Chiziqli tebranish nima?

Chiziqli tebranish: tizimdagi komponentlarning elastikligi Huk qonuniga bo'ysunadi va harakat paytida hosil bo'lgan susaytiruvchi kuch umumlashtirilgan tezlikning birinchi tenglamasiga (umumlashtirilgan koordinatalarning vaqt hosilasi) mutanosibdir.

tushuncha

Chiziqli tizim odatda haqiqiy tizim tebranishining mavhum modelidir. Chiziqli tebranish tizimi superpozitsiya printsipini qo'llaydi, ya'ni agar tizimning javobi x1 kirish ta'sirida y1 va x2 kirish ta'sirida y2 bo'lsa, u holda x1 va x2 kirish ta'sirida tizimning javobi y1+y2 ga teng.

Superpozitsiya printsipi asosida ixtiyoriy kirish cheksiz kichik impulslar seriyasining yig'indisiga bo'linishi mumkin va keyin tizimning umumiy javobini olish mumkin. Davriy qo'zg'alishning garmonik komponentlari yig'indisini Furye konvertatsiyasi orqali bir qator garmonik komponentlarga kengaytirish mumkin va har bir garmonik komponentning tizimga ta'sirini alohida o'rganish mumkin. Shuning uchun, doimiy parametrlarga ega chiziqli tizimlarning javob xususiyatlarini impuls javobi yoki chastota javobi bilan tavsiflash mumkin.

Impulsli javob tizimning birlik impulsiga javobini anglatadi, bu vaqt sohasidagi tizimning javob xususiyatlarini tavsiflaydi. Chastotali javob tizimning birlik garmonik kirishiga javob xususiyatini anglatadi. Ikkalasi o'rtasidagi moslik Furye konvertatsiyasi bilan aniqlanadi.

tasniflash

Chiziqli tebranish bir darajali erkinlik tizimining chiziqli tebranishiga va ko'p darajali erkinlik tizimining chiziqli tebranishlariga bo'linishi mumkin.

(1) bir darajali erkinlik tizimining chiziqli tebranishi - bu umumlashtirilgan koordinata yordamida joylashuvini aniqlash mumkin bo'lgan chiziqli tebranish. Bu tebranishning ko'plab asosiy tushunchalari va xususiyatlarini olish mumkin bo'lgan eng oddiy tebranishdir. U oddiy garmonik tebranish, erkin tebranish, susayish tebranishi va majburiy tebranishni o'z ichiga oladi.

Oddiy garmonik tebranish: sinusoidal qonunga muvofiq, uning siljishiga mutanosib tiklovchi kuch ta'sirida ob'ektning muvozanat holatiga yaqin joyda o'zaro harakati.

Söndürülmüş tebranish: ishqalanish va dielektrik qarshilik yoki boshqa energiya sarfi mavjudligi sababli amplitudasi doimiy ravishda pasayib boradigan tebranish.

Majburiy tebranish: doimiy qo'zg'alish ostida tizimning tebranishi.

(2) ko'p erkinlik darajasidagi tizimning chiziqli tebranishi n≥2 erkinlik darajasiga ega chiziqli tizimning tebranishidir. n erkinlik darajasidagi tizim n ta tabiiy chastotaga va n ta asosiy rejimga ega. Tizimning har qanday tebranish konfiguratsiyasi asosiy rejimlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun asosiy rejim superpozitsiyasi usuli ko'p dofli tizimlarning dinamik javob tahlilida keng qo'llaniladi. Shu tarzda, tizimning tabiiy tebranish xususiyatlarini o'lchash va tahlil qilish tizimni dinamik loyihalashda odatiy bosqichga aylanadi. Ko'p dofli tizimlarning dinamik xususiyatlarini chastota xususiyatlari bilan ham tavsiflash mumkin. Har bir kirish va chiqish o'rtasida chastota xarakteristikasi funktsiyasi mavjud bo'lganligi sababli, chastota xarakteristikasi matritsasi tuziladi. Chastota xarakteristikasi va asosiy rejim o'rtasida aniq bog'liqlik mavjud. Ko'p erkinlik tizimining amplituda-chastota xarakteristikasi egri chizig'i bitta erkinlik tiziminikidan farq qiladi.

Bir darajali erkinlik tizimining chiziqli tebranishi

Tizimning holatini umumlashtirilgan koordinata orqali aniqlash mumkin bo'lgan chiziqli tebranish. Bu tebranishning ko'plab asosiy tushunchalari va xususiyatlarini olish mumkin bo'lgan eng sodda va eng asosiy tebranishdir. U oddiy garmonik tebranish, susaytirilgan tebranish va majburiy tebranishni o'z ichiga oladi.

Garmonik tebranish

Siqilishga mutanosib tiklovchi kuch ta'sirida, jism muvozanat holatiga yaqin joyda sinusoidal tarzda o'zaro ta'sir qiladi (1-rasm). X siljishni, t esa vaqtni ifodalaydi. Bu tebranishning matematik ifodasi quyidagicha:

(1)Bu yerda A - siljishning maksimal qiymati x, u amplituda deb ataladi va tebranish intensivligini ifodalaydi; Omega n - bu tebranishning sekundiga burchak o'sishining amplitudasi, bu burchak chastotasi yoki aylana chastotasi deb ataladi; Bu boshlang'ich faza deb ataladi. f= n/2 nuqtai nazaridan, sekundiga tebranishlar soni chastota deb ataladi; Buning teskarisi, T=1/f, bitta sikl tebranishi uchun ketadigan vaqt va bu davr deb ataladi. A amplitudasi, chastota f (yoki burchak chastotasi n), boshlang'ich faza, oddiy garmonik tebranish deb nomlanadi, uchta element.

1-rasm. Oddiy garmonik tebranish egri chizig'i

2-rasmda ko'rsatilganidek, chiziqli prujina bilan bog'langan konsentrlangan massa m tomonidan oddiy garmonik osilator hosil bo'ladi. Tebranish siljishi muvozanat holatidan hisoblanganda, tebranish tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

prujinaning qattiqligi qayerda. Yuqoridagi tenglamaning umumiy yechimi (1).A va boshlang'ich x0 holati va t=0 da boshlang'ich tezlik bilan aniqlanishi mumkin:

Lekin omega n faqat tizimning o'ziga xos xususiyatlari m va k bilan belgilanadi, qo'shimcha boshlang'ich shartlardan mustaqil, shuning uchun omega n tabiiy chastota sifatida ham tanilgan.

2-rasm. Bir darajali erkinlik tizimi

Oddiy garmonik osilator uchun uning kinetik energiyasi va potensial energiyasining yig'indisi doimiy, ya'ni tizimning umumiy mexanik energiyasi saqlanib qoladi. Tebranish jarayonida kinetik energiya va potensial energiya doimiy ravishda bir-biriga aylanadi.

Söndüruvchi tebranish

Amplitudasi ishqalanish va dielektrik qarshilik yoki boshqa energiya sarfi bilan doimiy ravishda pasayib boradigan tebranish. Mikro tebranish uchun tezlik odatda unchalik katta emas va muhit qarshiligi birinchi darajaga tezlikka mutanosib bo'lib, uni quyidagicha yozish mumkin: c - suspenziya koeffitsienti. Shuning uchun, chiziqli suspenziya bilan bir daraja erkinlik tebranish tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

(2)bu yerda, m =c/2m amortizatsiya parametri deb ataladi va. (2) formulaning umumiy yechimi quyidagicha yozilishi mumkin:

(3)Omega n va PI o'rtasidagi sonli bog'liqlikni quyidagi uchta holatga bo'lish mumkin:

N > (kichik susaytirish holatida) zarrachalar tebranishning susayishini keltirib chiqaradi, tebranish tenglamasi quyidagicha:

Uning amplitudasi 3-rasmdagi nuqta chiziqda ko'rsatilganidek, tenglamada ko'rsatilgan eksponensial qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan kamayadi. Aniq aytganda, bu tebranish aperiodik, ammo uning cho'qqisining chastotasini quyidagicha aniqlash mumkin:

Amplituda qisqarish tezligi deyiladi, bu yerda tebranish davri. Amplituda qisqarish tezligining tabiiy logarifmi logarifm minus (amplituda) tezligi deb ataladi. Shubhasiz, =, bu holda, 2/1 ga teng. To'g'ridan-to'g'ri eksperimental sinov deltasi orqali va yuqoridagi formuladan foydalanib, c ni hisoblash mumkin.

Bu vaqtda (2) tenglamaning yechimi quyidagicha yozilishi mumkin:

Boshlang'ich tezlik yo'nalishi bilan bir qatorda, uni 4-rasmda ko'rsatilgandek uchta tebranishsiz holatga bo'lish mumkin.

N < (katta amortizatsiya holatida), (2) tenglamaning yechimi (3) tenglamada ko'rsatilgan. Bu nuqtada tizim endi tebranmaydi.

Majburiy tebranish

Doimiy qo'zg'alish ostida tizimning tebranishi. Tebranish tahlili asosan tizimning qo'zg'alish holatiga javobini tekshiradi. Davriy qo'zg'alish odatiy muntazam qo'zg'alishdir. Davriy qo'zg'alish har doim bir nechta garmonik qo'zg'alishlarning yig'indisiga bo'linishi mumkinligi sababli, superpozitsiya printsipiga ko'ra, faqat tizimning har bir garmonik qo'zg'alish holatiga javobi talab qilinadi. Garmonik qo'zg'alish ta'sirida bitta erkinlik darajasi susaygan tizimning harakatining differentsial tenglamasi quyidagicha yozilishi mumkin:

Javob ikki qismning yig'indisidir. Bir qismi vaqt o'tishi bilan tez pasayib ketadigan susaytirilgan tebranishning javobidir. Majburiy tebranishning boshqa qismining javobini quyidagicha yozish mumkin:

3-rasm. Söndürülmüş tebranish egri chizig'i

4-rasm. Kritik amortizatsiya bilan uchta boshlang'ich shartning egri chiziqlari

Kiriting

H /F0= h (), amplituda-chastotali xususiyatlarni yoki kuchaytirish funktsiyasini tavsiflovchi barqaror javob amplitudasining qo'zg'alish amplitudasiga nisbati; Barqaror holat javobi va faza rag'batlantirishi uchun bitlar, faza chastotasi xususiyatlarini tavsiflash. Ular va qo'zg'alish chastotasi o'rtasidagi bog'liqlik 5 va 6-rasmlarda ko'rsatilgan.

Amplituda-chastota egri chizig'idan (5-rasm) ko'rinib turibdiki, kichik suspenziya holatida amplituda-chastota egri chizig'i bitta cho'qqiga ega. Supenziya qanchalik kichik bo'lsa, cho'qqi shunchalik tik bo'ladi; Cho'qqiga mos keladigan chastota tizimning rezonans chastotasi deb ataladi. Kichik suspenziya holatida rezonans chastotasi tabiiy chastotadan unchalik farq qilmaydi. Qo'zg'alish chastotasi tabiiy chastotaga yaqin bo'lganda, amplituda keskin oshadi. Bu hodisa rezonans deb ataladi. Rezonansda tizimning kuchayishi maksimal darajada oshiriladi, ya'ni majburiy tebranish eng kuchli bo'ladi. Shuning uchun, umuman olganda, har doim rezonansdan qochishga harakat qiling, agar ba'zi asboblar va uskunalar katta tebranishga erishish uchun rezonansdan foydalanmasa.

5-rasm. amplituda chastota egri chizig'i

Faza chastotasi egri chizig'idan (6-rasm) ko'rinib turibdiki, amortizatsiya hajmidan qat'i nazar, omega nol faza farqi bitlari = PI / 2 da bu xususiyat rezonansni o'lchashda samarali qo'llanilishi mumkin.

Barqaror qo'zg'alishdan tashqari, tizimlar ba'zan beqaror qo'zg'alishlarga duch keladi. Uni taxminan ikki turga bo'lish mumkin: biri to'satdan ta'sir. Ikkinchisi o'zboshimchalikning uzoq muddatli ta'siri. Beqaror qo'zg'alish sharoitida tizimning javobi ham beqaror bo'ladi.

Beqaror tebranishlarni tahlil qilish uchun kuchli vosita impulsli javob berish usuli hisoblanadi. U tizimning dinamik xususiyatlarini tizimning birlik impuls kirishining vaqtinchalik javobi bilan tavsiflaydi. Birlik impuls delta funksiyasi sifatida ifodalanishi mumkin. Muhandislikda delta funksiyasi ko'pincha quyidagicha ta'riflanadi:

Bu yerda 0- chapdan nolga yaqinlashadigan t o'qidagi nuqtani ifodalaydi; 0 plyus o'ngdan 0 ga boradigan nuqtadir.

6-rasm. Fazali chastota egri chizig'i

7-rasm. Har qanday kirish bir qator impuls elementlari yig'indisi sifatida qaralishi mumkin.

Tizim t=0 da birlik impuls tomonidan hosil qilingan h(t) javobga mos keladi, bu impuls javob funksiyasi deb ataladi. Tizim impulsdan oldin statsionar deb faraz qilsak, t<0 uchun h(t)=0. Tizimning impuls javob funksiyasini bilib, biz tizimning istalgan x(t) kirishiga javobini topishimiz mumkin. Bu nuqtada siz x(t) ni bir qator impuls elementlari yig'indisi deb hisoblashingiz mumkin (7-rasm). Tizimning javobi quyidagicha:

Superpozitsiya printsipiga asoslanib, x(t) ga mos keladigan tizimning umumiy javobi quyidagicha:

Bu integral konvolyutsiya integrali yoki superpozitsiya integrali deb ataladi.

Ko'p erkinlik darajasidagi tizimning chiziqli tebranishi

n≥2 erkinlik darajasiga ega chiziqli tizimning tebranishi.

8-rasmda ulash prujinasi bilan bog'langan ikkita oddiy rezonansli kichik tizimlar ko'rsatilgan. Bu ikki darajali erkinlik tizimi bo'lgani uchun uning o'rnini aniqlash uchun ikkita mustaqil koordinata kerak. Bu tizimda ikkita tabiiy chastota mavjud:

Har bir chastota tebranish rejimiga mos keladi. Garmonik osilatorlar bir xil chastotadagi garmonik tebranishlarni amalga oshiradilar, muvozanat holatidan sinxron o'tib, ekstremal holatga sinxron ravishda yetib boradilar. Omega 1 ga mos keladigan asosiy tebranishda x1 x2 ga teng; Omega 2 ga mos keladigan asosiy tebranishda omega 1. Asosiy tebranishda har bir massaning siljish nisbati ma'lum bir munosabatni saqlaydi va ma'lum bir rejimni hosil qiladi, bu asosiy rejim yoki tabiiy rejim deb ataladi. Massa va qattiqlikning ortogonalligi asosiy rejimlar orasida mavjud bo'lib, bu har bir tebranishning mustaqilligini aks ettiradi. Tabiiy chastota va asosiy rejim ko'p darajali erkinlik tizimining ichki tebranish xususiyatlarini ifodalaydi.

8-rasm. Bir nechta erkinlik darajasiga ega tizim

n erkinlik darajasiga ega tizim n ta tabiiy chastota va n ta asosiy rejimga ega. Tizimning har qanday tebranish konfiguratsiyasi asosiy rejimlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun asosiy rejim superpozitsiyasi usuli ko'p nuqtali tizimlarning dinamik javob tahlilida keng qo'llaniladi. Shu tarzda, tizimning tabiiy tebranish xususiyatlarini o'lchash va tahlil qilish tizimning dinamik dizaynida odatiy bosqichga aylanadi.

Ko'p dofli tizimlarning dinamik xususiyatlarini chastota xususiyatlari bilan ham tavsiflash mumkin. Har bir kirish va chiqish o'rtasida chastota xarakteristikasi funktsiyasi mavjud bo'lganligi sababli, chastota xarakteristikasi matritsasi tuziladi. Ko'p erkinlik tizimining amplituda-chastota xarakteristikasi egri chizig'i bitta erkinlik tiziminikidan farq qiladi.

Elastomer tebranadi

Yuqoridagi ko'p erkinlik darajasi tizimi elastomerning taxminiy mexanik modelidir. Elastomer cheksiz miqdordagi erkinlik darajasiga ega. Miqdoriy farq mavjud, ammo ikkalasi o'rtasida muhim farq yo'q. Har qanday elastomer cheksiz miqdordagi tabiiy chastotalarga va cheksiz miqdordagi mos keladigan rejimlarga ega va massa va qattiqlik rejimlari o'rtasida ortogonallik mavjud. Elastomerning har qanday tebranish konfiguratsiyasi asosiy rejimlarning chiziqli superpozitsiyasi sifatida ham ifodalanishi mumkin. Shuning uchun, elastomerning dinamik javob tahlili uchun asosiy rejimning superpozitsiya usuli hali ham qo'llaniladi (elastomerning chiziqli tebranishiga qarang).

Ipning tebranishini olaylik. Aytaylik, uzunlik birligida massasi m bo'lgan, uzun l bo'lgan ingichka ip ikkala uchidan ham tortilgan va taranglik T ga teng. Bu vaqtda ipning tabiiy chastotasi quyidagi tenglama bilan aniqlanadi:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

bu yerda , - ip yo'nalishi bo'ylab ko'ndalang to'lqinning tarqalish tezligi. Iplarning tabiiy chastotalari 2l da asosiy chastotaning ko'paytmalari bo'ladi. Bu butun sonli ko'plik yoqimli garmonik tuzilishga olib keladi. Umuman olganda, elastomerning tabiiy chastotalari orasida bunday butun sonli ko'plik munosabati mavjud emas.

Tartuvchi ipning dastlabki uchta rejimi 9-rasmda ko'rsatilgan. Asosiy rejim egri chizig'ida ba'zi tugunlar mavjud. Asosiy tebranishda tugunlar tebranmaydi. 10-rasmda aylana bo'ylab qo'llab-quvvatlanadigan dumaloq plastinkaning bir nechta odatiy rejimlari ko'rsatilgan, ba'zi tugun chiziqlari doiralar va diametrlardan iborat.

Elastomer tebranish muammosining aniq formulasi qisman differensial tenglamalarning chegara qiymati masalasi sifatida xulosa chiqarish mumkin. Biroq, aniq yechimni faqat eng oddiy holatlarda topish mumkin, shuning uchun biz murakkab elastomer tebranish muammosi uchun taxminiy yechimga murojaat qilishimiz kerak. Turli taxminiy yechimlarning mohiyati cheksizni chekliga o'zgartirish, ya'ni oyoq-qo'lsiz ko'p darajali erkinlik tizimini (uzluksiz tizim) chekli ko'p darajali erkinlik tizimiga (diskret tizim) diskretlashdir. Muhandislik tahlilida keng qo'llaniladigan ikki xil diskretizatsiya usullari mavjud: chekli elementlar usuli va modal sintez usuli.

9-rasm. Satr rejimi

10-rasm. Dumaloq plastinka rejimi

Cheklangan element usuli - bu murakkab strukturani chekli sonli elementlarga ajratadigan va ularni chekli sonli tugunlarda bog'laydigan kompozit struktura. Har bir birlik elastomerdir; Elementning taqsimot siljishi tugun siljishining interpolatsiya funktsiyasi bilan ifodalanadi. Keyin har bir elementning taqsimot parametrlari har bir tugunga ma'lum formatda jamlanadi va diskret tizimning mexanik modeli olinadi.

Modal sintez - bu murakkab strukturaning bir nechta sodda substrukturalarga parchalanishi. Har bir substrukturaning tebranish xususiyatlarini tushunish asosida, substruktura interfeysdagi koordinatsiya shartlariga muvofiq umumiy strukturaga sintez qilinadi va umumiy strukturaning tebranish morfologiyasi har bir substrukturaning tebranish morfologiyasidan foydalanib olinadi.

Ikkala usul ham bir-biridan farq qiladi va bir-biri bilan bog'liq bo'lib, ulardan ma'lumotnoma sifatida foydalanish mumkin. Modal sintez usuli, shuningdek, katta tizimlarning tebranishi uchun nazariy va eksperimental tahlil usulini shakllantirish uchun eksperimental o'lchov bilan samarali birlashtirilishi mumkin.