Что такое линейные колебания?

Линейные колебания: упругость компонентов в системе подчиняется закону Гука, а сила демпфирования, возникающая во время движения, пропорциональна первому уравнению обобщенной скорости (производной по времени от обобщенных координат).

концепция

Линейная система обычно представляет собой абстрактную модель колебаний реальной системы. В линейной колебательной системе применяется принцип суперпозиции, то есть, если отклик системы под действием входного сигнала x1 равен y1, а под действием входного сигнала x2 равен y2, то отклик системы под действием входных сигналов x1 и x2 равен y1+y2.

На основе принципа суперпозиции произвольный входной сигнал может быть разложен на сумму ряда бесконечно малых импульсов, и тогда можно получить полный отклик системы. Сумма гармонических составляющих периодического возбуждения может быть разложена на ряд гармонических составляющих с помощью преобразования Фурье, и влияние каждой гармонической составляющей на систему может быть исследовано отдельно. Таким образом, характеристики отклика линейных систем с постоянными параметрами могут быть описаны импульсной характеристикой или частотной характеристикой.

Импульсная характеристика — это реакция системы на единичный импульс, которая характеризует характеристики отклика системы во временной области. Частотная характеристика — это характеристика отклика системы на единичный гармонический входной сигнал. Соответствие между ними определяется преобразованием Фурье.

классификация

Линейные колебания можно разделить на линейные колебания системы с одной степенью свободы и линейные колебания системы с несколькими степенями свободы.

(1) Линейные колебания системы с одной степенью свободы — это линейные колебания, положение которых можно определить с помощью обобщенной системы координат. Это простейшие колебания, из которых можно вывести многие основные понятия и характеристики колебаний. К ним относятся простые гармонические колебания, свободные колебания, колебания с затуханием и вынужденные колебания.

Простые гармонические колебания: возвратно-поступательное движение объекта вблизи его положения равновесия по синусоидальному закону под действием возвращающей силы, пропорциональной его перемещению.

Затухающие колебания: колебания, амплитуда которых постоянно уменьшается из-за трения, диэлектрического сопротивления или других факторов, потребляющих энергию.

Вынужденные колебания: колебания системы при постоянном возбуждении.

(2) Линейные колебания системы с несколькими степенями свободы — это колебания линейной системы с n≥2 степенями свободы. Система с n степенями свободы имеет n собственных частот и n основных мод. Любая конфигурация колебаний системы может быть представлена ​​как линейная комбинация основных мод. Поэтому метод суперпозиции основных мод широко используется в динамическом анализе отклика систем с несколькими степенями свободы. Таким образом, измерение и анализ характеристик собственных колебаний системы становится рутинным этапом динамического проектирования системы. Динамические характеристики систем с несколькими степенями свободы также могут быть описаны частотными характеристиками. Поскольку между каждым входом и выходом существует частотная характеристика, строится матрица частотных характеристик. Существует определенная связь между частотной характеристикой и основной модой. Амплитудно-частотная характеристика системы с несколькими степенями свободы отличается от характеристики системы с одной степенью свободы.

Линейные колебания системы с одной степенью свободы

Линейные колебания, при которых положение системы может быть определено с помощью обобщенной системы координат. Это простейшие и наиболее фундаментальные колебания, из которых можно вывести многие основные понятия и характеристики колебаний. К ним относятся простые гармонические колебания, затухающие колебания и вынужденные колебания.

Гармонические колебания

Под действием восстанавливающей силы, пропорциональной перемещению, объект совершает возвратно-поступательные движения синусоидальной формы вблизи положения равновесия (рис. 1). X обозначает перемещение, а t — время. Математическое выражение этих колебаний:

(1)Где A — максимальное значение смещения x, которое называется амплитудой и представляет интенсивность колебаний; Ωn — амплитуда колебаний в секунду, которая называется угловой частотой или круговой частотой; это называется начальной фазой. В терминах f = n/2 число колебаний в секунду называется частотой; обратное этому значению, T = 1/f, — время, необходимое для совершения одного цикла колебаний, и это называется периодом. Амплитуда A, частота f (или угловая частота n), начальная фаза, известные как простые гармонические колебания, три элемента.

Рис. 1. Кривая простых гармонических колебаний

Как показано на фиг. 2, простой гармонический осциллятор образован сосредоточенной массой m, соединенной линейной пружиной. При вычислении смещения колебаний из положения равновесия уравнение колебаний имеет следующий вид:

Где — жесткость пружины. Общее решение приведенного выше уравнения — (1).A, которое можно определить по начальному положению x0 и начальной скорости при t=0:

Однако ωn определяется только характеристиками самой системы m и k, независимо от дополнительных начальных условий, поэтому ωn также известна как собственная частота.

Рис. 2. Система с одной степенью свободы.

Для простого гармонического осциллятора сумма его кинетической и потенциальной энергии постоянна, то есть полная механическая энергия системы сохраняется. В процессе колебаний кинетическая и потенциальная энергия постоянно преобразуются друг в друга.

Затухание колебаний

Вибрация, амплитуда которой непрерывно затухает за счет трения и диэлектрического сопротивления или других факторов, потребляющих энергию. Для микроскопических вибраций скорость, как правило, не очень велика, а сопротивление среды пропорционально скорости в первой степени, что можно записать как c, где c — коэффициент демпфирования. Следовательно, уравнение вибрации с одной степенью свободы и линейным демпфированием можно записать следующим образом:

(2)Где m = c/2m называется параметром затухания, и. Общее решение формулы (2) можно записать так:

(3)Числовая взаимосвязь между омега-n и ПИ может быть разделена на следующие три случая:

Если N > (в случае малого затухания) частица вызывает затухание колебаний, уравнение колебаний имеет вид:

Его амплитуда уменьшается со временем в соответствии с экспоненциальным законом, показанным в уравнении, как показано пунктирной линией на рис. 3. Строго говоря, эта вибрация является апериодической, но частоту её пика можно определить следующим образом:

Это называется коэффициентом уменьшения амплитуды, где — период колебаний. Натуральный логарифм коэффициента уменьшения амплитуды называется логарифмом минус (амплитудный) коэффициент. Очевидно, что =, в этом случае, равно 2/1. Непосредственно через экспериментальную разницу и, используя приведенную выше формулу, можно рассчитать c.

В этот момент решение уравнения (2) можно записать так:

В зависимости от направления начальной скорости, случай без колебаний можно разделить на три, как показано на фиг. 4.

N < (в случае большого затухания), решение уравнения (2) показано в уравнении (3). В этот момент система больше не вибрирует.

Вынужденная вибрация

Колебания системы при постоянном возбуждении. Анализ колебаний в основном исследует реакцию системы на возбуждение. Периодическое возбуждение является типичным регулярным возбуждением. Поскольку периодическое возбуждение всегда можно разложить на сумму нескольких гармонических возбуждений, согласно принципу суперпозиции, требуется только реакция системы на каждое гармоническое возбуждение. Под действием гармонического возбуждения дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы и затуханием может быть записано следующим образом:

Реакция представляет собой сумму двух частей. Одна часть — это реакция затухающих колебаний, которая быстро затухает со временем. Реакцию другой части, представляющей собой вынужденные колебания, можно записать следующим образом:

Рис. 3. Кривая затухающих колебаний

Рис. 4. Кривые для трех начальных условий с критическим демпфированием.

Введите

H/F0 = h(h) — отношение амплитуды установившегося отклика к амплитуде возбуждения, характеризующее амплитудно-частотные характеристики или функцию усиления; биты обозначают установившийся отклик и фазовый сдвиг, характеризующий фазово-частотные характеристики. Связь между ними и частотой возбуждения показана на фиг. 5 и фиг. 6.

Как видно из амплитудно-частотной кривой (рис. 5), в случае малого демпфирования амплитудно-частотная кривая имеет один пик. Чем меньше демпфирование, тем круче пик; частота, соответствующая пику, называется резонансной частотой системы. В случае малого демпфирования резонансная частота не сильно отличается от собственной частоты. Когда частота возбуждения близка к собственной частоте, амплитуда резко возрастает. Это явление называется резонансом. В резонансе усиление системы максимально, то есть вынужденные колебания наиболее интенсивны. Поэтому, как правило, всегда следует избегать резонанса, если только некоторые приборы и оборудование не используют резонанс для достижения больших колебаний.

Рис. 5. Кривая амплитуды-частоты

Как видно из кривой фазовой частоты (рисунок 6), независимо от величины затухания, при нулевой разности фаз битов ω = PI / 2 эта характеристика может быть эффективно использована при измерении резонанса.

Помимо постоянного возбуждения, системы иногда сталкиваются с нестационарным возбуждением. Его можно условно разделить на два типа: внезапное воздействие и длительное воздействие произвольности. При нестационарном возбуждении отклик системы также является нестационарным.

Мощным инструментом для анализа нестационарных колебаний является метод импульсной характеристики. Он описывает динамические характеристики системы с помощью переходной реакции на единичный импульсный входной сигнал системы. Единичный импульс может быть выражен в виде дельта-функции. В технике дельта-функция часто определяется следующим образом:

Где 0- обозначает точку на оси t, которая стремится к нулю слева; 0+ — точку, которая стремится к нулю справа.

Рис. 6. Кривая фазовой частоты

Рис. 7. Любой входной сигнал можно рассматривать как сумму ряда импульсных элементов.

Система соответствует отклику h(t), генерируемому единичным импульсом в момент времени t=0, который называется функцией импульсного отклика. Предполагая, что система неподвижна до импульса, h(t)=0 для t<0. Зная функцию импульсного отклика системы, мы можем найти отклик системы на любой входной сигнал x(t). На этом этапе можно рассматривать x(t) как сумму ряда импульсных элементов (рис. 7). Отклик системы следующий:

Исходя из принципа суперпозиции, полный отклик системы, соответствующий x(t), равен:

Этот интеграл называется интегралом свертки или интегралом суперпозиции.

Линейные колебания системы с несколькими степенями свободы

Колебания линейной системы с n≥2 степенями свободы.

На рисунке 8 показаны две простые резонансные подсистемы, соединенные пружинным узлом. Поскольку это система с двумя степенями свободы, для определения ее положения необходимы две независимые координаты. В этой системе есть две собственные частоты:

Каждая частота соответствует режиму колебаний. Гармонические осцилляторы совершают гармонические колебания одной и той же частоты, синхронно проходя через положение равновесия и синхронно достигая крайнего положения. В основном колебании, соответствующем ω1, x1 равно x2; в основном колебании, соответствующем ω2, ω1. В основном колебании отношение смещений каждой массы сохраняет определенное соотношение и образует определенный режим, который называется основным режимом или собственным режимом. Между основными режимами существует ортогональность массы и жесткости, что отражает независимость каждого колебания. Собственная частота и основной режим представляют собой присущие колебаниям характеристики системы с несколькими степенями свободы.

Рис. 8. Система с несколькими степенями свободы.

Система с n степенями свободы имеет n собственных частот и n основных мод. Любая конфигурация колебаний системы может быть представлена ​​как линейная комбинация основных мод. Поэтому метод суперпозиции основных мод широко используется в динамическом анализе многостепенных систем. Таким образом, измерение и анализ характеристик собственных колебаний системы становится рутинным этапом динамического проектирования системы.

Динамические характеристики многостепенных систем также могут быть описаны частотными характеристиками. Поскольку между каждым входом и выходом существует частотная характеристика, строится матрица частотных характеристик. Амплитудно-частотная характеристика многостепенной системы отличается от характеристики одностепенной системы.

Эластомер вибрирует

Представленная выше многостепенная система является приближенной механической моделью эластомера. Эластомер обладает бесконечным числом степеней свободы. Между ними существует количественная, но не существенная разница. Любой эластомер имеет бесконечное число собственных частот и бесконечное число соответствующих мод, и существует ортогональность между модами массы и жесткости. Любая колебательная конфигурация эластомера также может быть представлена ​​как линейная суперпозиция основных мод. Поэтому для анализа динамического отклика эластомера метод суперпозиции основных мод по-прежнему применим (см. линейные колебания эластомера).

Рассмотрим колебания струны. Допустим, тонкая струна массой m на единицу длины, длиной l, натянута на обоих концах, и натяжение равно T. В этот момент собственная частота струны определяется следующим уравнением:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Где — скорость распространения поперечной волны вдоль направления струны. Собственные частоты струн оказываются кратными основной частоте, деленной на 2l. Эта целочисленная кратность приводит к приятной гармонической структуре. В общем случае, между собственными частотами эластомера нет такой целочисленной кратной зависимости.

На фиг. 9 показаны первые три моды натянутой струны. На кривой основной моды имеются узлы. При основной вибрации узлы не вибрируют. На фиг. 10 показаны несколько типичных мод круглой пластины, закрепленной по окружности, с некоторыми узловыми линиями, составленными из окружностей и диаметров.

Точная формулировка задачи о колебаниях эластомера может быть представлена ​​в виде краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Однако точное решение может быть найдено только в некоторых простейших случаях, поэтому для сложной задачи о колебаниях эластомера приходится прибегать к приближенному решению. Суть различных приближенных решений заключается в преобразовании бесконечного в конечное, то есть в дискретизации бесконечной многостепенной системы (непрерывной системы) в конечную многостепенную систему (дискретную систему). В инженерном анализе широко используются два метода дискретизации: метод конечных элементов и метод модального синтеза.

Рис. 9. Режим струны

Рис. 10. Режим круглой пластины.

Метод конечных элементов представляет собой сложную структуру, которая абстрагирует сложную структуру в конечное число элементов и соединяет их в конечном числе узлов. Каждый элемент представляет собой эластомер; распределение перемещений элемента выражается интерполяционной функцией перемещений узлов. Затем параметры распределения каждого элемента концентрируются в каждом узле в определенном формате, и получается механическая модель дискретной системы.

Модальный синтез — это разложение сложной структуры на несколько более простых подструктур. На основе понимания вибрационных характеристик каждой подструктуры, подструктура синтезируется в общую структуру в соответствии с условиями координации на границе раздела, а вибрационная морфология общей структуры получается с использованием вибрационной морфологии каждой подструктуры.

Эти два метода различны, но взаимосвязаны и могут использоваться в качестве эталона. Метод модального синтеза также может быть эффективно объединен с экспериментальными измерениями для формирования теоретико-экспериментального метода анализа колебаний больших систем.