Що таке лінійна вібрація?

Лінійна вібрація: пружність компонентів системи підпорядковується закону Гука, а сила демпфування, що виникає під час руху, пропорційна першому рівнянню узагальненої швидкості (похідній за часом узагальнених координат).

концепція

Лінійна система зазвичай є абстрактною моделлю коливань реальної системи. Лінійна коливальна система застосовує принцип суперпозиції, тобто, якщо відгук системи на дію вхідного сигналу x1 дорівнює y1, а на дію вхідного сигналу x2 – y2, то відгук системи на дію вхідних сигналів x1 та x2 дорівнює y1+y2.

На основі принципу суперпозиції довільний вхідний сигнал можна розкласти на суму серії нескінченно малих імпульсів, а потім отримати загальну характеристику системи. Суму гармонійних складових періодичного збудження можна розкласти на серію гармонійних складових за допомогою перетворення Фур'є, а вплив кожної гармонічної складової на систему можна дослідити окремо. Отже, характеристики відгуку лінійних систем з постійними параметрами можна описати імпульсною характеристикою або частотною характеристикою.

Імпульсна характеристика стосується реакції системи на одиничний імпульс, який характеризує характеристики реакції системи в часовій області. Частотна характеристика стосується характеристики реакції системи на вхідну одиничну гармоніку. Відповідність між ними визначається перетворенням Фур'є.

класифікація

Лінійні коливання можна розділити на лінійні коливання системи з одним ступенем свободи та лінійні коливання системи з кількома ступенями свободи.

(1) Лінійне коливання системи з одним ступенем вільності – це лінійне коливання, положення якого можна визначити узагальненою координатою. Це найпростіше коливання, з якого можна вивести багато основних понять та характеристик коливань. Воно включає прості гармонійні коливання, вільні коливання, коливання з затуханням та вимушені коливання.

Просте гармонічне коливання: зворотно-поступальний рух об'єкта поблизу його положення рівноваги за синусоїдальним законом під дією відновлювальної сили, пропорційної його переміщенню.

Затухаюча вібрація: вібрація, амплітуда якої постійно зменшується внаслідок тертя та діелектричного опору або інших витрат енергії.

Вимушена коливання: коливання системи під постійним збудженням.

(2) Лінійне коливання системи з кількома ступенями свободи – це коливання лінійної системи з n≥2 ступенями свободи. Система з n ступенів свободи має n власних частот та n основних мод. Будь-яку конфігурацію коливань системи можна представити як лінійну комбінацію основних мод. Тому метод суперпозиції основних мод широко використовується в аналізі динамічної реакції систем з кількома ступенями свободи. Таким чином, вимірювання та аналіз власних характеристик коливань системи стає рутинним кроком у динамічному проектуванні системи. Динамічні характеристики систем з кількома ступенями свободи також можна описати частотними характеристиками. Оскільки між кожним входом і виходом існує частотна характеристика, будується матриця частотних характеристик. Існує певний зв'язок між частотною характеристикою та основною модою. Амплітудно-частотна характеристика системи з кількома ступенями свободи відрізняється від характеристики системи з одним рівнем свободи.

Лінійні коливання системи з одним ступенем свободи

Лінійне коливання, в якому положення системи може бути визначене узагальненою координатою. Це найпростіше та найфундаментальніше коливання, з якого можна вивести багато основних понять та характеристик коливань. Воно включає прості гармонійні коливання, затухаючі коливання та вимушені коливання.

Гармонійні коливання

Під дією відновлювальної сили, пропорційної переміщенню, об'єкт здійснює зворотно-поступальний рух синусоїдально поблизу свого положення рівноваги (рис. 1). X позначає переміщення, а t – час. Математичний вираз цієї коливання:

(1)Де A – максимальне значення зміщення x, яке називається амплітудою та представляє інтенсивність коливань; Omega n – це приріст кута амплітуди коливань за секунду, який називається кутовою частотою або круговою частотою; Це називається початковою фазою. У термінах f = n/2 кількість коливань за секунду називається частотою; Обернена величина, T = 1/f, – це час, необхідний для одного циклу коливань, і це називається періодом. Амплітуда A, частота f (або кутова частота n), початкова фаза, відома як прості гармонічні коливання з трьох елементів.

РИС. 1 проста гармонійна крива коливань

Як показано на рис. 2, простий гармонійний осцилятор утворений зосередженою масою m, з'єднаною лінійною пружиною. Коли коливальне зміщення обчислюється з положення рівноваги, рівняння коливань має вигляд:

Де - жорсткість пружини. Загальний розв'язок наведеного вище рівняння має вигляд (1). A і може бути визначений початковим положенням x0 та початковою швидкістю при t=0:

Але омега n визначається лише характеристиками самої системи m та k, незалежно від додаткових початкових умов, тому омега n також відома як власна частота.

РИС. 2 Система з одним ступенем свободи

Для простого гармонічного осцилятора сума його кінетичної та потенційної енергії є постійною, тобто повна механічна енергія системи зберігається. У процесі коливань кінетична та потенційна енергія постійно перетворюються одна в одну.

Загасання коливань

Вібрація, амплітуда якої постійно зменшується тертям та діелектричним опором або іншими енерговитратами. Для мікровібрації швидкість зазвичай не дуже велика, а опір середовища пропорційний швидкості в першому степені, що можна записати як c - коефіцієнт затухання. Отже, рівняння коливань з одним ступенем свободи з лінійним затуханням можна записати так:

(2)Де m = c/2m називається параметром затухання, а загальний розв'язок формули (2) можна записати так:

(3)Числовий зв'язок між омега-n та π можна розділити на такі три випадки:

N > (у випадку малого затухання) коливань, що викликаються частинками, рівняння коливань має вигляд:

Його амплітуда зменшується з часом відповідно до експоненціального закону, показаного в рівнянні, як показано пунктирною лінією на рис. 3. Строго кажучи, це коливання є неперіодичним, але частоту його піку можна визначити як:

називається коефіцієнтом зменшення амплітуди, де — період коливань. Натуральний логарифм коефіцієнта зменшення амплітуди називається логарифмом мінус (амплітудний) коефіцієнт. Очевидно, що в цьому випадку = дорівнює 2/1. Безпосередньо через експериментальну дельту та, використовуючи наведену вище формулу, можна розрахувати c.

У цей час розв'язок рівняння (2) можна записати так:

Разом з напрямком початкової швидкості, її можна розділити на три випадки без вібрації, як показано на рис. 4.

N < (у випадку великого затухання), розв'язок рівняння (2) показано в рівнянні (3). У цій точці система більше не вібрує.

Вимушена вібрація

Вібрація системи під постійним збудженням. Аналіз вібрацій в основному досліджує реакцію системи на збудження. Періодичне збудження є типовим регулярним збудженням. Оскільки періодичне збудження завжди можна розкласти на суму кількох гармонійних збуджень, згідно з принципом суперпозиції, потрібна лише реакція системи на кожне гармонічне збудження. Під дією гармонійного збудження диференціальне рівняння руху системи з одним ступенем свободи з демпфуванням можна записати так:

Відгук складається з двох частин. Одна частина – це відгук на затухаючу коливання, яка швидко згасає з часом. Відгук іншої частини на вимушене коливання можна записати так:

РИС. 3 крива затухання коливань

РИС. 4 криві трьох початкових умов з критичним затуханням

Введіть

H /F0= h (), – це відношення амплітуди усталеної характеристики до амплітуди збудження, що характеризує амплітудно-частотні характеристики або функцію підсилення; Біти для усталеної характеристики та фазового стимулювання, характеристика фазово-частотних характеристик. Зв'язок між ними та частотою збудження показано на рис. 5 та рис. 6.

Як видно з амплітудно-частотної кривої (рис. 5), у випадку малого затухання амплітудно-частотна крива має один пік. Чим менше затухання, тим крутіший пік; частота, що відповідає піку, називається резонансною частотою системи. У випадку малого затухання резонансна частота не сильно відрізняється від власної частоти. Коли частота збудження близька до власної частоти, амплітуда різко зростає. Це явище називається резонансом. При резонансі коефіцієнт посилення системи максимальний, тобто вимушена коливання є найбільш інтенсивною. Тому загалом завжди прагнуть уникати резонансу, якщо тільки деякі інструменти та обладнання не використовують резонанс для досягнення великих коливань.

Рис. 5. Крива амплітуди та частоти

Як видно з кривої фазової частоти (рисунок 6), незалежно від величини затухання, при нульовій різниці фаз омега-біт = PI / 2, цю характеристику можна ефективно використовувати для вимірювання резонансу.

Окрім стаціонарного збудження, системи іноді стикаються з нестаціонарним збудженням. Його можна умовно розділити на два типи: один - це раптовий удар. Другий - це тривалий ефект довільності. При нестаціонарному збудженні реакція системи також нестаціонарна.

Потужним інструментом для аналізу нестаціонарних коливань є метод імпульсної характеристики. Він описує динамічні характеристики системи за допомогою перехідної характеристики одиничного імпульсного вхідного сигналу системи. Одиничний імпульс можна виразити як дельта-функцію. В інженерії дельта-функцію часто визначають як:

Де 0- позначає точку на осі t, яка наближається до нуля зліва; 0 плюс – це точка, яка наближається до 0 справа.

РИС. 6 Крива фазової частоти

РИС. 7 будь-який вхідний сигнал можна розглядати як суму послідовності імпульсних елементів

Система відповідає відгуку h(t), згенерованому одиничним імпульсом при t=0, який називається функцією імпульсної відгуку. Припускаючи, що система нерухома перед імпульсом, h(t)=0 для t<0. Знаючи функцію імпульсної відгуку системи, ми можемо знайти відгук системи на будь-який вхідний сигнал x(t). У цьому випадку можна розглядати x(t) як суму послідовності імпульсних елементів (рис. 7). Відгук системи:

Виходячи з принципу суперпозиції, повна реакція системи, що відповідає x(t), дорівнює:

Цей інтеграл називається згортковим інтегралом або інтегралом суперпозиції.

Лінійні коливання системи з кількома ступенями свободи

Вібрація лінійної системи з n≥2 ступенями свободи.

На рисунку 8 показано дві прості резонансні підсистеми, з'єднані з'єднувальною пружиною. Оскільки це система з двома ступенями вільності, для визначення її положення потрібні дві незалежні координати. У цій системі є дві власні частоти:

Кожна частота відповідає певній моді коливань. Гармонічні осцилятори здійснюють гармонічні коливання однієї частоти, синхронно проходячи через положення рівноваги та синхронно досягаючи крайнього положення. В основній коливанні, що відповідає омега один, x1 дорівнює x2; в основній коливанні, що відповідає омега омега два, омега омега один. В основній коливанні коефіцієнт зміщення кожної маси зберігає певне співвідношення та утворює певну моду, яка називається основною модою або власною модою. Між основними модами існує ортогональність маси та жорсткості, що відображає незалежність кожної коливання. Власна частота та головна мода представляють собою притаманні коливальні характеристики системи з кількома ступенями свободи.

РИС. 8 система з кількома ступенями свободи

Система з n ступенів свободи має n власних частот та n основних мод. Будь-яку конфігурацію коливань системи можна представити як лінійну комбінацію основних мод. Тому метод суперпозиції основних мод широко використовується в аналізі динамічної реакції систем з кількома ступенями свободи. Таким чином, вимірювання та аналіз власних коливальних характеристик системи стає рутинним кроком у динамічному проектуванні системи.

Динамічні характеристики систем з кількома ступенями свободи також можна описати частотними характеристиками. Оскільки між кожним входом і виходом існує частотна характеристика, будується матриця частотних характеристик. Амплітудно-частотна характеристика системи з кількома ступенями свободи відрізняється від характеристики системи з однією ступенем свободи.

Еластомер вібрує

Вищезазначена система з кількома ступенями свободи є приблизною механічною моделлю еластомеру. Еластомер має нескінченну кількість ступенів свободи. Між ними існує кількісна різниця, але суттєва немає. Будь-який еластомер має нескінченну кількість власних частот і нескінченну кількість відповідних мод, а також існує ортогональність між модами маси та жорсткості. Будь-яку коливальну конфігурацію еластомеру також можна представити як лінійну суперпозицію основних мод. Тому для аналізу динамічної реакції еластомеру все ще застосовується метод суперпозиції основних мод (див. лінійні коливання еластомеру).

Візьмемо коливання струни. Припустимо, що тонка струна масою m на одиницю довжини, довжиною l, натягнута з обох кінців, а натяг дорівнює T. У цей час власна частота струни визначається наступним рівнянням:

F = na/2 l (n = 1, 2, 3…).

Де — швидкість поширення поперечної хвилі вздовж напрямку струни. Власні частоти струн кратні основній частоті протягом 2l. Ця цілочисельна кратність призводить до приємної гармонійної структури. Загалом, такого цілочисельного кратного співвідношення між власними частотами еластомеру немає.

Перші три моди натягнутої струни показано на рис. 9. На кривій основної моди є деякі вузли. Під час основної коливання вузли не вібрують. Рис. 10 показує кілька типових мод кругової пластини, що спирається по колу, з деякими вузловими лініями, що складаються з кіл та діаметрів.

Точне формулювання задачі вібрації еластомеру можна укласти як крайову задачу диференціальних рівнянь з частинними похідними. Однак точне рішення можна знайти лише в деяких найпростіших випадках, тому нам доводиться вдаватися до наближеного рішення для складної задачі вібрації еластомеру. Суть різних наближених рішень полягає в перетворенні нескінченного на скінченне, тобто дискретизації безлімбової багатоступеневої системи (безперервної системи) на скінченну багатоступеневу систему (дискретну систему). Існує два види методів дискретизації, що широко використовуються в інженерному аналізі: метод скінченних елементів та метод модального синтезу.

РИС. 9 режим струнного

ФІГ. 10 режим круглої пластини

Метод скінченних елементів – це композитна структура, яка абстрагує складну структуру на скінченну кількість елементів та з'єднує їх у скінченній кількості вузлів. Кожна одиниця є еластомером; розподіл переміщення елемента виражається інтерполяційною функцією переміщення вузла. Потім параметри розподілу кожного елемента концентруються в кожному вузлі у певному форматі, і отримується механічна модель дискретної системи.

Модальний синтез – це розкладання складної структури на кілька простіших підструктур. На основі розуміння вібраційних характеристик кожної підструктури, підструктура синтезується в загальну структуру відповідно до умов координації на межі розділу, а вібраційна морфологія загальної структури отримується за допомогою вібраційної морфології кожної підструктури.

Ці два методи різні та пов'язані між собою, і їх можна використовувати як довідкові. Метод модального синтезу також можна ефективно поєднувати з експериментальними вимірюваннями для формування теоретичного та експериментального методу аналізу вібрації великих систем.