x0 och initialhastigheten vid t=0:

Men omega n bestäms endast av själva systemets egenskaper m och k, oberoende av de ytterligare initialvillkoren, så omega n är också känd som den naturliga frekvensen.

FIG. 2 system med en enda frihetsgrad

För en enkel harmonisk oscillator är summan av dess kinetiska energi och potentiella energi konstant, det vill säga systemets totala mekaniska energi bevaras. I vibrationsprocessen omvandlas kinetisk energi och potentiell energi konstant till varandra.

Den dämpande vibrationen

En vibration vars amplitud kontinuerligt dämpas av friktion och dielektriskt motstånd eller annan energiförbrukning. För mikrovibrationer är hastigheten i allmänhet inte särskilt stor, och medelmotståndet är proportionellt mot hastigheten upphöjt till första potensen, vilket kan skrivas som att c är dämpningskoefficienten. Därför kan vibrationsekvationen för en frihetsgrad med linjär dämpning skrivas som:

(2)Där m = c/2m kallas dämpningsparametern, och Den allmänna lösningen av formel (2) kan skrivas:

(3)Det numeriska förhållandet mellan omega n och PI kan delas in i följande tre fall:

N > (vid liten dämpning) partikelproducerad dämpningsvibration, är vibrationsekvationen:

Dess amplitud minskar med tiden enligt den exponentiala lagen som visas i ekvationen, såsom visas med den streckade linjen i FIG. 3. Strikt taget är denna vibration aperiodisk, men frekvensen för dess topp kan definieras som:

Kallas amplitudreduktionshastigheten, där är vibrationsperioden. Den naturliga logaritmen för amplitudreduktionshastigheten kallas logaritmen minus (amplitud)hastigheten. Självklart är = , i detta fall, lika med 2/1. Direkt genom det experimentella testdeltaet och, med hjälp av ovanstående formel, kan c beräknas.

Vid denna tidpunkt kan lösningen till ekvation (2) skrivas:

Tillsammans med den initiala hastighetens riktning kan den delas in i tre fall utan vibrationer, såsom visas i FIG. 4.

N < (vid stor dämpning), lösningen till ekvation (2) visas i ekvation (3). Vid denna tidpunkt vibrerar systemet inte längre.

Tvingad vibration

Vibration i ett system under konstant excitation. Vibrationsanalys undersöker huvudsakligen systemets respons på excitation. Periodisk excitation är en typisk regelbunden excitation. Eftersom periodisk excitation alltid kan delas upp i summan av flera harmoniska excitationer, krävs enligt superpositionsprincipen endast systemets respons på varje harmonisk excitation. Under inverkan av harmonisk excitation kan differentialekvationen för rörelsen för ett dämpat system med en frihetsgrad skrivas:

Responsen är summan av två delar. Den ena delen är responsen från den dämpade vibrationen, som avtar snabbt med tiden. Responsen från den andra delen av den forcerade vibrationen kan skrivas:

FIG. 3 dämpad vibrationskurva

FIG. 4 kurvor för tre initiala villkor med kritisk dämpning

Skriv in

H/F0= h(), är förhållandet mellan stationär responsamplitud och excitationsamplitud, vilket karakteriserar amplitud-frekvenskarakteristika eller förstärkningsfunktion; Bitar för stationärt svar och fasens incitament, karakterisering av fasfrekvenskarakteristika. Sambandet mellan dem och excitationsfrekvensen visas i FIG. 5 och FIG. 6.

Som framgår av amplitud-frekvenskurvan (FIG. 5) har amplitud-frekvenskurvan en enda topp vid liten dämpning. Ju mindre dämpningen är, desto brantare är toppen; Frekvensen som motsvarar toppen kallas systemets resonansfrekvens. Vid liten dämpning skiljer sig resonansfrekvensen inte mycket från den naturliga frekvensen. När excitationsfrekvensen är nära den naturliga frekvensen ökar amplituden kraftigt. Detta fenomen kallas resonans. Vid resonans maximeras systemets förstärkning, det vill säga den forcerade vibrationen är som mest intensiv. Därför bör man i allmänhet alltid sträva efter att undvika resonans, såvida inte vissa instrument och utrustning använder resonans för att uppnå stora vibrationer.

FIG. 5 amplitudfrekvenskurva

Framgår av fasfrekvenskurvan (figur 6), oavsett dämpningens storlek, i omega noll fasskillnadsbitar = PI / 2, kan denna egenskap effektivt användas för att mäta resonans.

Förutom konstant excitation upplever system ibland ostadig excitation. Den kan grovt delas in i två typer: den ena är plötslig påverkan. Den andra är den varaktiga effekten av godtycklighet. Under ostadig excitation är systemets respons också ostadig.

Ett kraftfullt verktyg för att analysera ostadiga vibrationer är impulsresponsmetoden. Den beskriver systemets dynamiska egenskaper med hjälp av det transienta svaret från systemets enhetsimpulsingång. Enhetsimpulsen kan uttryckas som en deltafunktion. Inom teknik definieras deltafunktionen ofta som:

Där 0- representerar den punkt på t-axeln som närmar sig noll från vänster; 0 plus är den punkt som går mot 0 från höger.

FIG. 6 fasfrekvenskurva

FIG. 7 vilken ingång som helst kan betraktas som summan av en serie impulselement

Systemet motsvarar svaret h(t) som genereras av enhetsimpulsen vid t=0, vilket kallas impulssvarsfunktionen. Om vi ​​antar att systemet är stationärt före pulsen, är h(t)=0 för t<0. Med kännedom om systemets impulssvarsfunktion kan vi hitta systemets svar på valfri ingång x(t). Vid denna tidpunkt kan man tänka på x(t) som summan av en serie impulselement (FIG. 7). Systemets svar är:

Baserat på superpositionsprincipen är det totala svaret för systemet motsvarande x(t):

Denna integral kallas en faltningsintegral eller en superpositionsintegral.

Linjär vibration i ett system med flera frihetsgrader

Vibration i ett linjärt system med n≥2 frihetsgrader.

Figur 8 visar två enkla resonanta delsystem sammankopplade med en kopplingsfjäder. Eftersom det är ett system med två frihetsgrader behövs två oberoende koordinater för att bestämma dess position. Det finns två naturliga frekvenser i detta system:

Varje frekvens motsvarar ett vibrationsläge. De harmoniska oscillatorerna utför harmoniska oscillationer med samma frekvens, passerar synkront genom jämviktsläget och når synkront extremläget. I huvudvibrationen motsvarande omega ett är x1 lika med x2; i huvudvibrationen motsvarande omega två är omega omega ett. I huvudvibrationen håller förskjutningsförhållandet för varje massa ett visst förhållande och bildar ett visst läge, som kallas huvudläget eller det naturliga läget. Ortogonaliteten mellan massa och styvhet finns bland huvudlägena, vilket återspeglar oberoendet hos varje vibration. Den naturliga frekvensen och huvudläget representerar de inneboende vibrationsegenskaperna hos flerfrihetsgradssystemet.

FIG. 8 system med flera frihetsgrader

Ett system med n frihetsgrader har n naturliga frekvenser och n huvudmoder. Vilken vibrationskonfiguration som helst i systemet kan representeras som en linjär kombination av huvudmoderna. Därför används huvudmodsuperpositionsmetoden i stor utsträckning vid dynamisk responsanalys av system med flera dof-grader. På detta sätt blir mätning och analys av systemets naturliga vibrationsegenskaper ett rutinmässigt steg i systemets dynamiska design.

De dynamiska egenskaperna hos flerfrihetssystem kan också beskrivas med frekvenskarakteristika. Eftersom det finns en frekvenskarakteristikfunktion mellan varje ingång och utgång konstrueras en frekvenskarakteristikmatris. Amplitud-frekvenskarakteristikkurvan för flerfrihetssystemet skiljer sig från den för enfrihetssystemet.

Elastomeren vibrerar

Ovanstående flerfrihetsgradssystem är en approximativ mekanisk modell av en elastomer. En elastomer har ett oändligt antal frihetsgrader. Det finns en kvantitativ skillnad men ingen väsentlig skillnad mellan de två. Varje elastomer har ett oändligt antal naturliga frekvenser och ett oändligt antal motsvarande moder, och det finns ortogonalitet mellan moderna för massa och styvhet. Varje vibrationskonfiguration av elastomeren kan också representeras som en linjär superposition av huvudmoderna. Därför är superpositionsmetoden för huvudmodern fortfarande tillämplig för dynamisk responsanalys av elastomer (se linjär vibration av elastomer).

Ta vibrationen hos en sträng. Låt oss säga att en tunn sträng med massan m per längdenhet, lång l, är spänd i båda ändar, och spänningen är T. Vid denna tidpunkt bestäms strängens egenfrekvens av följande ekvation:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Där är utbredningshastigheten för den transversella vågen längs strängens riktning. Strängarnas naturliga frekvenser råkar vara multiplar av grundfrekvensen över 2l. Denna heltalsmultiplicitet leder till en behaglig harmonisk struktur. I allmänhet finns det inget sådant heltalsmultiplikum mellan elastomerens naturliga frekvenser.

De tre första lägena för den spända strängen visas i FIG. 9. Det finns några noder på huvudlägeskurvan. I huvudvibrationen vibrerar inte noderna. FIG. 10 visar flera typiska lägen för den omkretsmässigt stödda cirkulära plattan med några nodlinjer bestående av cirklar och diametrar.

Den exakta formuleringen av elastomervibrationsproblemet kan slutsatsen vara randvärdesproblemet för partiella differentialekvationer. Emellertid kan den exakta lösningen bara hittas i några av de enklaste fallen, så vi måste tillgripa den approximativa lösningen för det komplexa elastomervibrationsproblemet. Kärnan i olika approximativa lösningar är att ändra det oändliga till det ändliga, det vill säga att diskretisera det lemlösa flerfrihetsgradssystemet (kontinuerligt system) till ett ändligt flerfrihetsgradssystem (diskret system). Det finns två typer av diskretiseringsmetoder som används i stor utsträckning inom ingenjörsanalys: finita elementmetoden och modal syntesmetoden.

FIG. 9 strängens läge

FIG. 10 läge för cirkulär platta

Finita elementmetoden är en sammansatt struktur som abstraherar en komplex struktur till ett ändligt antal element och förbinder dem vid ett ändligt antal noder. Varje enhet är en elastomer; Elementets fördelningsförskjutning uttrycks genom interpoleringsfunktionen för nodförskjutningen. Sedan koncentreras fördelningsparametrarna för varje element till varje nod i ett visst format, och den mekaniska modellen av det diskreta systemet erhålls.

Modal syntes är uppdelningen av en komplex struktur i flera enklare delstrukturer. Baserat på förståelse av vibrationsegenskaperna hos varje delstruktur syntetiseras delstrukturen till en generell struktur enligt koordinationsförhållandena på gränssnittet, och vibrationsmorfologin för den allmänna strukturen erhålls genom att använda vibrationsmorfologin för varje delstruktur.

De två metoderna är olika och relaterade, och kan användas som referens. Modalsyntesmetoden kan också effektivt kombineras med experimentell mätning för att bilda en teoretisk och experimentell analysmetod för vibrationer i stora system.